Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,931

ПОСТРОЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ТРЕНДА ИМИТИРУЕМОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА В ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Куликова О.В. 1 Куликова И.В. 1
1 ФБГОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения»
Представлены материалы, иллюстрирующие этапы исследовательской деятельности при составлении тригонометрического тренда периодического процесса, имитирующего функционирование некоторой технической системы, совершающей колебательное движение. При построении математической модели используются результаты автокорреляционного анализа эмпирических данных и аппарат проверки статистических гипотез. Характерные особенности функциональных зависимостей для точечной и интервальной оценки полученного тренда раскрываются с помощью их графических моделей. Оценка качества уравнения тренда проводится с применением распределения Фишера-Снедокора. Моделирование колебательного движения по заданной функциональной зависимости проводится с привлечением генератора случайных чисел. Описание эмпирических данных ограничивается составлением тригонометрического тренда с одной гармоникой. Предложенная систематизация теоретических сведений направлена на формирование умений по обобщению эмпирических результатов исследования периодических процессов на основе аппарата математической статистики.
интервальная оценка тренда
точечная оценка тренда
автокорреляционный анализ
тригонометрический тренд
имитационное моделирование
1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. – М.: Юнити, 1998. – 1005 с.
2. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов. – М.: Юнити-Дана, 2003. – 352 с.
3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: учебник для студентов вузов: – Изд. 3-е, перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 328 с. ISBN 978-5-238-01720-4.
4. Минько А.А. Статистический анализ в MS Excel.: М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. 448 с.
5. Павловский Ю.Н. Имитационное моделирование: учеб. пособ. для студ. высш. учеб. заведений / Ю.Н. Павловский, Н.В. Белотелов, Ю.И. Бродский. – М.: Изд. цент «Академия», 2008. – 236 с. ISBN 978-5-7695-3967-1.
6. Строгалев В.П., Толкачева И.Ю. Имитационное моделирование: учеб. пособ. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. – 280 с. ISBN 978-5-7038-3021-5.
7. Ханк Д.Э., Уичерн Д.У., Райтс А.Дж. Бизнес-прогнозирование, 7-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. 656 с.
8. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 344 с. ISBN 5-279-01955-0.

Исследование системных объектов различной природы в современных условиях неразрывно связано с имитационным моделированием [5, 6], которое позволяет создавать разнообразные детерминировано-вероятностные функциональные зависимости, имитирующие работу заданной системы с помощью генератора случайных чисел. Получаемая исследователем информация для анализа программируемых закономерностей представляет собой массивы эмпирических данных о значениях независимых и зависимых переменных. Построение математической модели, устанавливающей взаимосвязь искомых и известных величин, предоставляет возможность провести тестирование программы автоматических вычислений на адекватность отражения существенных закономерностей, присущих исследуемому объекту, проявляющему системные свойства. Если независимой переменной выступает время, то представляется целесообразным рассматривать величины, изменяемые во времени, как временные ряды.

Подбор линейной или нелинейной модели тренда для описания закономерностей эмпирических данных подробно рассматривается в работах [1, 2, 3, 7, 8]. Определению параметров тригонометрического тренда, значения уровней которых повторяются с некоторым периодом, для исследования периодических процессов уделяется недостаточное внимание. Это связано прежде всего с трудоемкостью вычислительных процедур, обеспечивающих нахождение параметров исследуемых закономерностей. Функционирование многих технических систем или устройств рассматривается как колебательное движение, математической моделью которых выступают разнообразные композиции тригонометрических функций, поэтому представляется целесообразным систематизировать информацию о составлении тригонометрического тренда и проверке его статистической значимости. Иллюстрация содержания исследовательской деятельности, направленной на построение математической модели периодического процесса, представляет собой последовательное описание операций статистического анализа эмпирических данных, полученных при имитационном моделировании колебательного движения некоторой технической системы. Формирование исследовательских умений может включать следующие этапы: восприятие понятия тригонометрического тренда; получение эмпирических данных периодического процесса; составление точечной и интервальной оценки тригонометрического тренда; оценка качества уравнения тренда.

Результаты и обсуждение

Восприятие понятия тригонометрического тренда. Временным рядом (n – число уровней ряда) называется упорядоченная последовательность наблюдений над некоторыми явлениями, характер которых меняется во времени. Особенностью временного ряда является то, что порядок последовательности t1, t2, …, tn существенен для анализа, а время выступает как один из определяющих факторов [1, 2, 3, 8].

Математическая модель точечной оценки тригонометрического тренда имеет следующий вид [2]:

где ŷt – моделируемое значение yt; a0, a2j-1, a2j – параметры тренда, j = 1, …, m/2 – 1; m – период тренда.

Параметры тригонометрического тренда a0, a2j-1, a2j определяются с помощью метода наименьших квадратов и вычисляются по формулам [2]:

(2)

где l – количество периодов временного ряда.

Выделение периодической составляющей временного ряда осуществляется с помощью автокорреляционного анализа, который характеризует степень тесноты связи между наблюдениями и сдвинутыми относительно их на s уровней наблюдениями . Коэффициент автокорреляции rs, определяющий автокорреляционную зависимость между членами одного и того же ряда, но смещенными на s уровней, находится по формуле [1, 7]:

(3)

Если временной ряд имеет периодическую составляющую, то значения коэффициента автокорреляции rs, не меньшие, чем значение r1, будет повторяться через количество уровней, равных периоду. Наглядное представление автокорреляционной функции получают с помощью ее графика – автокоррелограммы [1, 7].

Оценка качества уравнения тренда определяется с помощью коэффициента детерминации R2, вычисление которого проводится по формуле:

(4)

Статистическая значимость уравнения тренда устанавливается по F-критерию (распределение Фишера–Снедекора) на уровне значимости α при числе степеней свободы k1, k2 (k1 = n, k2 = n – k – 1, k – количество параметров ai, i = 1,…, m – 2). Связь между значениями уровней временного ряда и временем считается статистически значимой, если выполняется неравенство [2, 3]:

Fнабл > Fкр(α; k1, k2). (5)

Значение критической точки Fкр(α; k1, k2) на уровне значимости α при числе степеней свободы k1, k2 определяется по таблице распределения Фишера–Снедекора, а наблюдаемое значение Fнабл критерия Фишера–Снедекора вычисляется по формуле [2, 3]:

Уравнения нижней и верхней границ интервальной оценки ( тренда составляются с учетом абсолютной погрешности Δ по следующим формулам:

где – значение критической точки распределения Стьюдента на уровне значимости α при числе степеней свободы n – k – 1; σ2 – дисперсия случайной составляющей.

Получение эмпирических данных периодического процесса. Колебательное движение некоторой технической системы моделировалось на основе математической модели, параметры которой подбираются с помощью программного обеспечения ЭВМ. Использование в программе генератора случайных значений имитировало проявление детерминировано-вероятностных закономерностей. В ходе проведения вычислительного эксперимента фиксировались значение величины f(t), изменяющейся во времени (рис. 1, табл. 1).

Рис. 1. Графическое представление эмпирических данных

Таблица 1

Значения величины f(t)

i

ti-1

f(ti-1)

i

ti-1

f(ti-1)

i

ti-1

f(ti-1)

i

ti-1

f(ti-1)

i

ti-1

f(ti-1)

1

0

0,01003

25

0,48

0,01003

49

0,96

0,01003

73

1,44

0,01003

97

1,92

0,01003

2

0,02

0,01002

26

0,50

0,01003

50

0,98

0,01003

74

1,46

0,01003

98

1,94

0,01003

3

0,04

0,01001

27

0,52

0,01002

51

1,00

0,01002

75

1,48

0,01002

99

1,96

0,01002

4

0,06

0,01000

28

0,54

0,01000

52

1,02

0,01001

76

1,50

0,01001

100

1,98

0,01001

5

0,08

0,00998

29

0,56

0,00999

53

1,04

0,00999

77

1,52

0,00999

101

2

0,00999

6

0,10

0,00997

30

0,58

0,00997

54

1,06

0,00998

78

1,54

0,00998

102

2,02

0,00998

7

0,12

0,00997

31

0,60

0,00997

55

1,08

0,00997

79

1,56

0,00997

103

2,04

0,00997

8

0,14

0,00997

32

0,62

0,00997

56

1,10

0,00997

80

1,58

0,00997

104

2,06

0,00997

9

0,16

0,00998

33

0,64

0,00998

57

1,12

0,00998

81

1,60

0,00998

105

2,08

0,00998

10

0,18

0,01000

34

0,66

0,01000

58

1,14

0,01000

82

1,62

0,01000

106

2,1

0,00999

11

0,20

0,01001

35

0,68

0,01001

59

1,16

0,01001

83

1,64

0,01001

107

2,12

0,01001

12

0,22

0,01002

36

0,70

0,01002

60

1,18

0,01003

84

1,66

0,01002

108

2,14

0,01002

13

0,24

0,01003

37

0,72

0,01003

61

1,20

0,01003

85

1,68

0,01003

109

2,16

0,01003

14

0,26

0,01003

38

0,74

0,01003

62

1,22

0,01003

86

1,70

0,01003

110

2,18

0,01003

15

0,28

0,01001

39

0,76

0,01002

63

1,24

0,01002

87

1,72

0,01002

111

2,2

0,01002

16

0,30

0,01000

40

0,78

0,01000

64

1,26

0,01001

88

1,74

0,01001

112

2,22

0,01001

17

0,32

0,00998

41

0,80

0,00999

65

1,28

0,00999

89

1,76

0,00999

113

2,24

0,00999

18

0,34

0,00997

42

0,82

0,00998

66

1,30

0,00998

90

1,78

0,00998

114

2,26

0,00998

19

0,36

0,00997

43

0,84

0,00997

67

1,32

0,00997

91

1,80

0,00997

115

2,28

0,00997

20

0,38

0,00997

44

0,86

0,00997

68

1,34

0,00997

92

1,82

0,00997

116

2,3

0,00997

21

0,40

0,00998

45

0,88

0,00998

69

1,36

0,00998

93

1,84

0,00998

117

2,32

0,00998

22

0,42

0,01000

46

0,90

0,01000

70

1,38

0,01000

94

1,86

0,00999

118

2,34

0,00999

23

0,44

0,01001

47

0,92

0,01001

71

1,40

0,01001

95

1,88

0,01001

119

2,36

0,01001

24

0,46

0,01002

48

0,94

0,01003

72

1,42

0,01003

96

1,90

0,01002

120

2,38

0,01002

Составление точечной и интервальной оценок тригонометрического тренда. Для выявления периодической составляющей вычисляются по формуле (3) с использованием функции «КОРРЕЛ» электронных таблиц Excel [4] 16 значений коэффициента автокорреляции, строится автокоррелограмма (рис. 2) и определяется период тригонометрического тренда (m = 12).

Рис. 2. Автокоррелограмма эмпирических данных

Наибольшее значение амплитуды тригонометрического тренда наблюдается у первой гармоники, поэтому в практических случаях часто ограничиваются построением математической модели f*(t) с одной гармоникой по формуле (1), учитывая, что j = 1. Графическая модель точечной оценки тренда представлена на рисунке 3, а ее уравнение имеет вид:

где t0 – начальный момент времени, Δt – шаг изменения времени.

Рис. 3. Точечная оценка тренда

В формуле (8) учтена особенность того, что отсчет времени может начинаться с t0 и изменяться с шагом Δt , в отличие от того, что отсчет уровней временного ряда начинается от единицы и изменяется с шагом, также равным единице. Параметры a0, a1, a2 функции f*(t) находятся для n = 120 и l = 10 по формуле (2) и принимают следующие значения:

Средние значения i-ого уровня всех l периодов вычисляется по формуле:

а их множество представлено в таблице 2. В данном эксперименте t0 = 0, Δt = 0,02 с.

Таблица 2

Средние значения всех уровней периода тренда

i

1

2

3

4

5

6

0,01003

0,01003

0,01002

0,01001

0,00999

0,00998

i

7

8

9

10

11

12

0,00997

0,00997

0,00998

0,01000

0,01001

0,01002

Интервальная оценка (f*(t) – Δ; f*(t) + Δ) тригонометрического тренда определяется по t-критерию (распределение Стьюдента) на уровне значимости α = 0,05 при числе степеней свободы 117 по формуле (7). Уравнения нижней f*н(t) и верхней f*в(t) границ интервальной оценки имеют вид:

Графические модели уравнений f*н(t) и f*в(t) представлены на рисунке 4.

Рис. 4. Интервальная оценка тригонометрического тренда

Интервал (f*(t) – Δ; f*(t) + Δ) накрывает все эмпирические данные (рис. 4), следовательно, ограничение одной гармоникой тригонометрического тренда успешно описывает результаты проведенного вычислительного эксперимента.

Оценка качества уравнения тренда. Коэффициент детерминации R2 вычисляется по формуле (6) и в данном исследовании принимает значение, равное 0,47. Значимость R2, определяемая по F-критерию (распределение Фишера—Снедокора), характеризует возможность применения уравнения тренда f*(t) для описания рассматриваемого периодического процесса. По результатам вычислений устанавливается, что связь между значениями функции f*(t), разделенными Δt (значениями уровней временного ряда), статистическая значима на уровне α = 0,05 при числе степеней свободы k1 = 120 и k2 = 117, так как неравенство (5) выполняется (Fнабл = 52,68; Fкр(0,05; 120; 117) = 1,35). Математическая модель интервальной оценки функциональной зависимости f*(t) адекватно отображает взаимосвязи совершаемого некоторой технической системой колебательного движения f(t), информация о котором представлена в табличной форме (таблица 1).

Заключение

Представление тригонометрического тренда двумя и более гармониками позволяет получить более точные результаты по моделированию периодического процесса. Количество гармоник, которое включается в математическую модель, определяется допустимой точностью функционирования заданной технической системы. При этом обязательно учитывается условие о накрытии интервальной оценкой составляемой функциональной зависимости размаха отклонений амплитуды колебаний. Предложенные этапы построения тригонометрического тренда могут использоваться в учебно-исследовательской деятельности студентов технических направлений подготовки при изучении дисциплин профессионального цикла образовательной программы.

Рецензенты:

Стружанов В.В., д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник Института машиноведения УрО РАН, г. Екатеринбург;

Титов С.С., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и техническая графика» Уральской государственной архитектурно-художественной академии, г. Екатеринбург.


Библиографическая ссылка

Куликова О.В., Куликова И.В. ПОСТРОЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ТРЕНДА ИМИТИРУЕМОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА В ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1-1.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=17946 (дата обращения: 23.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074