Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

РАБОТА ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛ С ТРЕНИЕМ

ИВАНОВ Е.М.
Показано, что при действии на тело массы m силы F под любым углом при наличии трения и без него, будет совершена одна и та же работа A = F2t2 /(2m) .

Если на тело массы m , находящегося на гладкой горизонтальной поверхности, действует
постоянная сила F , направленная под некото­рым углом α к горизонту и при этом тело перемещается на некоторое расстояние S , то говорят, что сила F совершила работу A. Величину работы определяют по формуле [1,2,3]:

A = F × S cosα                                  (1)

Однако в природе идеально гладких поверх­ностей не бывает, и на поверхности контакта двух тел всегда возникают силы трения. Вот как об этом пишется в учебнике [1, Стр. 200]: «Рабо­та силы трения покоя равна нулю, поскольку пе­ремещение отсутствует. При скольжении твер­дых поверхностей сила трения направлена про­тив перемещения. Ее работа отрицательна. Вследствие этого кинетическая энергия трущих­ся тел превращается во внутреннюю - трущиеся поверхности нагреваются».

Автором данной статьи было просмотрено множество школьных и вузовских учебников и задачников, но работа против сил трения рас­сматривалась только применительно к равномерному движению:

АТР = FТР×S = μNS   (2)

где μ - коэффициент трения скольжения.

Только в учебнике О.Д. Хвольсона [3, стр. 92] рассмотрен случай УСКОРЕННОГО ДВИ­ЖЕНИЯ при наличии сил трения: «Итак, следует отличать два случая производства работы: в пер­вом сущность работы заключается в преодолевании внешнего сопротивления движению, которое совершается без увеличения скорости движения тела; во втором - работа обнаруживается увели­чением скорости движения, к которому внешний мир относится индифферентно.

На деле мы обыкновенно имеем СОЕДИНЕ­НИЕ ОБОИХ СЛУЧАЕВ: сила  преодолевает какие-либо сопротивления и в то же время меня­ет скорость движения тела.

Положим, что f' не равно f , а именно, что f'< f . В таком случае на тело действует сила
f - f', работа ρ которой вызывает увеличе­ние скорости тела. Мы имеем ρ =(f - f')S ,
откуда

fS = f'S + ρ                       (*)

Работа   r = fS   состоит из двух  частей: f 'тратится на преодолевание внешнего со­противления, ρ на увеличение скорости тела».

Представим это в современной интерпрета­ции (рис. 1). На тело массы m действует сила тяги FT, которая больше силы трения FTP = μN = μmg. Работу силы тяги в соответствии с формулой (*) можно записать так

A=FT S =FTPS +FaS = ATP + Aa      (3)

где Fa =FT - FTP - сила, вызывающая ускоренное движение тела в соответствии со II зако­ном Ньютона: Fa = ma . Работа силы трения отрицательна, но здесь и далее мы будем исполь­зовать силу трения и работу трения по модулю. Для дальнейших рассуждений необходим чис­ленный анализ. Примем следующие данные: m =10 кг; g =10 м/с2; FT =100 Н; μ = 0,5; t =10 с. Проводим следующие вы­числения: FTP = μmg = 50 Н; Fa = 50 Н; a=Fa /m=5     м/с2;     V = at = 50     м/с; K = mV2 /2 =12,5  кДж; S = at2 /2 = 250 м;   Aa = FaS =12,5 кДж; ATP =FTP S=12,5 kДж. Таким образом суммарная работа A = ATP + Aa =12,5 +12,5 = 25 кДж

А теперь рассчитаем работу силы тяги FT для случая, когда трение отсутствует ( μ =0 ).

Проводя аналогичные вычисления, получаем: a =10 м/с2; V =100м/с; K = 50 кДж; S = 500 м; A = 50 кДж. В последнем случае за те же 10 с мы получили работу в два раза больше. Могут возразить, что и путь в два раза больше. Однако, что бы ни говорили, получается парадоксальная ситуация: мощности, развивае­мой одной и той же силой, отличаются в два раза, хотя импульсы сил одинаковы I =FTt =1 кН•с. Как писал М.В. Ломоносов еще в 1748 г.: «...но все изменения, совершающиеся в природе, происходят таким образом, что сколько к чему прибавилось столько же отнимется у другого...». Поэтому попробуем получить другое выражение для определения работы.

Запишем II закон Ньютона в дифференци­альной форме:

F dt = d(mV )                                   (4)

и рассмотрим задачу о разгоне первоначаль­но неподвижного тела (трение отсутствует). Ин­тегрируя (4), получим: F ×t = mV . Возведя в квадрат и разделив на 2m обе части равенства, получим:

F2t2 / 2m =  mV 2 / 2       A= K           (5)

Таким образом, получили другое выражение для вычисления работы

A = F2t2 / 2m   = I2 / 2m     (6)

где I = F × t - импульс силы. Это выражение не связано с путем S, пройденным телом за время t, т.е. оно может быть использовано для вычис­ления работы, совершаемой импульсом силы и в том случае, если тело остается неподвижным, хотя, как утверждают во всех курсах физики, в этом случае никакой работы не совершается.

Переходя к нашей  задаче об  ускоренном движении с трением, запишем сумму импульсов сил:  IT = Ia + ITP, где IT = FTt; a  = F at ITP = FTPt. Возведя в квадрат сумму импуль­сов, получим:

FT2 t2 = Fa 2 t2 + 2Fa FTPt2 + FTP2 t 2

Разделив все члены равенства на 2m , полу­чим:

f(7)

или A= Aa + AУТ + ATP

где Aa=F a2t 2 / 2m- работа, затрачиваемая ускорение; ATP = FTP 2 t 2 /2m - работа, затрачиваемая на преодоление силы трения при равно­мерном движении, а AУT =FaFTPt2/m- ра­бота, затрачиваемая на преодоление силы трения при ускоренном движении. Численный расчет дает следующий  результат:

A = Aa + AУт + ATP = 12,5 + 25 +12,5 = 50 кДж,

т.е. мы получили ту же самую величину работы, которую совершает сила FT  при отсут­ствии трения.

Рассмотрим более общий случай движения тела с трением, когда на тело действует сила F, направленная под углом α к горизонту (рис. 2). Теперь сила тяги FT = F cos α, а силу FЛ=F sin α - назовем силой левитации, она уменьшает силу тяжести  P = mg, а в случае FЛ = mg тело не будет оказывать давления на опору, будет находиться в квазиневесомом состоянии   (состоянии   левитации).   Сила трения FTP   =  μ N  =  μ(P  -  FЛ)Силу тяги  можно записать в виде FT=Fa+FTP, а из прямо­угольного треугольника (рис. 2) получим: F2 =FТ2 +FЛ2. Умножая последнее соотно­шение на t2 , получим баланс импульсов сил, а разделив на 2m, получим баланс энергий (ра­бот):

F

Приведем численный расчет  для силы F = 100 Н и α = 30o при тех же условиях (m = 10 кг;  μ = 0,5; t = 10 с). Работа силы F будет равна A = F2t2 /2m = 50 , а формула (8) дает следующий результат (с точностью до третьего знака после запятой):

50=15,625+18,974-15,4-12,5+30,8+12,5 кДж.

Как показывают расчеты, сила F = 100 Н, действуя на тело массы m = 10 кг под любым углом α за 10 с совершает одну и ту же работу 50 кДж.

Последний член в формуле (8) представляет собой работу силы трения при равномерном движении тела по горизонтальной поверхности со скоростью V

f

Таким образом, под каким бы углом не дей­ствовала данная сила F на данное тело массы m , при наличии трения или без него, за время  будет совершена одна и та же работа (даже если тело неподвижно):

f

p

Рис.1

p

Рис.2

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ              

  1. Матвеев А.Н. механика и теория относительности. Учеб.пособие для физ.спец.вузов. -М.: Высш.шк., 1986.       
  2. Стрелков  СП.   Механика.   Общий  курс физики. Т. 1. - М.: ГИТТЛ, 1956.
  3. Хвольсон О.Д. Курс физики. Т. 1. РСФСР Госуд.Изд-во, Берлин, 1923.

Библиографическая ссылка

ИВАНОВ Е.М. РАБОТА ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛ С ТРЕНИЕМ // Современные проблемы науки и образования. – 2005. – № 2. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=1468 (дата обращения: 18.10.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074