Как известно, многие конструкции, такие, как фундаменты доменных печей и фабричных труб, днища резервуаров и газгольдеров и др., рассчитываются по схеме круглых плит на деформируемом основании. Эти конструкции работают под действием нагрузки, симметричной относительно центра, и поэтому во всех точках, равноудаленных от центра плиты, прогибы будут одинаковы. Это обстоятельство показывает, что при расчете плит под действием осесимметричных нагрузок можно ограничиться рассмотрением их лишь в одном единственном диаметральном сечении, проходящем через ось симметрии.
Теории и методы расчета круглых плит, лежащих на однородном изотропном упругом полупространстве, разработаны в трудах М. И. Горбунова-Посадова [1], П. И. Клубина [7], В. К. Голуба и В. И. Моссаковского [2], В. М. Сеймова [8], В. Н. Жемочкина [3], А. Г. Ишковой [6] и др.
В отличие от этих работ в данной статье излагается методика расчета слоистых круглых плит на неоднородном полупространстве с учетом ползучести материала плиты и грунтов основания.
Предлагаемый метод основан на использовании полиномов Гегенбауэра для представления реакции основания и является дальнейшим развитием метода Т. Ш. Ширинкулова [9,10], разработанного для расчета упругоползучих круглых плит на упругоползучем неоднородном основании. Напряженно-деформированное состояние грунтового основания под действием жесткого ленточного фундамента исследовано в [4,5].
Ниже рассмотрим круглые упругоползучие двухслойные плиты радиусами 
с постоянными толщинами 
, свободно (без трения) лежащие на упругоползучем неоднородном основании, модуль упругости и мера ползучести которого с глубиной изменяется по следующим выражениям:
. (1)
Плиты находятся под действием нормальных и осесимметричных нагрузок интенсивности q (рисунок 1).
Рисунок 1. Действие нормальных и осесимметричных нагрузок интенсивности q на плиты
Следовательно, реактивное давление 
и прогиб 
должны быть осесимметричными. Здесь под r подразумевается отношение абсолютного значения расстояния от центра плиты до произвольной точки к радиусу плиты, т.е. 
.
Задача сводится к установлению закона распределения реактивного давления. При этом должны быть соблюдены условия равновесия плит в целом, т.е.:
(2)
и тождественно удовлетворено контактное условие, т.е.:
(3)
Прогиб плиты определяется решением интегро-дифференциального уравнения изогнутой поверхности, т.е. оно согласно [9], имеет вид:
, 
, (4)
где 
- ядро релаксации; 
- коэффициент жесткости; W - прогиб плиты.
Осадку основания можно определить как решение интегрального уравнения, связывающего реактивное давление с перемещением поверхностных точек основания. Согласно Т. Ш. Ширинкулову [9], эту величину можно представить так:
, (5)
где Q- область контакта;
;
;
- приведенный модуль деформации.
Уравнения (4), (5) в интегрально-операторном виде соответственно записываются так:
(6)
(7)
где операторы 
определяются согласно формулам:
(8)
- резольвента ядра 
, т.е.
; 
; (9)
Таким образом, согласно данной математической модели, решение исследуемой задачи сводится к решению системы (3),(6),(7) уравнений при (1),(7) и (9) выражениях.
Следуя Т. Ш. Ширинкулову [9], реактивное давление P(
может быть представлено рядом из четных полиномов Гегенбауэра 
, деленных на 
, т.е.:
. (10)
Нечетные полиномы исключаются из выражения (10) как непригодные по физическим соображениям.
Подставляя (10) в (6) и имея в виду зависимость (8), после интегрирования по r, общее решение уравнения (6) получим в виде: 
, (11)
здесь 
- частный интеграл уравнения (6), зависящий от вида заданной нагрузки 
. Функции 
и частный интеграл в общем виде можно определить из формул:
, (12)
. (13)
Согласно (11), найдем:
, (14)
, (15)
, (16)
Согласно зависимости, связывающей усилия и прогиб плиты, находим:
. (17)
Тогда с помощью формул (14) - (17) можно определить усилия в плите.
Постоянные интегрирования 
можно найти из граничных условий рассматриваемой задачи. Коэффициенты разложения 
вычисляются на основании уравнений (2) и (3).
Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим следующую задачу. Рассмотрим осесимметричную нагрузкy, действующую на некоторую часть плиты. Пусть внешняя активная нагрузка состоит из равномерно распределенной осессимметричной нагрузки интенсивности q по кругу радиуса α, распределенной сосредоточенной силы P и сосредоточенного момента M, действующего по окружности этого круга (рисунок 2).
Рисунок 2. Сосредоточенная и прерывно-осесимметричная нагрузки
Интегро-дифференциальное уравнение изгиба слоистых круглых плит определяется формулой (6), в которой 
, а 
имеет вид (10).
Обозначим через I внутреннюю область круга радиуса α и через II - внешнюю область по отношению к этому кругу. Полный интеграл уравнения (6) для первой области выразится так:
(18)
а для второй -
. (19)
Радиальные, кольцевые изгибающие моменты 
и поперечные силы 
для первой и второй областей, согласно (17), будут:
, (20)
, (21)
, (22)
, (23)
, (24)
, (25)
выражения для функций 
имеют вид:
; (26)
; (27)
(28)
Произвольные постоянные находим из условий в центре и на краю плиты,
а также условий сопряжения областей 1 и 2.
Для выяснения влияния ползучести материала плиты и неоднородности
основания на величины расчетных усилий рассмотрим пример (рисунок 3).
1) 
; 2) 
; 3)
--------Решение упруго-мгновенной задачи; _____Решение упругоползучей задачи.
Рисунок 3. Эпюры 
и 
при 
Здесь приняты следующие характеристики для материала плиты и грунта:
; 
;
.
По результатам вычислений построены эпюры радиальных и кольцевых моментов 
и 
, поперечных сил 
и реакций 
.
При 
максимальный изгибающий момент (сплошная линия) в середине плиты уменьшается на 16 % (при t=180 суток) и на 20 % (при =360 суток) по сравнению с решением упруго-мгновенной задачи (пунктирная линия), а эпюра реактивного давления имеет ту же характерную форму, что и при расчете упругоползучих полос на упругоползучем неоднородном основании (рисунок 3). Нетрудно доказать, что с уменьшением показателя неоднородности уменьшается влияние свойств ползучести, например, при m=0,5 максимальный изгибающий момент в середине плиты уменьшается на 12 % (при t= 180 суток) и на 16 % ( при t=360 суток) по сравнению с решением упруго-мгновенной задачи. Ввиду симметричности нагрузки и конструкции на рисунке 3 показаны только правая половина эпюр.
Рецензенты:
- Арапов Б. Р., доктор технических наук, профессор кафедры прикладной механики Южно-Казахстанского государственного университета имени М. Ауэзова, г. Шымкент.
- Исламкулов К. М., доктор технических наук, профессор кафедры математики Южно-Казахстанского государственного педагогического института, г. Шымкент.