Развитие электротехники стимулирует появление множества устройств, проектирование которых требует всестороннего анализа электромагнитных полей в слоистых средах с числом слоёв от нескольких десятков до нескольких сотен и даже тысяч.
Распределение поля в таких структурах характеризуется большой сложностью и определяет основные рабочие параметры данных устройств. Это диктует необходимость постоянного повышения точности соответствующих электромагнитных расчетов и доведения их до математической безупречности при достаточно строгой постановке модельных задач. Развитие электронно-вычислительной техники даёт возможность создавать алгоритмы, позволяющие производить расчеты электромагнитного поля в произвольной слоистой среде, однако, несмотря на давнюю и всевозрастающую значимость этой проблемы, достигнутые результаты всё ещё весьма далеки от желаемых.
Несмотря на многообразие конструктивных форм и функциональных особенностей устройств, можно выделить несколько обобщенных моделей, охватывающих широкий круг технических приложений.
Цель исследования
Построение математической модели пространственного распределения изменяющегося магнитного поля в обобщённой трёхслойной электромагнитной модели.
Материалы и методы исследования
Модель, представленная на рис.1, включает целый ряд прикладных задач расчёта электромагнитных полей в трёхслойных средах, создаваемых внешними пространственно-периодическими источниками, в частности, в теории дефектоскопии и теории экранирования.
Рисунок 1. (1,3 - воздушный слой, 2 - проводящий слой)
Запишем исходные уравнения в общем виде для различных зон:
(1)[3]
где 
- напряжённость магнитного поля,
- плотность тока,
- магнитная проницаемость проводящего слоя.
Из-за большого немагнитного зазора поле не является плоскопараллельным и имеет все три составляющие индукции, каждая из которых является функцией трёх координат и времени.
В работе [5] изучалось магнитное поле вихревых токов в плоской пластине произвольной формы, находящейся под действием внешнего поля с напряженностью Н0, перпендикулярного плоскости пластины и меняющегося во времени по синусоидальному закону. В этой работе принимается, что напряженность внешнего поля Н0 не зависит от координаты y, тем самым поле принимается плоскопараллельным.
В работе [2] исследовалась пространственная задача о распределении магнитного поля плоского индукционного насоса. При учете поперечного и вертикального поверхностных эффектов и реакции токов в жидком металле. При этом принималось, что вынуждающее поле изменяется во времени ипо оси 0X синусоидально, а электромагнитные величины являются функцией только y и z.
Для построения математической модели трёхслойной структуры при изменяющемся магнитном поле потребуется определить большое количество постоянных интегрирования, для нахождения которых необходимо множество уравнений и граничных условий, в результате - полученное решение будет иметь очень ограниченное начальными условиями применение. Поэтому для решения задачи определения поля в четырёх измерениях в наиболее общей, удобной форме необходимо принять условие, что по оси OX и OY поле изменяется по гармоническому закону.
Для решения поставленной задачи необходимо задать допущения:
- размеры проводящего слоя и индуктора в направлении осей OX и OY бесконечны, влияние продольного краевого эффекта не рассматривается;
- электропроводность областей 1 и 3 равна нулю;
- поверхность проводящего слоя лишена дефектов и пазов;
- поле создаётся поверхностным токовым слоем и в направлении осей OX и OY изменяется во времени по гармоническому закону.
Решая систему уравнений (1) методом разделения переменных, при определённых выше допущениях, получаем:
Для зоны 3:
(2)
Для зоны 2:
(3)
Для зоны 1:
(4)
где 
[6]
с учётом 
где a и b -шаг ячейки индуктора по оси OX и OY соответственно, 
- магнитное число Рейнольдса.
Решаем данную систему уравнений с использованием граничных условий:
при 
: 
;
: 
; (5)
: 
;
: 
.
После ряда преобразований, выполненных на ЭВМ, находим постоянные интегрирования и, соответственно, все составляющие электромагнитного поля.
Для решения задач пространственного распределения электромагнитного поля наиболее интересной является нормальная составляющая поля 
, скорость затухания которой зависит от формы индуктора, поверхностного тока, также и от величины немагнитного зазора между индуктором и проводящей средой.
Результаты и обсуждения
С использованием полученных результатов разработана программа расчета электромагнитного поля и плотности токов, которая позволяет применять её для систем с большим количеством слоёв. Используя полученную модель и с учётом приведённых выше допущений, построим графики зависимости индукции электромагнитного поля для трёхслойной структуры от координаты z:
Рисунок 2. Изменение вектора индукции магнитного поля для различных значений магнитного числа Рейнольдса ε в слое 1(z=0÷1), слое 2 (z=1÷4), слое 3 (z=4÷8)
Из анализа данных зависимостей следует, что с увеличением магнитного числа Рейнольдса ε, а, следовательно, магнитной проницаемости (µ), удельной проводимости (σ) проводящего слоя или частоты первичного электромагнитного поля, нормальная составляющая магнитного поля затухает интенсивнее, что согласуется с результатами других работ и общими законами электротехники.
Для численного измерения магнитного потока в той или иной области можно воспользоваться датчиком, представляющим собой рамку. Данная рамка размещается под исследуемым проводящим слоем либо над ним, в зависимости от решаемой задачи диагностики либо экранирования. По величине ЭДС, наведённой в рамке, можно судить об интенсивности магнитного потока в исследуемой области:
(6)
Заключение
Полученную модель можно использовать для построения дефектоскопов, позволяющих исследовать большие по площади поверхности, при производстве и эксплуатации электромагнитных экранов, крупногабаритных ёмкостей и т.п.
Рецензенты:
- Шабанов В. А., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Электротехника и электрооборудование предприятий» УГНТУ, г. Уфа.
- Гизатуллин Ф. А., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Электрооборудование летательных аппаратов и наземного транспорта» УГАТУ, г.Уфа.