Одной из моделей неопределенности является сочетание в ней нечеткости и случайности. Это приводит к появлению нечетких случайных переменных. Наиболее часто встречаются гибридные данные, когда вектор условной плотности экспериментальных данных имеет нечеткие параметры. Например, одномерная нечеткая случайная переменная 
имеет нормальную плотность с нечетким математическим ожиданием 
и нечетким средним квадратическим отклонением
или в символической форме
, где N- символ «нормальности» 
,- заданные функции принадлежностей.
Актуальной задачей обработки гибридных данных является сглаживание (фильтрации) случайной составляющей и нахождении результирующей функции принадлежностей. Для решения этой задачи будем использовать метод наименьших квадратов (МНК).
Постановка Задачи
Имеем вектор 
«гибридных» данных, « H » - индекс нечеткости. Необходимо сгладить их методом наименьших квадратов (МНК). Предполагается, что выполнены следующие условия. Данные 
Связаны линейной моделью:
где
-нечеткая случайная переменная с симметричной плотностью и параметрами:
-единичная матрица,
- заданная четкая константа; нечеткость 
задается с помощью функции принадлежностей 
треугольного типа с параметрами
- заданные базисные функции модели;
- неизвестные параметры модели, подлежащие определению по "m" измерениям: 
, которые получены в моменты времени 
- число измерений "n" больше числа "m" неизвестных параметров модели.
Метод Решения
В соответствии с МНК вектор оценок 
находится из условия
где 
- прямоугольная матрица;
– вектор параметров модели, подлежащий определению. Для минимизации квадратичной формы 
использует преобразования, связанные с алгеброй матриц, тогда получим нечеткую линейную систему (НЛС) относительно вектора Х
где 
- квадратная матрица с 
из элементов скалярных произведений заданных базисных функций 
и
в
. Очевидно, что элементы матрицы являются четкими переменными. Вектор 
является вектором нечетких переменных.
Полученная НЛС решается в соответствии с методикой изложенной в [2]. В результате находится вектор нечетких оценок 
, который может быть «сильным» или «слабым». Здесь под "сильным"
подразумевается вектор, для которого все нечеткие компоненты 
:
удовлетворяют условиям:
-монотонно убывающая функция ; 
Монотонно возрастающая функция; 
Если хотя бы для одной из компонент 
нарушается одно из условий (i)
(iii), то после соответствующей замены переменных, при которой уже выполняются упомянутые соотношения, тогда нечеткий вектор 
принято называть "слабым"[1].
Нечеткая оценка модели будет равна:
Как и ранее она может быть либо "сильной", либо "слабой". Если все 
являются «сильными», то 
- сильная модель. Если хотя бы одна из
является слабой, то 
- «слабая» модель.
Пример 1.
Имеем модель:
где 
- базисная функция модели; 
- нечеткая случайная переменная, распределенная по равномерному закону на промежутке
с функцией принадлежности
типа равнобедренного треугольника с параметрами 
-дисперсия равномерного распределения:
, тогда:
или в эквивалентной уровневой форме:
Пусть в результате генерации одной из реализаций равномерного закона на 
было получено: 
тогда нечеткие случайные переменные будут соответственно равны:
В итоге получим вектор 
«гибридных» данных
,
где 
Далее для "m=4"измерений имеем:
В результате получим НЛС:
, поэтому НЛС невырождена. Расширенная НЛС будет иметь вид:
Поэтому
нечеткая «сильная» оценка, т.е. относительно 
,
выполнены условия (i)
(iii) Нечеткая «сильная» оценка модели равна:
Задавая 
как некую функцию векторного параметра "α"можно получить «слабую» оценку
и
.
Пример 2.
Имеем модель: 
Здесь 
- базисные функции 
. Получены нечеткие случайные данные (m=3):
Вычисления дают:
В результате получим:
.
Оценка 
является «сильной», если компоненты 
удовлетворяют условиям:
- монотонно убывающая 
- монотонно возрастающая 
Для
имеем:
;
поэтому при 
, т.е справедливо (iii). Это означает, что
является «сильной» оценкой при 
.
Аналогичные вычисления для 
дают, что при 
оценка 
является «сильной», а при 
она является «слабой». Это означает, что в зависимости от величины параметра "
" нечеткая оценка модели 
может быть либо «сильной», либо «слабой».
ВЫВОДЫ
- Разработана методика решения нечеткой линейной системы, которая возникает при сглаживании «гибридных» данных по методу наименьших квадратов.
- Моделируются «гибридные» данные для простейшей нечеткой линейной модели и показано, что она является «сильной» моделью.
- Указано направление получения «слабой» модели нечеткого случайного процесса.
Рецензенты:
Девеев А.И., д.т.н., профессор, зав. сектором вычислительного Центра Российской Академии наук (ВЦ РАН) им. А.А. Дородницына, г. Москва.
Воронов Е.М., д.т.н., профессор, государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва.
Библиографическая ссылка
Мочалов И.А., Хрисат м.с. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЧЕТКИХ СЛУЧАЙНЫХ ДАННЫХ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=16180 (дата обращения: 13.09.2024).