Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

MATHEMATICAL MODEL OF THE REFERENCE GAS BEARINGS OPERATING IN HYBRID MODE

Loginov V.N. 1 Kosmynin A.V. 1 Shirokova Z.V. 1 Medvedovskaya Yu.A. 1
1 State educational institutional of higher professional educational «Komsomolsk-na-Amure state technical university»
Consider the analytic solution for the performance part of the porous cylindrical bearing with external pressurization gas, operating in hybrid mode (with a rotating shaft). The methodology used is a modified Reynolds equation, the solution of which is the sum of the two solutions. First – corresponds to the solution of the static problem determination of the pressure field (without shaft). The second solution is using the expansion in the small parameter, which is used as the number of compressibility. The solution of the problem is determined bearing load capacity, stiffness its lubricant layer, the angular position of the load. Comparison of the theoretical calculation results with the experimental data of the characteristics of various partially porous gas bearing shows a quite satisfactory accuracy.
stiffness of the lubricant layer
bearing ability
the gas greasing
the gas bearing
the porous environment

Настоящая работа является продолжением работы [8], в которой была изложена аналитическая методика расчета эксплуатационных характеристик частично пористых газостатических подшипников. Ниже рассмотрена аналитическая методика расчета характеристик таких опор при вращающемся вале, т.е. при работе опор в гибридном режиме.

Гибридный режим работы бесконтактных подшипников с внешним наддувом газа характеризуется наличием дополнительной подъемной силы, возникающей в результате вращения ротора. Механизм ее образования заключается в том, что при вращении эксцентрично расположенного во вкладыше вала газ под действием касательных сил вязкости увлекается его поверхностью и вгоняется в клиновидный зазор между валом и вкладышем. Такое явление называют эффектом самогенерации давления или эффектом смазочного клина [1]. С учетом внешнего наддува это приводит к дополнительному сжатию газа в смазочном слое и такому распределению давления, в результате которого несущая способность подшипника увеличивается. Гибридный режим работы подшипников называют также комбинированным.

Вращение вала, в отличие от случая работы опор в режиме подвеса, приводит к асимметричному распределению давления газа в зазоре [4, 5, 7, 10]. Вследствие этого, вал смещается от равновесного положения в направление своего вращения и образует отличный от нуля угол ориентации нагрузки (рис. 1). Следует отметить, что малый угол ориентации нагрузки считается целесообразным с точки зрения устойчивой работы опоры [3].


При работе газовых опор в гибридном режиме дифференциальное уравнение для поля давления принимает вид или в безразмерных координатах

, (1)

где , , – угловая скорость вращения вала, – относительное давление, – среднее давление в зазоре подшипника, полученное при решении статической задачи () [8], – относительная толщина смазочного слоя, – число сжимаемости. Решение этого уравнения будем искать в виде , где – решение статической задачи (), – газодинамическая составляющая давления.

При подстановке в уравнение (1) получаем

.

В последнем уравнении сумма первого и пятого слагаемых тождественно равна нулю. В оставшихся слагаемых, в первом приближении, заменим давление средним значением , в результате получаем уравнение .

Первый интеграл этого уравнения имеет вид

, (2)

здесь и далее штрих – производная по . Это обыкновенное дифференциальное уравнение, которое в квадратурах не интегрируется. Будем решать его методом малого параметра, в качестве которого можно принять относительный эксцентриситет или число сжимаемости. Тестирующие расчеты показали, что в достаточно широком изменении режимных и конструктивных параметров опоры, более адекватно экспериментальным данным отвечают расчеты, в которых малым параметром является число сжимаемости .

Разложим относительное давление в ряд по степеням : , . Постоянная интегрирования в уравнении (2) также зависит от , поэтому ее тоже раскладываем в ряд: . Подставляя эти разложения в уравнение (2), получаем

. (3)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем бесконечную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. При интегрировании этих уравнений, будут появляться интегралы вида , которые можно выразить через интегралы

.

Для последних интегралов легко получить рекуррентную формулу. Действительно, дифференцируя по параметру , находим или

. (4)

Первый интеграл вычисляется непосредственно:

.

Если ввести обозначения: , , то

, где .

Дифференцируя необходимое число раз и используя рекуррентную формулу (4), последовательно находим:

, , ;

,
, , ;

,
, , , ;

,
, , , , ;

,
, , , , .

При этом .

При интегрировании уравнений системы (3) будут появляться постоянные интегрирования, значения которых определяются следующим образом. Из условия отсутствия перетекания смазки в направлении оси () получаем равенство [2] , откуда находим:

; , (5)

Приравнивая коэффициенты при первой степени , из системы (3) получаем уравнение , решение которого имеет вид

, (6)

где – постоянная интегрирования. Из первого равенства системы (5) получаем , так как функции нечетные, а функция – четная. Постоянная находится из условия непрерывности функции : , .

Подставляя постоянную интегрирования в равенство (6) и приводя подобные слагаемые, получаем решение первого приближения

, (7)

где .

При из системы (3) получаем второе уравнение или, с использованием равенства , , откуда

,

где .

Из условия непрерывности функции получаем , а из второго равенства системы (5) (:

, ,

где . Таким образом, второе решение имеет вид

. (8)

При из системы (3) находим , откуда:

,

. (9)

Здесь, в силу нечетности функций и функции ( – нечетная, – четная), из третьего равенства системы (5) (: , получаем . Постоянная находится из условия непрерывности функции и вычисляется по формуле

.

По аналогичной схеме находится давление . Формула, по которой вычисляется , в виду ее громоздкости, не приводится. Следует отметить, что является четной функцией и представляет собою линейную комбинацию обратных степеней со второй по шестую.

В результате, используя формулы (7) – (9), получаем приближенное решение уравнения (3) с точностью .

С целью проверки адекватности математической модели было проведено сравнение с опытными данными, полученными на экспериментальных стендах [6, 9] ФГБОУ ВПО «КнАГТУ». На рис. 2 представлены результаты расчетов и экспериментальные данные для двухрядного подшипника, имеющего следующие геометрические размеры: длина подшипника L = 60 мм, диаметр подшипника D = 50 мм; средний радиальный зазор с = 45 мкм, диаметр пористых вставок = 6,3 мм; раздвижка линий наддува b = 30 мм, высота вставок = 7,5 мм. В одном ряду наддува располагалось 6 вставок. В качестве пористых вставок использовалась модифицированная древесина березы с коэффициентом проницаемости = 4,23∙10-12 м2.

Для представления характеристик подшипника в зависимости от безразмерного комплекса прямо пропорционального среднему радиальному зазору, в рассмотрение введен конструктивный параметр , который был равен = 0,266.

Испытания подшипника выполнены при относительном давлении наддува и числе сжимаемости , равном .

Основные интегральные характеристики вычислялись по формулам: – несущая способность, , – коэффициент несущей способности, – коэффициент радиальной жесткости смазочного слоя.

Из представленных графиков видна хорошая согласованность теоретических и опытных данных. Максимальная относительная погрешность при вычислении , не превосходит 10 %.

Рецензенты:

Олейников А. И., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой «Механика и анализ конструкций и процессов» ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре.

Биленко С. В., д.т.н., доцент, зав. кафедрой «Технология машиностроения» ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре.