Сетевое издание

Современные проблемы науки и образования

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Клячкин С.В. 1 Гудкович З.М. 1 Гузенко Р.Б. 1

---

1 ФГБУ «Арктический и антарктический научно-исследовательский институт»

В статье рассматривается метод оценки режимно-статистических характеристик дрейфа и сжатий льда (включая экстремумы малой повторяемости) на основе результатов модельных расчетов. Излагается физико-математическая формулировка модели динамики ледяного покрова. Модель основана на уравнении баланса количества движения ледяного покрова в нестационарной постановке при вязко-пластической параметризации сил внутреннего взаимодействия. Численная реализация модели основана на методе маркеров. С помощью модели выполнена серия расчетов, позволившая получить 1750 матриц с временным осреднением 12 часов. Приводится описание статистических методов оценки экстремумов малой повторяемости, основанных на принципах эллипса рассеяния (для дрейфа льда) и распределений Гумбеля (для сжатий). В заключении представлена физическая интерпретация полученных результатов. Наибольшие значения дрейфа соответствуют самым тонким льдам, наибольшие значения сжатий – однолетним льдам средней толщины.

Статья в формате PDF

114 KB

динамика ледяного покрова

дрейф льда

сжатия льда

экстремальные значения малой повторяемости.

1. Аппель И. Л., Гудкович З. М. Численное моделирование и прогноз эволюции ледяного покрова арктических морей в период таяния. - Л.: Гидрометеоиздат, 1992. - 143 с.

2. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. - М.: Мир, 1965. - 586 с.

3. Клячкин С. В., Гудкович З. М. Методика среднесрочного ледового прогноза для Печорского моря на основе численной динамико-термодинамической модели // Информационный сборник ГМЦ РФ. - 2005. - № 31. - С. 104-119.

4. Клячкин С. В., Гудкович З. М., Май Р. И., Фролов С. В. Сжатия льдов // Опасные ледовые явления для судоходства в Арктике. - СПб.: ААНИИ, 2010. - С.33-91.

5. Рекомендации по расчету максимальной скорости дрейфа льда в шельфовой зоне морей СССР. - Л.: ААНИИ, 1984. - 51 с.

6. Хейсин Д. Е., Ивченко В. О. Распространение ледовых сжатий в сплоченных льдах // Океанология. - 1975. - XV (5). - С. 803-812.

Дрейф и сжатия льда представляют несомненный интерес как с чисто научной, так и с практической точек зрения. В особенности это касается проявления экстремальных случаев, когда создается реальная угроза безопасности морских инженерных объектов и даже людей.

Снижению рисков, связанных с экстремальными проявлениями динамики ледяного покрова, могут способствовать, в частности, заблаговременно выполненные расчеты ожидаемых ледовых условий, позволяющие получить режимно-статистические характеристики интересующего явления. Обычно эта задача решается путем анализа больших массивов натурных наблюдений. Однако нередко данные наблюдений отсутствуют, и в таких случаях привлекаются данные моделирования: с помощью модели воспроизводятся разные сценарии ледовых и метеорологических условий, результаты модельных расчетов обобщаются, т.е. составляются выборки интересующих характеристик, и эти выборки анализируются с помощью методов математической статистики. Именно этот подход является предметом настоящей статьи.

Модель

Для решения задачи исследования - получения экстремальных оценок дрейфа и сжатий льда - была использована численная динамико-термодинамическая модель краткосрочного прогноза дрейфа и перераспределения ледяного покрова. Модель предоставляет возможность прогнозировать временную эволюцию основных параметров ледяного покрова: сплоченность (общую и частную), толщину (по каждой возрастной градации), дрейф, сжатия, торошение, разрушенность, положение границ припая (последнее - в экспериментальном порядке) [3].

Представляется, что в данном случае имеет смысл опустить описание термодинамического блока модели и ограничиться характеристикой динамики ледяного покрова.

Динамика ледяного покрова рассчитывается (прогнозируется) на основе уравнения баланса количества движения в нестационарной постановке.

(1),

где W - скорость дрейфа льда, M_л - масса льда в столбике единичной площади, τ_a , τ_w - касательные напряжения на верхней и нижней поверхностях льда, F_c - сила Кориолиса, F_g - сила, обусловленная наклоном уровня, F_p - сила внутреннего взаимодействия в ледяном покрове.

Тангенциальные напряжения на верхней и нижней поверхностях льда определяются с помощью квадратичного закона. Сила Кориолиса и проекция силы тяжести на поверхность моря задаются традиционно.

Форма записи слагаемого, описывающего внутренне взаимодействие в ледяном покрове, определяется принятой реологической моделью. В данной модели считается, что ледяной покров проявляет свойства, характерные для вязко-пластических сред.

Вязкое взаимодействие в ледяном покрове подробно рассмотрено в работе [1].

Согласно этой работе, сила внутреннего взаимодействия пропорциональна дивергенции внутренних напряжений. Внутренние напряжения σ_ξξ, σ_χχ, соответствующие главным осям тензора скоростей деформаций, рассчитываются по формуле:

  (2)

Параметр К определяется следующим образом:

1) при выполнении каждого из всех следующих условий:

   (3)

2) К=0 при невыполнении хотя бы одного из условий (3).

Здесь:

К₀ = 10¹⁰ кг с^-1 м^-1, , - инварианты тензора скоростей деформаций, соответствующие осям x, c эллипса деформаций, С - сплоченность льда, W - скорость дрейфа.

Отличительной особенностью деформирования пластических сред является наличие порогового механизма, т.е. среда деформируется при достаточно больших внешних нагрузках.

Если напряжения, возникающие в ледяном покрове под влиянием пространственной неоднородности дрейфа, превышают некоторый предел, то это может привести к торошению. В данном случае этот предел оценивается как устойчивость ледяной пластины, лежащей на упругом основании, по отношению к продольному изгибу [6]:

 (4)

где g - ускорение силы тяжести, Е - модуль Юнга, μ - коэффициент Пуассона.

В том случае, если в данной ячейке происходит торошение, то это означает накопление «лишнего» объема льда (это своего рода аналог пластического течения). Если напряжение недостаточно, то накопления лишнего объема не происходит, т.е. накладывается условие:

 (5)

В этом случае поле дрейфа итеративно корректируется в соответствии с условием (5).

Описанный принцип по существу имитирует пластическое поведение ледяного покрова [4].

На твердой границе при нажимном дрейфе нормальная к берегу компонента равна нулю, касательная компонента дрейфа трансформируется в зависимости от угла между направлением дрейфа и направлением береговой черты. На жидкой границе напряжения равны нулю.

На границах расчетной области при дрейфе, направленном внутрь расчетной области, градиенты сплоченности (общей и частной) и скорости равны нулю; при выносном дрейфе градиенты сплоченности и скорости на границе равны соответствующим градиентам в ближайшей внутренней ячейке.

Численная схема модели построена на основе регулярной сетки с пространственным шагом от 5 до 100 км в зависимости от размеров расчетной области. Временной шаг составляет 10 минут, что соответствует условию Курранта.

Ледяной покров представлен набором маркеров, каждый из которых характеризуется пространственными координатами в декартовой системе, толщиной, торосистостью и скоростью.

Расчет дрейфа льда основан на лагранжевском методе. Для каждого маркера определяются скорость и перемещение через каждые 10 минут.

Силы внутреннего взаимодействия, возникающие при дрейфе, определяются в соответствии с эйлеровским подходом и считаются одинаковыми в пределах ячейки.

Использование метода маркеров позволяет автоматически выполнять условие сохранения массы и полностью исключить проблемы, связанные с вычислительной вязкостью.

С помощью модели было выполнено 125 недельных расчетных серий, что позволило получить 1750 расчетных матриц, характеризующих дрейф и сжатия льда с 12-часовым осреднением. В качестве начальных условий расчетов использовались ледовые карты юго-западной части Карского моря за разные годы и месяцы, что позволило учесть практически весь спектр изменчивости ледовых условий: начало зимы, максимальное развитие ледяного покрова, весеннее таяние льда, холодные зимы, теплые зимы, сильные штормы и т.д.

Получение режимно-статистических характеристик

Из каждой расчетной матрицы выбираются значения дрейфа и сжатий льда в заданных ячейках. Эти значения группируются по максимальной толщине льда, присутствующей в данной ячейке, и по направлению дрейфа. В результате получается некоторое количество выборок дрейфа и сжатий, причем каждая выборка соответствует определенному диапазону максимальной толщины льда при заданных направлениях дрейфа.

Оценки экстремального дрейфа малой повторяемости могут быть получены с помощью широко применяемого метода «эллипса рассеивания» [5].

Положение центра эллипса определяется модулем среднего результирующего вектора скорости W_r и его направлением θ.

 ; (6)

Направление b большой оси эллипса рассеивания отсчитывается от оси y по часовой стрелке и находится по формуле:

 (7)

Главные среднеквадратические отклонения, т.е. среднеквадратические отклонения проекций скоростей дрейфа на главные оси эллипса определяются выражением:

 (8)

В формулах (6-8) приняты обозначения:

W_x, W_y - средние значения проекций вектора скорости дрейфа на оси x и y;

σ_x, σ_y - соответствующие им среднеквадратические отклонения;

r - коэффициент корреляции между проекциями скоростей дрейфа на оси x и y.

Эллипс рассеивания, полуоси которого равны величинам σ_ξ и σ_η, называется единичным. Вероятность попадания случайного вектора в такой эллипс составляет примерно 39,3 %. В том случае, когда необходимо получить оценку более высокой вероятности попадания вектора в эллипс, длина оси должна быть увеличена. Коэффициент увеличения оси эллипса C_f в зависимости от вероятности попадания вектора в эллипс находится по формуле:

 (9)

где p - вероятность попадания вектора в эллипс.

Далее, зная все необходимые параметры эллипса, легко получить оценки экстремальной скорости дрейфа заданной вероятности по любому направлению.

Оценки экстремальных сжатий малой повторяемости можно получить с помощью широко применяемого распределения Гумбеля [2]. Общий вид этого распределения задается выражением

 , (10)

где a, u - параметры распределения, причем а>0, u>0.

, , (11)

где x_m - среднее выборки, s_x - среднеквадратическое отклонение выборки, σ_N и y_N берутся из стандартных таблиц.

Нередко экстремальные значения малой повторяемости требуется выразить в терминах «1 раз в N лет». Соответствие между вероятностью, выраженной в процентах (или долях единицы), и обеспеченностью «1 раз в N лет» можно получить, оценив максимально возможное число случаев. Например, если речь идет о дрейфе льда с полусуточным осреднением, то в месяц возможно примерно 60 случаев, за год - 60´L, где L - количество месяцев ледового сезона и т.д.

В таблицах 1-2 показаны примеры расчетных значений экстремального дрейфа и сжатий льда в юго-западной части Карского моря.

Таблица 1. Экстремальный дрейф

Таблица 2. Экстремальное сжатие

Заключение

Оценки экстремального дрейфа составляют от 0,5-0,7 м/с (1 раз в год) до 0,6-1,2 м/с (1 раз в 100 лет). Понятно, что наибольшие значения дрейфа соответствуют самым тонким льдам, а наименьшие - самым толстым. В целом этот результат можно признать вполне реальным. При этом надо иметь в виду, что речь идет о дрейфе, осредненном за 12-часовые периоды. Это означает, что кратковременные усиления дрейфа, связанные, прежде всего, с приливными явлениями, в данном случае не учитываются.

Экстремальные сжатия составляют от 40-65 кПа (1 раз в год) до 75-110 кПа (1 раз в 100 лет). Несколько неожиданной оказалась зависимость сжатий от толщины льда: с увеличением толщины сжатия увеличиваются, достигают максимума при толщине льда 0,7-1,2 м (однолетний лед средней толщины), а затем, по мере дальнейшего роста толщины сжатия, снижаются. Этот эффект, по всей видимости, объясняется тем, что при толщине льда 70-120 см создается такое сочетание толщины и подвижности льда, которое наиболее «благоприятно» для возникновения сильных сжатий. При толщинах менее 70 см лед не может создать мощное давление из-за малой массы, а при толщинах более 120 см лед менее подвижен, что также препятствует росту сжатий.

Как и для дрейфа, в данном случае речь идет об экстремальных сжатиях, осредненных за 12-часовые периоды. Известно, что кратковременные локальные сжатия могут достигать гораздо бóльших значений (возможно - на 1-2 порядка, что сопоставимо с пределом прочности льда), но на данный момент сложно делать какие-либо предположения о характере количественной связи между осредненными и локальными кратковременными сжатиями.

Подводя итог, можно констатировать, что в целом статистический анализ результатов массовых модельных расчетов дает вполне реалистические оценки.

Работа проводилась при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы» по государственному контракту № 16.515.11.5074

Рецензенты:

• Смирнов Виктор Николаевич, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией физики льда, ФГБУ «ААНИИ», Санкт-Петербург.
• Воинов Геннадий Николаевич, доктор географических наук, старший научный сотрудник, ФГБУ «ААНИИ», Санкт-Петербург.

Библиографическая ссылка