Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

МОДЕЛЬ РОСТА ОДНОТИПНОЙ ПОПУЛЯЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ И ВРЕМЕНИ

Бутов А.А. 1 Егоров А.Г. 1
1 ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет»
При исследовании популяций, развивающихся в пространстве и времени, возникает задача оценки численности популяции в произвольных областях, зная начальное распределение. Под однотипной популяцией в данной работе рассматривается популяция бактерий. Предполагается, что наблюдается не вся область, а лишь выборочные ее сектора в случайные моменты времени. При этом наблюдение сильно зашумлено – в момент подсчета числа бактерий в некоторой области бактерии могут перемещаться в соседние области. Целью данной работы является построение адекватной математической модели, позволяющей анализировать развитие однотипной популяции в пространстве и времени. Методом исследования является имитационное стохастическое моделирование. Оценка реального числа бактерий в секторе по серии наблюдений осуществляется на основе дискретной схемы Калмана.
дискретная схема Калмана
процессы рождения и гибели
случайное блуждание
1. Арзамасцев А. А., Соломина О. А., Моделирование роста биологической популяции на плоскости // Математическое моделирование. – 2009. – Т. 21, № 4.
2. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. – М.: Наука, 1974. – 696 с.
3. Разжевайкин В. Н. Модели динамики популяций // Вычислительный центр им. А.А. Дородницына, Российской академии наук, 2006.
4. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – 2-е изд. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 344 с.
5. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME series D.,J. Basic Engg. 1960. V. 82. P. 35-45.

Введение

При исследовании популяций, развивающихся в пространстве и времени, возникает задача оценки численности популяции в произвольных областях в некоторый момент времени, зная начальное распределение [1]. Под однотипной популяцией в данной работе рассматривается популяция бактерий. Предполагается, что наблюдается не вся область, а лишь выборочные ее сектора в случайные моменты времени. При этом наблюдение сильно зашумлено – в момент подсчета числа бактерий в некоторой области бактерии могут перемещаться в соседние области. По этой причине разработка алгоритмов и математических моделей, предназначенных для анализа роста однотипных популяций, представляет актуальную научную проблему. Целью данной работы является построение адекватной математической модели, позволяющей анализировать развитие однотипной популяции в пространстве и времени. Методом исследования является имитационное стохастическое моделирование. Оценка реального числа бактерий в секторе на основе наблюдений осуществляется с помощью дискретной схемы Калмана.

Описание модели

Рассмотрим математическую модель роста однотипной популяции, развивающуюся из исходной популяции во времени и двумерном пространстве. Для определенности опишем процесс, являющийся моделью роста популяций бактерий.

Предположим, что ареал имеет форму прямоугольника. Разобьем ареал на одинаковые прямоугольные области, и , и – натуральные числа, таким образом , и .

В каждой области , и может находиться неотрицательное целое число бактерий. Каждая бактерия может с вероятностью () поделиться на две. Обозначим процесс, считающий количество появившихся бактерий в результате деления внутри области ( и ). Предполагается, что интенсивность деления пропорциональна количеству бактерий в области в момент времени с коэффициентом пропорциональности , т.е. компенсатор процесса описывается классической моделью Мальтуса [3] и равен:

(1)

где – количество бактерий в момент времени t внутри области ( и ). Основные определения и термины для описания семи мартингалов см. в [2].

Рассмотрим также процессы перехода бактерий в область из соседних областей и ухода бактерии из области в соседние области. Обозначим их и ( и ) соответственно. Предполагается, что компенсатор процесса ухода бактерии из области ( и ) также пропорционален количеству бактерий в области в момент времени с коэффициентом пропорциональности .

, (2)

где – интенсивность ухода бактерии из области из области ( и ).

а) б)

Рисунок 1. Переходы бактерий из области и в область из соседних областей

Обозначим – количество бактерий, перешедших из области в область , и в момент времени ; – из области в область , и ; – из области в область , и и – из области в область , и , см. рисунок 1 (а, б). Пусть бактерии не умирают, тогда выполняется соотношение:

(3)

Предполагается, что бактерия не может одновременно перейти в две разных области, т. е. выполняется равенство (4).

P-п. н. (4)

Предположим, что переходы бактерий из области будут происходить в момент скачков пуассоновского процесса. Обозначим эти моменты , , и . Тогда вероятности переходов будут равны:

(5)

С учетом (5) процесс равен

(6)

Предположим, что ареал замкнут всюду, т. е. ; ; и .

С учетом формул (1-3, 6) получаем, что количество бактерий в области ( и ) в момент времени t равно

(7)

где – начальное количество бактерий в из области ( и ).

Процесс наблюдения за процессом будет выглядеть следующим образом

, (8)

, ,

где – целочисленная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром , ошибка измерений.

Предположим, что распределение бактерий в начальный момент времени по областям ареала неравномерно. Требуется по наблюдению оценить численность бактерий в каждой области ареала.

Теоретическая оценка математического ожидания числа бактерий

Математическое ожидание процесса , считающего количество бактерий в области ( и ), из уравнений (1, 2, 6, 7) равно:

 

, (9)

где и , причем слагаемые с индексами: 0, и равны 0. Запишем полученные уравнения (9) в дифференциальном виде:

(10)

Получена система однородных линейных дифференциальных уравнений (10) с неизвестными и начальными значениями . Решение таких систем подробно изложено в [4]. Решение в общем виде можно записать через матричную экспоненту:

(11)

где – вектор, ; – матрица, составленная из коэффициентов уравнений (10); – начальное значение вектора.

Оценка численности числа бактерий

Предположим, что наблюдение за областями и происходит в случайные моменты времени , скачков пуассоновского процесса с интенсивностью одновременно во всех областях . И предположим также, что при подсчете количества бактерий в области и происходит ошибка , т. е.

(11)

где , – совокупность независимых случайных величин, c нулевым средним и дисперсией .

Значение процесса в моменты времени будет отличаться от математического ожидания на некоторую мартингальную часть. В предыдущем пункте был рассмотрен способ, позволяющий отыскать теоретическую оценку математического ожидания числа бактерий. Само решение зависит от конкретных значений интенсивностей переходов и и весовых коэффициентов, , , , , , поэтому обозначим, что от момента до момента математическое ожидание числа бактерий меняется по закону:

(12)

где – некоторая функция, которая ищется исходя из решений уравнений (10). Суммируя вышесказанное, получаем формулу (13):

, (13)

где – независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним и дисперсией .

Рассмотрим способ оценки реального числа бактерий по наблюдению за областью и на основе дискретной схемы Калмана [5].

В каждый момент времени оценка реального числа бактерий в области будет считаться как средневзвешенное между теоретической оценкой бактерий и наблюдаемыми значениями с коэффициентами и соответственно, где – коэффициенты Калмана [5].

(14)

где – коэффициент Калмана, . Нужно так подобрать коэффициенты, чтобы получившаяся оценка числа бактерий была наиболее близкой к реальному числу . К примеру, если известно, что ошибка обнаружения при подсчете числа бактерий очень мала, то коэффициенту нужно придать больший вес. И наоборот, если известно, что значение числа бактерий при подсчете очень не точное, следует больше ориентироваться на теоретически предсказанное значение .

Если обозначить ошибку между реальным значением числа бактерий в области и их оценкой , тогда задачу оценивания можно переформулировать в задачу минимизации среднеквадратической ошибки в момент времени , см. формулу (16).

(15)

(16)

Теорема. При сделанных выше предположениях оценка числа бактерий будет оптимальной при:

Доказательство

Используя уравнения (11), (13) и (14), перепишем уравнение (15) в виде:

Из предположения независимости случайных величин, входящих в и с учетом того, что и получаем, что выражение (15) можно переписать в виде:

Это выражение принимает минимальное значение при

(17)

Среднеквадратичная ошибка, минимизирующая значения коэффициентов Калмана, при этом равна:

(18)

Что и требовалось доказать.

Заключение

Рассмотренная в статье модель позволяет описать рост однотипной популяции в пространстве и времени на основе семимартингальных точечных процессов по известному начальному распределению. Получена итерационная формула (17) для вычисления оптимальной оценки числа бактерий в произвольной области на основе нескольких наблюдений.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (НИР, проводимые в рамках государственного задания Министерства образования и науки РФ на 2013 г., Программы стратегического развития УлГУ на 2012–2016 гг., Программы развития деятельности студенческих объединений УлГУ на 2012-2013 гг.).

Рецензенты:

Кемер А.Р., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск.

Андреев А.С., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск.


Библиографическая ссылка

Бутов А.А., Егоров А.Г. МОДЕЛЬ РОСТА ОДНОТИПНОЙ ПОПУЛЯЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ И ВРЕМЕНИ // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 6. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=10794 (дата обращения: 01.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074