К настоящему времени накоплен опыт по разработке методик теоретического расчета характеристик бесконтактных подшипников [6, 8, 10]. В целом он показывает на заметно завышенные (по сравнению с опытными данными) эксплуатационные характеристики опор, полученные на основе применения аналитических методов расчета, и вполне удовлетворительные результаты расчетов на основе использования численных методов [3, 9].
Тем не менее, исходя из соображений простоты проведения параметрических исследований характеристик газовых опор, попытки разработки аналитических методик расчета с достаточной для инженерной практики точностью расчетов продолжаются. В этом направлении выполнена и настоящая работа, в которой рассмотрен простой случай работы газовых опор - без вращения вала (работа подшипника в режиме газового подвеса).
Газ из камеры нагнетания под давлением 
поступает через пористые вставки в смазочный слой цилиндрического подшипника. Пористые вставки расположены равномерно по окружности в два ряда. Форма пористых вставок цилиндрическая. На вал действует радиальная нагрузка 
.
На основании работ [2, 6, 8] принимаются следующие общепринятые допущения относительно течения газа в пористой вставке и смазочном слое подшипника:
- течение газа в пористой среде считается вязким и ламинарным. К такому течению применим закон Дарси, что позволяет считать коэффициент проницаемости пористого материала
постоянным; - течение смазки в зазоре подшипника изотермическое, а сама смазка сжимаемая;
- радиус вала намного больше толщины смазочного слоя;
- течением в пленке в направлении нормали к стенкам подшипника можно пренебречь и считать давление в этом направлении неизменным;
- массовые и инерционные силы малы по сравнению с силами вязкого трения;
- течение газа в зазоре подшипника стационарное.
Используя эти допущения, получаем уравнения для определения поля давления в зазоре подшипника [2]: в непроницаемой части вкладыша подшипника
; (1)
в пористой среде
, (2)
где: 
- толщина смазочного слоя, 
, где с - средний радиальный зазор, 
- полярный угол, отмеряемый от линии действия нагрузки (сечение с максимальным давлением), 
- длина дуги в смазочном слое, 
- относительный эксцентриситет, 
- эксцентриситет, R - радиус вала, 
- давление в смазочном слое подшипника,
- квадрат давления в пористой среде (здесь и далее индекс 
означает характеристики пористой среды),
- коэффициент вязкости,
- угловая скорость вращения вала (рис.1). Рассмотрим статическую задачу при ω=0.
Рис. 1. Газовый статический подшипник с двумя рядами пористых вставок:
1 - непроницаемая часть вкладыша подшипника; 2 - вал; 3 - пористая вставка
Ряды пористых вставок, в первом приближении, можно заменить пористыми кольцевыми втулками (пористыми стенками) ширины эквивалентными им по площади (метод непрерывных линий наддува), т.е. 
, где n- число вставок в ряду,R0 - радиус вставки. По смыслу поставленной задачи, течение газа в пористой среде происходит только радиальном направлении 
, следовательно, в цилиндрической системе координат уравнение (2) принимает вид
. (3)
Уравнение (1) становится линейным и преобразуется в 
, где 
, или, если использовать полярный угол - в уравнение
. (4)
Таким образом, 
.
Граничные условия для уравнения (3) задаются на входе в пористую среду и на входе в смазочный слой: 
; 
, 
, где 
, 
. Граничные условия для уравнения (4) задаются на торцах подшипника и в области пористых вставок: 
; 
, , где 
( 
- атмосферное давление). Неизвестное давление 
в граничных условиях определяется как общее решение уравнений (3) и (4). Предполагая заданным, решим уравнения (3), (4) с поставленными граничными условиями.
Решение уравнения (3) имеет вид (φ фигурирует как параметр) 
, где функции 
находятся из граничных условий, т.е. являются решением системы уравнений 
. Решая эту систему и подставляя найденные функции в выражение для 
, находим 
или
. (5)
Так как течение смазки симметрично относительно среднего сечения 
в дальнейшем изложении рассматриваем половину подшипника. Решим уравнение (4) для непроницаемой части подшипника, расположенной между линией наддува и торцом подшипника (условно назовем эту часть торцевой). Так как вал не вращается, то для получения приближенного решения предположим, что 
много больше 
и первым слагаемым в уравнении (4) можно пренебречь, тогда получаем 
, откуда 
, где функции 
, 
находятся из граничных условий. В результате
. (6)
Неизвестный квадрат давления на выходе из пористой вставки 
находится путем решения уравнения неразрывности, составленного для массового расхода через пористую матрицу с использованием формулы (5) и на выходе из подшипника с использованием формулы (6). В итоге получаем 
, где 
. Это грубое решение используется в дальнейшем лишь для определения максимального и минимального давлений в сечении области пористых вставок: 
, 
.
Пусть 
, тогда одно из точных решений уравнения (4) имеет вид 
, где первый сомножитель - решение уравнения 
, второй - решение уравнения 
, 
, 
- относительная толщина смазочного слоя,
,
- произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий и соблюдения общего характера распределения давления в сечении, тогда первое решение имеет вид: 
, где 
.
Уравнение (4) эквивалентно уравнению 
.
Второе решение получим, решая это уравнение методом Фурье.
Решение ищем в виде 
(
). Подставляя эту функцию в уравнение и разделяя переменные, получаем систему уравнений
. (7)
В торцевой части подшипника граничные условия для первого уравнения: 
,и по смыслу поставленной задачи функция 
должна быть монотонной и в точке 
достигать максимума, т.е. 
.
Решение первого уравнения системы (7) есть функция 
, где 
. Из условия сразу следует, что 
, а из второго условия, что 
. Коэффициент B найдем позже, нормируя решение.
Второе уравнение системы (7) в квадратурах не интегрируется, но нами было замечено, что с помощью замены переменной 
его можно преобразовать в линейное однородное уравнение относительно τ, так как 
, 
и уравнение принимает вид: 
, или
,
где 
.
Умножая обе части на 
и приводя подобные слагаемые, получаем уравнение
. (8)
Решение будем искать в виде 
, подставляя этот ряд в уравнение (8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях τ к нулю, получим рекуррентные формулы для вычисления an в виде:
, 
, (9)
где 
- произвольные параметры.
Таким образом, 
(в расчетах 
), и второе решение имеет вид:
, где 
, в формулах (9) 
.
В торцевой части подшипника распределение давления принимается равным линейной комбинации этих двух решений с весовыми коэффициентами, пропорциональными средним давлениям в сечении 
, где 
, 
, 
.
Аналогично, в средней части подшипника - в непроницаемой части подшипника, между линиями наддува.
В качестве первого решения берем распределение давления в области пористых вставок 
(
постоянно по переменной 
, начало отсчета сдвинуто по переменной z в точку 
).
При построении второго решения граничные условия для первого уравнения системы (7): 
. Откуда сразу получаем: 
, где 
.
Коэффициенты ряда 
вычисляются по тем же формулам (9), в которых теперь 
, следовательно, 
, и второе решение будет иметь вид: 
, где 
.
Распределение давления в средней части подшипника определяется равенством:
, где 
, 
, 
.
При проектировании подшипников наиболее важными интегральными характеристиками являются:
- несущая способность, 
- коэффициент несущей способности,
- коэффициент радиальной жесткости смазочного слоя.
С целью проверки адекватности результатов расчетов было проведено сравнение с опытными данными, полученными на экспериментальном стенде ФГБОУ ВПО «КнАГТУ».
На рис. 2 представлены характеристики двухрядного подшипника с цилиндрическими вставками.
а б
Рис. 2. Зависимости от эксцентриситета коэффициентов:
а) несущей способности, б) радиальной жесткости
Было также проведено сравнение с экспериментальными данными для подшипников с пористыми шпоночными вставками: с одним рядом и с двумя рядами наддува (рис. 3).
а б
Рис. 3. Зависимости коэффициентов несущей способности от эксцентриситета:
а) один ряд наддува, б) два ряда наддува
Из представленных графиков видно вполне удовлетворительную согласованность теоретических и опытных данных. Максимальная относительная погрешность при вычислении Q не превосходит 10 %.
Рецензенты:
- Биленко С. В., д.т.н., доцент, зав. кафедрой «Технология машиностроения» ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре.
- Феоктистов С. И., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Технология самолетостроения» ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре.