Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

REVIEW OF DEVELOPMENT AND APPLICATION OF THE FICTITIOUS CANONIC REGIONS METHOD IN SCIENTIFIC AND ENGINEERING PROBLEMS

Yasnitskiy L.N. 1
1 Perm state national research university
The current state of methods of the solution of boundary problems of mechanics of continuous environments is characterized. It is noted that packages of applied programs applied in engineering practice are based on the methods leading to solutions of boundary problems in the form of massifs of numbers. As a shortcoming the im-possibility of a reliable assessment of an error of such decisions for the majority of complex engineering chal-lenges is noted. As the alternative is stated an essence of a fictitious canonic regions method. It is shown that its application leads to solutions of boundary problems not in the form of massifs of numbers, but in the form of the functions which are identically satisfying with to the differential equations of boundary problems. The main ad-vantage of the fictitious canonic regions method - high precision of received results and possibility of a reliable assessment of their error. The review of stages of development of the fictitious canonic regions method is executed. The review of the works devoted to its application for the solution of scientific and engineering problems is executed.
error.
numerical method
analytical method
boundary problem
Решение краевых задач математической физики, начавшееся в конце XVIII, начале XIX в. с основополагающих работ Ж. Л. Д'Аламбера и Ж. Б. Ж. Фурье, уже на протяжении более чем двух веков является одним из ведущих направлений математического моделирования, применяемого в научных исследованиях и в инженерных расчетах. Эволюция развития методов решения краевых задач привела к тому, что к началу XXI в. и по настоящее время подавляющее большинство инженерных задач решаются с применением универсальных пакетов, реализующих численные методы. Эти пакеты позволяют инженерам решать краевые задачи практически любой сложности. Но в последнее время возникла серьезная проблема: как показано в [9, 25, 26, 28, 35], оценить погрешности таких численных решений для сложных инженерных задач, как правило, не представляется возможным. В работах [9, 23, 26, 28, 35] эта ситуация оценена как современный кризис прикладной математики. Именно проблема оценки погрешности является серьезнейшим недостатком численных методов, что делает актуальным поиск иных, более надежных методов и подходов.

В работе [33] предложен альтернативный метод решения краевых задач, приводящий к решениям не в виде чисел, а в виде аналитических формул, тождественно удовлетворяющих решаемым дифференциальным уравнениям. Впоследствии этот метод получил название метода фиктивных канонических областей (ФКО) [6-22, 23-32, 34-36, 39, 40], а в качестве его основного преимущества декларируется высокая точность и возможность надежной оценки погрешности [6, 8-10, 13, 20, 22, 24-26, 28, 32, 35, 38-40].

В общем виде постановку линейной краевой задачи представим следующим образом. Требуется найти функцию U(x), удовлетворяющую в пределах некоторого тела D дифференциальному уравнению в частных производных

 , (1)

а на поверхности S тела D- граничным условиям

, (2)

где L и B- линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами; и - заданные функции координат x.

Суть метода ФКО состоит в следующем. Пусть требуется рассчитать напряженно-деформированное состояние упругого тела D, изображенного на рисунке 1, a. На поверхности S тела D заданы граничные условия в перемещениях или (и) в напряжениях.

Наряду с D в рассмотрение вводится некоторая фиктивная каноническая область V, (либо - в область пересечения канонических областей на рис. 1, в), внутри которой мысленно (на рис. 1 - пунктиром) выделяются контуры заданного тела. Поскольку область V является канонической, то для нее методом разделения переменных Фурье можно построить решение дифференциальных уравнений (например, уравнений теории упругости), имеющее вид ряда

, , , (3)

в котором - координатные функции, которые, в силу специфики метода разделения переменных Фурье, тождественно удовлетворяют дифференциальному уравнению краевой задачи, а - постоянные коэффициенты, определяемые граничными условиями на поверхности области V. Это решение является общим в том смысле, что путем подбора постоянных коэффициентов cn из него могут быть выделены частные решения, удовлетворяющие достаточно произвольным граничным условиям на поверхности тела V. Если теперь на этой поверхности создать такое нагружение P, что на контурах вписанного тела возникнут напряжения или (и) перемещения, совпадающие с заданными на S граничными условиями, то решение для V, соответствующее нагружению P, будет в то же время являться решением исходной задачи для тела D. Последнее справедливо в силу того, что выделенное из (3) частное решение удовлетворяет внутри тела D уравнениям теории упругости, а на его поверхности - заданным граничным условиям.

Рисунок 1. Заданное тело (а) мысленно погружается в каноническую область V (б) или в область пересечения нескольких канонических областей: (в)

Согласно изложенному выше, решение, полученное методом ФКО, тождественно удовлетворяет дифференциальным уравнениям (1) и приближенно - краевым условиям (2). Это значит, что вместо краевой задач (1)-(2) метод ФКО приводит к точному аналитическому решению некоторой другой краевой задачи с несколько измененными краевыми условиями:

, (4)

(5)


Причем, разницу между заданным граничным значением  и измененным граничным значением  в каждом конкретном случае можно легко подсчитать. Для этого достаточно подставить получившееся в результате применения метода ФКО решение в левую часть формулы (2) и, произведя вычисления этой части на границе расчетной области (при ), воссоздать постановку измененной краевой задачи, которую методом ФКО удалось решить точно. И, наконец, можно всегда оценить с инженерной точки зрения возможность изменения самой постановки краевой задачи - подмены исходной краевой задачи (1)-(2) на измененную краевую задачу (4)-(5). И если такая подмена задач с инженерной точки зрения возможна, то вопрос об оценке погрешности решения, полученного методом ФКО, снимается в принципе.

Геометрическая интерпретация процесса решения краевой задачи, представленная на рисунке 1, предложенная в работе [33], позволила в этой же работе дать формулировку и первое доказательство теоремы сходимости для двумерного случая, предложить на этой основе критерий и методику выбора базисных функций, предложить и обосновать способы оценки погрешности решений краевых задач, т.е. построить теоретические основы математического аппарата метода ФКО [32, 40]. Для трехмерного случая теорема сходимости метода ФКО была доказана С. Я. Гусманом в работе [16]. А. Ю. Большаковым и В. А. Елтышевым [5] при выборе ФКО предложено пользоваться условием топологической эквивалентности между D и V, что на определенных классах задач оказывается полезным. Существенное развитие метода ФКО выполнено С. Л. Гладким, предложившем и реализовавшем алгоритм оптимального выбора центров ФКО как результат решения оптимизационной задачи [9, 12], а также развившем и применившем метод ФКО для решения пространственных задач теплопроводности [14], задач термоупругости [6] и задач электростатики [11]. Перспективы дальнейшего развития метода ФКО и совершенствования его программно-инструментальной базы видятся в активном применении приемов и методов искусственного интеллекта [9, 20, 25, 26-28, 34].

Метод ФКО успешно применен для расчета ряда инженерных конструкций ответственного назначения [1-5, 8-10, 17-19, 21-22, 24, 25, 26, 28-32, 36, 40], для оптимизации технологических процессов [9, 15], для решения научных проблем [6, 11, 13-14]. Математическое моделирование инженерных объектов с помощью метода ФКО позволило решить многие научно-технические проблемы, в частности, оптимизировать процесс микродугового оксидирования цилиндров поршневых двигателей [9, 15], предложить новую равнопрочную геометрическую форму накопителя кинетической энергии [18, 32, 36], предложить оригинальное конструктивное исполнение пильной шины цепной пилы [3], разработать саморегулирующиеся плунжерные пары поршневых двигателей [19, 21], предложить оригинальные конструктивные решения и выполнить оптимальное проектирование задвижек с керамическими запорно-регулирующими элементами [1, 2], объяснить причины неудачных стартов некоторых космических ракет [9, 26, 28] и др.

Рецензенты:

  • Шварц Константин Григорьевич, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры прикладной математики и информатики, Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь.
  • Пенский Олег Геннадьевич, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры процессов управления и компьютерной безопасности, Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь.
  • Кирьянов Борис Фёдорович, д.т.н., профессор, профессор кафедры прикладной математики и информатики, ФГБОУ ВПО Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого, г. Великий Новгород.