Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,813

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КРИОДЕСТРУКЦИИ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ТКАНИ

Кайгермазов А.А. 1 Кудаева Ф.Х. 1 Кармоков М.М. 1 Мамбетов М.Ж. 1 Долова М.Х. 2
1 Кабардино-Балкарский Государственный Университет им. Х.М. Бербекова
2 ГБЗУ Городская клиническая больница № 1 г.Нальчика
Работа посвящена исследованию задачи со свободными границами для нелинейного эволюционного уравнения, возникающей при математическом моделировании проблем криохирургии. В работе рассмотрена задача криодеструкции, когда присутствует замороженная область биологической ткани. Для решения задачи в предлагаемой работе применяются методы нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, метод Ротэ, метод эквивалентной линеаризации, а также проведена конечномерная аппроксимация. Исследуемая задача с помощью функции Грина и формулы Грина на каждом временном слое сведена к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра и уравнению для определения свободной границы, которые с помощью конечномерной аппроксимации сведены к системе нелинейных алгебраических уравнений. В работе получены точное аналитическое решение стационарной задачи, а также приближенное решение нестационарной задачи. Полученное точное аналитическое решение соответствующей стационарной задачи позволяет определить очень важные для хирурга максимальные размеры замораживания, криопоражения и теплового возмущения, а также полученные в работе результаты можно использовать при конструировании и совершенствовании криоинструментов.
начально-краевая задача
одномерная задача
условие сопряжения
дифференциальное уравнение
задача со свободными границами
криодеструкция
гипотермия
температурное поле
1. Березовский А.А. Двумерные модели криодеструкции биоткани // Мат. моделирование физических процессов. Сб. научных трудов. — Киев, Ин-т математики АН УССР, 1989. — С. 14–38.
2. Березовский А.А., Кудаева Ф.Х. Канонический вид задач со свободными границами в проблемах гипотермии и криодеструкции биоткани //Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений. — Киев: Институт математики АН Украины, 1992. — С. 19–21
3. Кайгермазов А.А., Кудаева Ф.Х. Двумерные задачи со свободными границами в медицине. Южно-Сибирский научный вестник. — 2014. — № 3 (7). — С. 16–18.
4. Кайгермазов А.А., Кудаева Ф.Х., Мамбетов М.Ж. Интегральные уравнения задачи гипотермии. Инновационные технологии в системе высшего образования. Сборник материалов II Международной научно-практической конференции. Махачкала, 2014. — С. 110–114.
5. Кайгермазов А.А., Кудаева Ф.Х., Мамбетов М.Ж. Двумерная плоскопараллельная задача криохирургии. European Applied Sciences. 2014. — № 10. — С. 28–30.
6. Кайгермазов А.А., Кудаева Ф.Х., Кармоков М.М., Нахушева Ф.М. Математическая модель плоской криодеструкции биологической ткани // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2; URL: www.science-education.ru/129-21683.

В работе проводится исследование краевой задачи со свободными границами, описывающей динамику температурного поля при деструкции тканей плоскопараллельными аппликаторами. Рассмотрена задача криодеструкции, когда присутствует замороженная область и определению подлежат функция , и неизвестные границы . Для решения задачи в работе применяются методы нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, метод Ротэ, метод эквивалентной линеаризации, а также проведена конечномерная аппроксимация.

Получено точное аналитическое решение соответствующей стационарной задачи, которое определяет очень важные для хирурга максимальные размеры замораживания, криопоражения и теплового возмущения.

Конечномерной аппроксимацией решение полученной системы сведено к решению системы нелинейных алгебраических уравнений.

1. Постановка задачи

В различных областях медицины при деструкции тканей применяются достаточно протяженные плоские аппликаторы. Определение динамики температурного поля в этом случае сводится к решению следующей задачи со свободными границами для нелинейных эволюционных уравнений [1, 2, 6]:

(1)

(2)

(3)

В задаче (1)–(3) искомыми являются температурное поле и границы остальные параметры и функции известные, .

Аналитическое решение стационарной задачи (1)–(3) имеет вид [6]:

(4)

где

(5)

2. Задача криодеструкции биологической ткани

Если , то при будет возникать замороженная область биоткани . В этом случае метод Ротэ для задачи (1)–(3) приводит к системе краевых задач со свободными границами и :

(6)

(7)

. (8)

С помощью функций Грина и

(9)

определяемые как решение краевых задач:

(10)

В (9)

(11)

.

С помощью функций Грина (9) и формул Грина [3, 4]:

; (12)

(6)–(8) сводится к решению нелинейного интегрального уравнения типа Гаммерштейна, системе двух нелинейных уравнений относительно и и квадратуре:

(13)

(14)

Конечномерная аппроксимация уравнений (13), (14) позволяет свести задачу к нелинейной алгебре относительно узловых значений и чисел и .

Так как задача не содержит явно времени , то с определенной погрешностью в качестве ее приближенного решения можно принять:

(15)

где — решение задачи Коши:

(16)

Конечномерная аппроксимация квадратуры (14) и замена уравнений (16) разностными в данном случае приводят к системе нелинейных уравнений относительно узловых значений и чисел и :

(17)

где

(18)

Приближенное решение задачи (1)–(2) будем искать в виде соответствующего стационарного решения, считая и :

(19)

.

Краевые условия при выполняются автоматически. Дифференциальные уравнения и краевые условия удовлетворимы в смысле общих тепловых балансов с учетом условия сопряжения [4, 5]:

(20)

Полагая , после вычисления производных и интегралов для определения и приходим к задаче Коши:

(21)

Заменяя производные конечными разностями, получаем систему нелинейных уравнений относительно и на данном временном слое:

Приведенные алгоритмы получения приближенных решений реализованы на ЭВМ. Результаты численных расчетов сведены в таблицы.

1

1

2

2

2

3

2

3

1.89

2.05

1.50

1.66

3.08

3.24

2.12

2.30

1

1

2

2

2

3

2

3

2.48

2.64

1.91

2.08

3.71

3.87

2.33

2.72

Рецензенты:

Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН, г. Нальчик;

Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Институт, г. Нальчик.


Библиографическая ссылка

Кайгермазов А.А., Кудаева Ф.Х., Кармоков М.М., Мамбетов М.Ж., Долова М.Х. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КРИОДЕСТРУКЦИИ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ТКАНИ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=22558 (дата обращения: 08.04.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074