Значительной причиной отказов современных энергетических установок часто является повышенный уровень вибраций, приводящий к усталостным поломкам ответственных деталей. Снизить уровень вибраций деталей можно, увеличив демпфирование колебаний, в частности применив фрикционные демпферы. Их идея состоит в использовании для демпфирования колебаний пары сухого трения, в которой происходит преобразование механической энергии колебаний в тепло. На рис. 1 приведены примеры демпферов сухого трения в конструкциях рабочих колес газотурбинных двигателей [2; 7].
|
а) |
|
|
Рис. 1. Демпферы сухого трения в рабочих колесах компрессора (а) и межлопаточные демпферы в рабочих колесах турбин (б). |
|
(б)
Проектирование демпферов сухого трения предполагает тщательный выбор геометрических и массовых параметров, обеспечивающих эффективное снижение вибраций. Решение этой задачи должно опираться на детальный анализ, сложность которого определяется нелинейностью процессов трения и контактного взаимодействия в парах сухого трения.
Колебания тел при наличии сухого трения описываются как в рамках механики твердого тела, так и с учетом деформирования контактирующих тел. Учет деформаций важен в связи с тем, что они определяют площадку контакта и действующие на ней усилия, которые обусловливают процессы трения. Решение практических задач проектирования демпферов сухого трения предполагает численное моделирование колебаний контактирующих тел именно в рамках механики деформируемого тела, в частности с применением метода конечных элементов (МКЭ). Несмотря на многообразие подходов к применению МКЭ для решения таких задач (см., например [6; 10]), единых рекомендаций по методике конечно-элементного моделирования колебаний систем с сухим трением нет.
Цель. Настоящее исследование посвящено отработке методики конечно-элементного моделирования колебаний в демпферах сухого трения на примере пружинного маятника, горизонтально скользящего с трением по горизонтальной плоскости. В частности, представляет интерес сравнительный анализ эффективности явной и неявной схем интегрирования по времени.
Постановка задачи. Рассматриваемый пружинный маятник (рис. 2) представляет собой груз массой m, лежащий на горизонтальной плите и закрепленный на листовой пружине с жесткостью k. При колебаниях груза обеспечивается постоянный контакт между грузом и плитой. Возбуждение колебаний производится начальным отклонением маятника по оси x от точки равновесия на расстояние x0.
|
|
|
Рис. 1 - Пружинный маятник |
При численном моделировании процессов в демпферах сухого трения существенными являются следующие факторы:
- сложная геометрия контактирующих тел, составляющих пару сухого трения;
- деформация контактирующих тел, трехмерное напряженно-деформированное состояние в зоне контакта;
- неизвестная, изменяющаяся во времени в процессе колебаний площадка контакта;
- силы трения и нормального давления в зоне контакта, изменяющиеся во времени;
- динамический характер взаимодействия контактирующих тел в процессе колебаний.
Для того чтобы учесть перечисленные факторы, необходимо рассматривать нестационарную динамическую задачу механики деформируемого твердого тела в 3D-упругой постановке; при этом необходимо учесть в качестве граничных условий нелинейные условия контакта между демпфером и ответными деталями.
Методика численного моделирования. Эффективным методом численного моделирования подобных процессов является метод конечных элементов (МКЭ) [3; 6; 8; 10]. В рамках конечно-элементного моделирования поставленная задача описывается матричным уравнением [7]:
(1)
где М, D и K - матрицы масс, демпфирования и жесткости соответственно, x - вектор неизвестных узловых перемещений, F(t) - вектор внешних сил, ΣFf(t) - суммарный вектор сил трения на всех контактных поверхностях.
При моделировании динамического контактного взаимодействия в методе конечных элементов в настоящее время наиболее широко применяется метод «пенальти» [9], хорошо алгоритмически согласующийся с расчетом в перемещениях. Идея метода состоит в том, что в расчет условно вводится упругий элемент, расположенный между контактирующими поверхностями и определяющий жесткость взаимодействия или величину контактных сил. Контактная площадка определяется с помощью скалярной функции G(x, y, z), описывающей поверхность одного из контактирующих тел. При G(x, y, z) > 0 точки контактирующего тела лежат вне поверхности, при G(x, y, z) = 0 - на поверхности, G(x, y, z) < 0 означает взаимное проникновение контактирующих тел. В последнем случае для предотвращения проникновения в соответствующий узел прикладывается противодействующая сила. Согласно методу пенальти, противодействующая сила пропорциональна величине проникновения сегментов тел друг в друга. Коэффициент пропорциональности имеет смысл эффективной жесткости и называется «коэффициентом пенальти». Эффективность функционирования алгоритма «пенальти» зависит от выбора его значения. Высокая нормальная и касательная жесткость необходимы для исключения эффектов проникновения одной контактной поверхности в другую. В то же время их необоснованно завышенные значения способны привести к плохой обусловленности глобальной матрицы жесткости.
Для описания сухого трения будем использовать наиболее распространенную модель Кулона, в соответствии с которой сила трения направлена противоположно вектору скорости и пропорциональна с коэффициентом трения f силе нормального давления N. Коэффициент трения примем с учетом влияния относительной скорости трущихся поверхностей 
в виде суммы статической fs и динамической fd составляющих с экспоненциальным переходным участком (рис. 2):
, (2)
где dc - константа модели.
|
|
|
Рис. 2. Зависимость коэффициента трения от относительной скорости трущихся поверхностей |
Математическое представление закона Кулона в этом случае имеет вид:
(3)
Для анализа динамических процессов в методе конечных элементов могут быть использованы алгоритмы явного или неявного интегрирования по времени. В настоящей работе колебания осциллятора с сухим трением исследуются с использованием обоих этих алгоритмов с целью сравнительного анализа их эффективности применительно к задачам фрикционного демпфирования.
|
|
|
Рис. 3. Конечно-элементная модель осциллятора.
|
Численное моделирование проводилось для следующих параметров: масса груза m = 1 кг, жесткость пружины k = 550 Н/м, коэффициенты в модели Кулона fs= 0,46 fd=0,45, dc=100, начальное отклонение x0= 0.095 м.
Конечно-элементная модель системы (рис. 3) включала в себя модели груза и плиты, состоящие из призматических изопараметрических элементов второго порядка. Материалы груза и плиты считались линейно упругими. Пружина моделировалась двухузловым линейным упругим элементом. Контактное давление груза на плиту моделировалось распределенной нагрузкой p = 5450 Па.
Результаты численного моделирования в виде зависимости перемещения центра масс груза x от времени t приведены на рис. 4. Полученные зависимости x(t) представляют собой затухающую синусоиду. Как видно из рис. 4, явный и неявный метод интегрирования дали зависимости x(t), практически не различающиеся между собой.
Рис. 4. Зависимости перемещений от времени: 1 - МКЭ, неявная схема интегрирования по времени; 2 - МКЭ, явная схема интегрирования по времени; 3 - аналитическое решение; 4 - эксперимент.
Существует [9] известное решение задачи о колебаниях с сухим трением системы с одной степенью свободы. Пренебрегая процессами деформации контактирующих тел, считая их абсолютно твердыми, это решение можно использовать для оценки результатов численного моделирования. В рамках этой модели, считая перемещение - происходящим по оси x, свободные колебания груза можно описать обыкновенным дифференциальным уравнением [5]:
, (4)
с начальными условиями:
, (5)
где 
- сила трения, х - перемещение, 
- скорость центра масс системы.
При использовании модели Кулона (2), (3) с 
= 
решение (4), (5) представляет собой затухающие колебания с прямолинейной огибающей [5]. В отличие от классического случая вязкого трения, логарифмический декремент колебаний δ, определяемый как отношение двух соседних амплитуд Ai и Ai+1и относительное демпфирование ζ
, 
(5)
становятся величинами непостоянными, увеличивающимися по мере затухания колебаний.
На рис. 4 приведены результаты аналитического решения (4), (5); видно, что они согласуются с результатами численного моделирования.
Для дополнительной проверки результатов численного моделирования проведен специальный эксперимент [4], в котором реализован процесс затухающих колебаний рассмотренного выше объекта (рис. 1). Полученная экспериментально зависимость x(t), приведенная на рис. 4, также согласуется с результатами численного моделирования.
Численные значения полученных величин собственных частот колебаний и коэффициентов относительного демпфирования, осредненных по I, II и III парам соседних пиков (рис. 4), полученные численным моделированием по явной и неявной схемам, аналитически из решения (1), (2) и экспериментально, представлены в таблице 1. Расхождение по собственным частотам между аналитическим решением и экспериментом составляет 8,4%, что свидетельствует о согласовании упруго-массовых параметров модели с одной степенью свободы. Расхождение по относительному демпфированию 11,6% свидетельствует об удовлетворительном соответствии эксперименту принятой в расчете модели трения и ее параметров.
Таблица 1 - Сопоставление расчетных и экспериментальных данных по собственным частотам ω и относительному демпфированию ζ
|
Параметр
|
Экспе-ри-мент |
Аналитическое решение / расхождение с экспериментом, % |
МКЭ, неявный метод / расхождение с экспериментом, % / расхождение с аналитическим решением, % |
МКЭ, явный метод/ расхождение с экспериментом, % / расхождение с аналитическим решением, % |
|
ω, Гц |
3.74 |
3.45 / 8,4 |
3.71/0,8 /8,5 |
3.65 /2,5 / 5,8 |
|
ζ, % |
10,06 |
11.23 / 11,6 |
8.75 / 13,0 / 28,7 |
9.98 / 0,8 / 12,5 |
Численное моделирование дает хорошее совпадение с экспериментом по собственным частотам (расхождение в пределах 2,5%). Менее точные результаты получаются при определении относительного демпфирования (расхождение до 28,7%). Несколько меньшую погрешность определения относительного демпфирования (12,5%) обеспечивает явная схема интегрирования по времени.
Таким образом, моделирование колебательных процессов в системе с сухим трением может эффективно проводиться методом конечных элементов как с явной, так и с неявной схемами интегрирования по времени. Контактное взаимодействие тел, составляющих пару сухого трения, может моделироваться с помощью алгоритма «пенальти», сухое трение - законом Кулона. Несколько более точные результаты определения параметров демпфирования дает явная схема интегрирования по времени.
Полученные результаты предполагается использовать при расчетах демпфирования рабочих лопаток высокоресурсных, высоконагруженных турбин и блисков компрессоров газотурбинных двигателей.
Рецензенты:
- Августинович Валерий Георгиевич, доктор технических наук, зам. начальника опытного конструкторского бюро по науке, ОАО «Авиадвигатель», г. Пермь.
- Бульбович Роман Васильевич, доктор технических наук, профессор, декан аэрокосмического факультета ПНИПУ, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь.