Введение
Одним из основных элементов большинства современных строительных и машиностроительных конструкций являются балки, т.е. стержни, работающие на изгиб. На практике нередко встречаются конструкции, включающие балки переменного сечения, для которых один или несколько геометрических размеров поперечного сечения достаточно плавно изменяются по длине. Так, в строительстве как конструктивные элементы различных покрытий применяются деревянные балки с переменным по длине поперечным сечением. При их проектировании могут быть ограничения по максимально возможным перемещениям при возможных архитектурных требованиях по допустимым различиям размеров поперечных сечений на противоположных концах балки. Такие балки исследуются не только на прочность, но и на жесткость. Целью работы является разработка методики расчета перемещений консольных балок переменного сечения, оценка влияния параметров нагрузки и геометрии балки на величину прогиба.
Для определения перемещений в поперечных сечениях нагруженной балки существуют различные подходы [1, 2, 4]. В случае, когда необходимо найти перемещение или поворот одного сечения балки, вполне применимы энергетические методы [5]. Так, при расчете балки сложной геометрии, а также при наличии комбинированных профилей можно использовать теорему Кастилиано.
1. Расчетная схема балки переменного сечения. Рассмотрим консольно закрепленную балку, нагруженную на свободном конце силой F под углом a к продольной оси в вертикальной плоскости (рис. 1). Профиль балки может быть прямоугольный или круглый. При этом поперечное сечение балки непостоянно по длине l: характерный размер поперечного сечения p(x) (ширина b, высота h или диаметр d) изменяется по линейному закону:
, (1)
где х - продольная координата, отсчитываемая от заделки, p0 - размер сечения в заделке, b - угол наклона поверхности балки по длине. Материал балки имеет модуль упругости E, модуль сдвига G.
Момент инерции и площадь профиля в произвольном поперечном сечении балок определяются следующим образом:
- для прямоугольного сечения с переменной шириной:
, (2)
, 
;
- для прямоугольного сечения с переменной высотой:
(3)
, 
;
- для круглого сечения с переменным диаметром:
(4)
, 
.
Составляющие внутренних усилий в произвольном поперечном сечении:
(5)
2. Основные расчетные зависимости. Для плоской задачи потенциальная энергия системы будет [1]:
(6)
где коэффициент ky равен 
для прямоугольного сечения и 
- для круглого профиля [1].
Подставив в выражение (6) соотношения (2-5) и произведя интегрирование по длине, получим потенциальную энергию деформирования балки. Согласно теореме Кастилиано, если возникающие от действующих сил перемещения в упругой системе малы, то частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы [5], т. е.:
dF = дU/дF. (7)
Знак такого перемещения положителен, если его направление совпадает с направлением силы. Теорема применима для тел произвольной формы при всех видах нагружения [5].
Найдя частную производную (7), для исследуемой балки получим перемещение точки приложения силы F по направлению этой силы в виде:
dF = dF(N)+dF(Mz)+dF(Qy). (8)
Составляющие формулы (6) в зависимости от формы поперечного сечения имеют вид:
- для прямоугольного сечения с переменной шириной:
, 
(9)
где 
;
- для прямоугольного сечения с переменной высотой:
, 
(10)
где 
;
- для круглого сечения с переменным диаметром [3]:
, 
(11)
где 
.
Вертикальное перемещение левого конца балки:
dF В =dF sina. (12)
3. Анализ упругого деформирования. Оценим влияние угла β наклона поверхности балки (или отношений размеров на концевых сечениях балки) и угла α направления действующей силы F на прогибы свободного конца. Рассмотрим стальные балки со следующими параметрами: l = 1,5 м; h0 = b0= d0= 0,3 м; E = 20800 кН/см2; G = 8240 кН/см2. Действующая сила F = 15 кН. Для простоты примем для прямоугольной балки переменного сечения в заделке квадратный профиль, т.е. b = h. Минимальные размеры сечений консольной балки на свободном конце выбираем из условий прочности на поперечный изгиб с растяжением.
На рис. 2-4 показаны графики изменения значений прогибов в зависимости от отношений характерных размеров 
концевых сечений балок прямоугольных сечений и круглого профиля, построенные по формулам (9-12). Зависимости определены для различных углов наклона силы F: a принимается, равным 30°, 45°,60°,75°и 90°.
Из анализа графиков установлено:
- При увеличении углов b и a прогибы увеличиваются.
- У балок, имеющих больший наклон поверхности, при близкой к вертикали силе F вертикальные перемещения свободного конца по значениям достаточно близки друг другу.
Заключение. На основе теоремы Кастилиано представлена расчетная модель определения перемещений консольной балки. Рассмотрены балки переменного сечения прямоугольного и круглого профилей. Исследовано влияние на величину прогиба угла наклона поверхности балки и угла направления действующей на свободном конце силы.
Следует отметить, что определение перемещений при помощи теоремы Кастилиано возможно только для точек приложения внешних сил и только в направлении этих сил, что, несомненно, является недостатком данного метода. Настоящее исследование носит методический характер. Однако оно может быть полезно не только для изложения темы «Теорема Кастилиано» в курсах «Сопротивление материалов» и «Строительная механика» для строительных специальностей, но и для практических расчетов в производственных условиях.
Рис. 2. Прогибы свободного конца балки прямоугольного сечения с переменной шириной
с переменной шириной
Рис. 3. Прогибы свободного конца балки прямоугольного сечения с переменной высотой
с переменной шириной
Рис. 4. Прогибы свободного конца балки круглого профиля
Результаты получены при выполнении исследований в рамках государственного задания Минобрнауки России на выполнения НИОКР, а также гранта РФФИ № 10-08-97017-р_поволжье_а.
Рецензенты:
- Савельев Валерий Владимирович, доктор техн. наук, доцент, профессор кафедры строительного производства, Чебоксарский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Московского государственного открытого университета им. В. С. Черномырдина», г. Чебоксары.
- Иванов Сергей Павлович, доктор техн. наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов и прикладной механики, ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет», г. Йошкар-Ола.