Сетевое издание

Современные проблемы науки и образования

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

• Авторы
• Резюме
• Файлы

ИВАНОВ Е.М.

Показано, что при действии на тело массы m силы F под любым углом при наличии трения и без него, будет совершена одна и та же работа A = F2t2 /(2m) .

Статья в формате PDF

105 KB

Если на тело массы m , находящегося на гладкой горизонтальной поверхности, действует
постоянная сила F , направленная под некото­рым углом α к горизонту и при этом тело перемещается на некоторое расстояние S , то говорят, что сила F совершила работу A. Величину работы определяют по формуле [1,2,3]:

A = F × S cosα                                  (1)

Однако в природе идеально гладких поверх­ностей не бывает, и на поверхности контакта двух тел всегда возникают силы трения. Вот как об этом пишется в учебнике [1, Стр. 200]: «Рабо­та силы трения покоя равна нулю, поскольку пе­ремещение отсутствует. При скольжении твер­дых поверхностей сила трения направлена про­тив перемещения. Ее работа отрицательна. Вследствие этого кинетическая энергия трущих­ся тел превращается во внутреннюю - трущиеся поверхности нагреваются».

Автором данной статьи было просмотрено множество школьных и вузовских учебников и задачников, но работа против сил трения рас­сматривалась только применительно к равномерному движению:

А_ТР = F_ТР×S = μNS   (2)

где μ - коэффициент трения скольжения.

Только в учебнике О.Д. Хвольсона [3, стр. 92] рассмотрен случай УСКОРЕННОГО ДВИ­ЖЕНИЯ при наличии сил трения: «Итак, следует отличать два случая производства работы: в пер­вом сущность работы заключается в преодолевании внешнего сопротивления движению, которое совершается без увеличения скорости движения тела; во втором - работа обнаруживается увели­чением скорости движения, к которому внешний мир относится индифферентно.

На деле мы обыкновенно имеем СОЕДИНЕ­НИЕ ОБОИХ СЛУЧАЕВ: сила  f  преодолевает какие-либо сопротивления и в то же время меня­ет скорость движения тела.

Положим, что f' не равно f , а именно, что f'< f . В таком случае на тело действует сила
f - f', работа ρ которой вызывает увеличе­ние скорости тела. Мы имеем ρ =(f - f')S ,
откуда

fS = f'S + ρ                       (*)

Работа   r = fS   состоит из двух  частей: f 'S  тратится на преодолевание внешнего со­противления, ρ на увеличение скорости тела».

Представим это в современной интерпрета­ции (рис. 1). На тело массы m действует сила тяги F_T, которая больше силы трения F_TP = μN = μmg. Работу силы тяги в соответствии с формулой (*) можно записать так

A=F_T S =F_TPS +F_aS = A_TP + A_a      (3)

где F_a =F_T - F_TP - сила, вызывающая ускоренное движение тела в соответствии со II зако­ном Ньютона: F_a = ma . Работа силы трения отрицательна, но здесь и далее мы будем исполь­зовать силу трения и работу трения по модулю. Для дальнейших рассуждений необходим чис­ленный анализ. Примем следующие данные: m =10 кг; g =10 м/с²; F_T =100 Н; μ = 0,5; t =10 с. Проводим следующие вы­числения: F_TP = μmg = 50 Н; F_a = 50 Н; a=F_a /m=5     м/с²;     V = at = 50     м/с; K = mV² /2 =12,5  кДж; S = at² /2 = 250 м;   A_a = F_aS =12,5 кДж; A_TP =F_TP S=12,5 kДж. Таким образом суммарная работа A = A_TP + A_a =12,5 +12,5 = 25 кДж

А теперь рассчитаем работу силы тяги F_T для случая, когда трение отсутствует ( μ =0 ).

Проводя аналогичные вычисления, получаем: a =10 м/с²; V =100м/с; K = 50 кДж; S = 500 м; A = 50 кДж. В последнем случае за те же 10 с мы получили работу в два раза больше. Могут возразить, что и путь в два раза больше. Однако, что бы ни говорили, получается парадоксальная ситуация: мощности, развивае­мой одной и той же силой, отличаются в два раза, хотя импульсы сил одинаковы I =F_Tt =1 кН•с. Как писал М.В. Ломоносов еще в 1748 г.: «...но все изменения, совершающиеся в природе, происходят таким образом, что сколько к чему прибавилось столько же отнимется у другого...». Поэтому попробуем получить другое выражение для определения работы.

Запишем II закон Ньютона в дифференци­альной форме:

F• dt = d(mV )                                   (4)

и рассмотрим задачу о разгоне первоначаль­но неподвижного тела (трение отсутствует). Ин­тегрируя (4), получим: F ×t = mV . Возведя в квадрат и разделив на 2m обе части равенства, получим:

F²t² / 2m =  mV ² / 2       A= K           (5)

Таким образом, получили другое выражение для вычисления работы

A = F²t² / 2m   = I² / 2m     (6)

где I = F × t - импульс силы. Это выражение не связано с путем S, пройденным телом за время t, т.е. оно может быть использовано для вычис­ления работы, совершаемой импульсом силы и в том случае, если тело остается неподвижным, хотя, как утверждают во всех курсах физики, в этом случае никакой работы не совершается.

Переходя к нашей  задаче об  ускоренном движении с трением, запишем сумму импульсов сил:  I_T = I_a + I_TP, где I_T = F_Tt; I _a  = F _at ;  I_TP = F_TPt. Возведя в квадрат сумму импуль­сов, получим:

F_T² t² = F_a ² t² + 2F_a F_TPt² + F_TP² t ²

Разделив все члены равенства на 2m , полу­чим:

(7)

или A= A_a + A_УТ + A_TP

где A_a=F _a²t ² / 2m- работа, затрачиваемая ускорение; A_TP = F_TP ² t ² /2m - работа, затрачиваемая на преодоление силы трения при равно­мерном движении, а A_УT =F_aF_TPt²/m- ра­бота, затрачиваемая на преодоление силы трения при ускоренном движении. Численный расчет дает следующий  результат:

A = A_a + A_Ут + A_TP = 12,5 + 25 +12,5 = 50 кДж,

т.е. мы получили ту же самую величину работы, которую совершает сила F_T  при отсут­ствии трения.

Рассмотрим более общий случай движения тела с трением, когда на тело действует сила F, направленная под углом α к горизонту (рис. 2). Теперь сила тяги F_T = F cos α, а силу F_Л=F sin α - назовем силой левитации, она уменьшает силу тяжести  P = mg, а в случае F_Л = mg тело не будет оказывать давления на опору, будет находиться в квазиневесомом состоянии   (состоянии   левитации).   Сила трения F_TP   =  μ N  =  μ(P  -  F_Л). Силу тяги  можно записать в виде F_T=F_a+F_TP, а из прямо­угольного треугольника (рис. 2) получим: F² =F_Т² +F_Л². Умножая последнее соотно­шение на t² , получим баланс импульсов сил, а разделив на 2m, получим баланс энергий (ра­бот):

Приведем численный расчет  для силы F = 100 Н и α = 30^o при тех же условиях (m = 10 кг;  μ = 0,5; t = 10 с). Работа силы F будет равна A = F²t² /2m = 50 , а формула (8) дает следующий результат (с точностью до третьего знака после запятой):

50=15,625+18,974-15,4-12,5+30,8+12,5 кДж.

Как показывают расчеты, сила F = 100 Н, действуя на тело массы m = 10 кг под любым углом α за 10 с совершает одну и ту же работу 50 кДж.

Последний член в формуле (8) представляет собой работу силы трения при равномерном движении тела по горизонтальной поверхности со скоростью V

Рис.1

Рис.2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ              

1. Матвеев А.Н. механика и теория относительности. Учеб.пособие для физ.спец.вузов. -М.: Высш.шк., 1986.       
2. Стрелков  СП.   Механика.   Общий  курс физики. Т. 1. - М.: ГИТТЛ, 1956.
3. Хвольсон О.Д. Курс физики. Т. 1. РСФСР Госуд.Изд-во, Берлин, 1923.

Библиографическая ссылка