Развитие электротехники стимулирует появление множества устройств, проектирование которых требует всестороннего анализа электромагнитных полей в слоистых средах с числом слоёв от нескольких десятков до нескольких сотен и даже тысяч.

Распределение поля в таких структурах характеризуется большой сложностью и определяет основные рабочие параметры данных устройств. Это диктует необходимость постоянного повышения точности соответствующих электромагнитных расчетов и доведения их до математической безупречности при достаточно строгой постановке модельных задач. Развитие электронно-вычислительной техники даёт возможность создавать алгоритмы, позволяющие производить расчеты электромагнитного поля в произвольной слоистой среде, однако, несмотря на давнюю и всевозрастающую значимость этой проблемы, достигнутые результаты всё ещё весьма далеки от желаемых.

Несмотря на многообразие конструктивных форм и функциональных особенностей устройств, можно выделить несколько обобщенных моделей, охватывающих широкий круг технических приложений.

Цель исследования

Построение математической модели пространственного распределения изменяющегося магнитного поля в обобщённой трёхслойной электромагнитной модели.

Материалы и методы исследования

Модель, представленная на рис.1, включает целый ряд прикладных задач расчёта электромагнитных полей в трёхслойных средах, создаваемых внешними пространственно-периодическими источниками, в частности, в теории дефектоскопии и теории экранирования.

Рисунок 1. (1,3 - воздушный слой, 2 - проводящий слой)

Запишем исходные уравнения в общем виде для различных зон:

 (1)[3]

где - напряжённость магнитного поля, - плотность тока, - магнитная проницаемость проводящего слоя.

Из-за большого немагнитного зазора поле не является плоскопараллельным и имеет все три составляющие индукции, каждая из которых является функцией трёх координат и времени.

В работе [5] изучалось магнитное поле вихревых токов в плоской пластине произвольной формы, находящейся под действием внешнего поля  с напряженностью Н₀, перпендикулярного плоскости пластины и меняющегося во времени по синусоидальному закону. В этой работе принимается, что напряженность внешнего поля Н₀ не зависит от координаты y, тем самым поле принимается плоскопараллельным.

В работе [2] исследовалась пространственная задача о распределении магнитного поля  плоского индукционного насоса. При учете поперечного и вертикального поверхностных эффектов и реакции токов в жидком металле. При этом принималось, что вынуждающее поле изменяется во времени ипо оси 0X синусоидально, а электромагнитные величины являются функцией только y и z.

Для построения математической модели трёхслойной структуры при изменяющемся магнитном поле потребуется определить большое количество постоянных интегрирования, для нахождения которых необходимо множество уравнений и граничных условий, в результате - полученное  решение будет иметь очень ограниченное начальными условиями применение. Поэтому для решения задачи определения поля в четырёх измерениях в наиболее общей, удобной форме необходимо принять условие, что по оси OX и OY  поле изменяется по гармоническому закону.

Для решения поставленной задачи необходимо задать допущения:

1. размеры проводящего слоя и индуктора в направлении осей OX и OY бесконечны, влияние продольного краевого эффекта не рассматривается;
2. электропроводность областей 1 и 3 равна нулю;
3. поверхность проводящего слоя лишена дефектов и пазов;
4. поле создаётся поверхностным токовым слоем и в направлении осей OX и OY изменяется во времени по гармоническому закону.

Решая систему уравнений (1) методом разделения переменных, при определённых выше допущениях, получаем:

Для зоны 3:

 (2)

Для зоны 2:

(3)

Для зоны 1:

 (4)

где  [6]

с учётом 

где a и b -шаг ячейки индуктора по оси OX и OY соответственно, - магнитное число Рейнольдса.

Решаем данную систему уравнений с использованием граничных условий:

при : ;

: ;      (5)

: ;

: .

После ряда преобразований, выполненных на ЭВМ, находим постоянные интегрирования и, соответственно, все составляющие электромагнитного поля.

Для решения задач пространственного распределения электромагнитного поля наиболее интересной является нормальная составляющая поля , скорость затухания которой зависит от формы индуктора, поверхностного тока, также и от величины немагнитного зазора между индуктором и проводящей средой.

Результаты и обсуждения

С использованием полученных результатов разработана программа расчета электромагнитного поля и плотности токов, которая позволяет применять её для систем с большим количеством слоёв. Используя полученную модель и с учётом приведённых выше допущений, построим графики зависимости индукции электромагнитного поля для трёхслойной структуры от координаты z:

Рисунок 2. Изменение вектора индукции магнитного поля для различных значений магнитного числа Рейнольдса ε в слое 1(z=0÷1), слое 2 (z=1÷4), слое 3 (z=4÷8)

Из анализа данных зависимостей следует, что с увеличением магнитного числа Рейнольдса ε, а, следовательно, магнитной проницаемости (µ), удельной проводимости (σ) проводящего слоя или частоты первичного электромагнитного поля, нормальная составляющая магнитного поля затухает интенсивнее, что согласуется с результатами других работ и общими законами электротехники.

Для численного измерения магнитного потока в той или иной области  можно воспользоваться датчиком, представляющим собой рамку. Данная рамка размещается под исследуемым проводящим слоем либо над ним, в зависимости от решаемой задачи диагностики либо экранирования. По величине ЭДС, наведённой в рамке, можно судить об интенсивности магнитного потока в исследуемой области:

   (6)

Заключение

Полученную модель можно использовать для построения дефектоскопов, позволяющих исследовать большие по площади поверхности, при производстве и эксплуатации электромагнитных экранов, крупногабаритных ёмкостей и т.п.

Рецензенты:

• Шабанов В. А., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Электротехника и электрооборудование предприятий» УГНТУ, г. Уфа.
• Гизатуллин Ф. А., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Электрооборудование летательных аппаратов и наземного транспорта» УГАТУ, г.Уфа.