Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

PARAMETRIC SYNTHESIS OF SPATIAL LEVER MECHANISMS BY USE OF INITIAL KINEMATICS CHAIN

Kosbolov S.B. 1 Tanzharikova G.P. 1 Rakhmatulina A.B. 1
1 Kazakh National Technical University after K.I. Satpaev
Solution to the problem of synthesis of the spatial initial kinematics chain (IKC) with spherical kinematical pairs and its use as a structural module for structural synthesis of spatial lever mechanisms on the given positions of input and output links are represented in this research work. The method of solving the problem of synthesis of IKC with spherical pairs is based on the introduction of two moving bodies, invariably related with the input and output links, and finding the circular points in the relative motion of these bodies.
Initial kinematics chain
mechanism
kinematical pairs
synthesis
Введение

В работах [1; 2] было показано, что в качестве структурного модуля при структурно-кинематическом синтезе плоских рычажных механизмов можно использовать четырехзвенную исходную кинематическую цепь (ИКЦ). Такой подход к синтезу плоских механизмов позволяет свести задачу их структурно-кинематического синтеза к решению задачи синтеза ИКЦ, что очень удобно для автоматизации проектирования механизмов. В данной работе показано, что указанный подход можно распространить на задачу структурно-кинематического синтеза пространственных рычажных механизмов.

Представлено решение задачи синтеза пространственной ИКЦ со сферическими кинематическими парами и показано ее использование в качестве структурного модуля при структурно-кинематическом синтезе пространственных рычажных механизмов по заданным положениям входного и выходного звеньев. Метод решения задачи синтеза ИКЦ со сферическими парами основан на введении двух подвижных тел, неизменно связанных с входным и выходным звеньями, и в отыскании круговых точек в относительном движении этих тел [3].

Цель исследования: структурно-параметрический синтез пространственных рычажных механизмов.

Материал и методы исследования опираются на основы высшей математики и теории механизмов и машин.

 

Постановка задачи. Пусть заданы N конечноудаленных положений двух твердых тел и , , где - эйлеровы углы относительно неподвижной системы координат OXYZ систем координат Ax'y'z' и Dx²y²z², неизменно связанных с телами Q1 и Q2 соответственно.

Требуется найти точки в неподвижной системе координат, тела Q1 и тела Q2 такие, чтобы расстояние между точками В и С во всех положениях тел Q1 и Q2 мало отличалось от некоторой постоянной величины R (рис. 1).

Решение задачи. Введем взвешенную разность для i-го положения тел в виде:

(1)

Она является функцией десяти параметров: XA, YA, ZA, xB, yB, zB, R, xC, yC, zC. Группируя эти параметры по четыре с общим параметром R, взвешенную разность представим в трех различных формах:

(2)

(3)

(4)

Рисунок 1. Исходная кинематическая цепь со сферическими парами.

здесь:

, (2/)

, (3/)

, (4/)

- матрица перехода от k-той системы координат к j-той системе, определяемые как

(5)

(6)

(7)

Необходимые условия минимума суммы квадратов взвешенной разности:

(8)

можно записать в виде следующей системы уравнений:

(9)

(10)

(11)

Из (9) с учетом (2) и (8) получим:

(12)

Допустим, что . Тогда из последнего равенства системы (12) следует, что

(13)

С учетом (13) система уравнений (12) принимает вид:

(14)

Подставляя выражения для  из (2) в систему (14), получим:

Система (15) линейна относительно переменных  и , поэтому ее можно записать в виде:

, (16)

здесь

Решение этой системы по правилу Крамера при  имеет вид:

(17)

Аналогично из (10) с учетом (3) и (8) получим систему линейных уравнений относительно неизвестных :

(18)

Решая эту систему по правилу Крамера при , получим:

(19)

Из (11) с учетом (4) и (8) получим систему линейных уравнений относительно неизвестных xC, yC, zC, H3:

(20)

Отсюда находим xC, yC, zC, H3 при :

(21)

Исключая первые четыре неизвестных XA, YA, ZA, R на основе формулы (16), можно свести систему (9)-(11) к системе из шести уравнений с шестью неизвестными , которую удобно представить в виде:

(22)

Уравнения этой системы по виду совпадают с тремя уравнениями тринадцатой степени относительно трех неизвестных, приведенными в работе [4], хотя в данном случае имеем систему из шести уравнений относительно шести неизвестных. Решение системы (22) представляет трудоемкую задачу, поэтому гораздо эффективнее применять следующий алгоритм поиска минимума функции S:

1. Задаемся произвольно начальными точками

2. Решаем систему линейных уравнений (16) и определяем

3. Задаемся точками

4. Решаем систему уравнений (18) и определяем

5. Задаемся точками

6. Решаем систему уравнений (20) и определяем

7. Далее циклически повторяем шаги (1-6), заменяя начальные точки В(0) и С(0) на найденные В(1) и С(1).

Применяя алгоритм, получим убывающую последовательность значений целевой функции  имеющую предел, равный значению функции S в точке локального минимума. В результате решения задачи определяются точки  в неподвижной системе координат , такие, что совмещая с ними звено ВС, получаем искомую ИКЦ в виде разомкнутой цепи ABCD.

Задавая в различных комбинациях часть искомых параметров синтеза, получим различные модификации ИКЦ.

1. Если заданы координаты точки  и эйлеровы углы  тела Q1 и координаты точки  и эйлеровы углы  тела Q2 , то получим трехзвенную незамкнутую цепь ABCD (рис. 2).

Необходимые условия минимума суммы S в данном случае принимают вид:

( j = xB, yB, zB, R, xC, yC, zC);

и для нахождения минимума S можно использовать алгоритм, приведенный выше, учитывая, что параметры  заданы и не требуют определения.

Если точки  и  фиксированы, то в результате синтеза ИКЦ получим пространственный четырехзвенник ABCD.

 

Рисунок 2. Трехзвенная кинематическая цепь.

2. Пусть заданы координаты  точки С Q2, координаты точки D тела Q2 и углы Эйлера  тела Q1, а искомыми параметрами являются   (рис. 3).

Необходимые условия минимума сумма S принимают вид:

 

( j = XA, YA, ZA, R, xB, yB, zB).

Для нахождения минимума функции S можно опять использовать алгоритм, приведенный выше, учитывая, что

 

Рисунок 3. Трехзвенная кинематическая цепь.

 

3. Пусть заданы координаты = 0 точки В тела Q1 и координаты точки  и эйлеровы углы  тела Q2. Исходная задача сводится к определению сферы наименее удаленной от N положений фиксированной точки С тела Q2.

Необходимые условия минимума суммы S:

( j = XA, YA, ZA, R, xC, yC, zC).

Данная задача подробно исследована в работе [4]. Для ее решения можно применить и алгоритм, приведенный выше, полагая =0, но в этом частном случае алгоритм поиска минимума полностью совпадает с методом кинематической инверсии.

Результаты исследования и их обсуждение

Результаты исследования приведены конкретными решениями задач синтеза. Решена задача синтеза ИКЦ со сферическими кинематическими парами и их модификации, которые могут быть использованы как модули структурно-кинематического синтеза пространственных рычажных механизмов по заданным положениям входного и выходного звеньев.

Выводы

На основе задания двух подвижных тел проводится кинематический синтез механизмов по заданным положениям входного и выходного звеньев.  

Рецензенты

  • Мендебаев Т.М., д.техн.н., профессор, заведующий кафедрой «Стандартизация, сертификация технологии машиностроительного производства», КазНТУ им. К.И. Сатпаева, г. Алматы.
  • Даусеитов Е.Б., д.техн.н., профессор кафедры «Прикладная механика и основы конструирования машин», КазНТУ им. К.И. Сатпаева, г. Алматы.
  • Антонов А.В., д.техн.н., профессор, декан факультета кибернетики, Обнинский институт атомной энергетики Национального исследовательского ядерного университета МИФИ, г. Обнинск.