Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

THE CALCULATION OF THE TWO-LAYER ELASTICALLY CREEPING ROUND PLATES, LYING ON ELASTICALLY CREEPING INHOMOGENEOUS THE BASIS OF

Dasibekov A.D. 1 Yunusov A.A. 1 Yunusova A.A. 2
1 South-Kazakhstan State University n.a M. Auezov
2 Kazakh Academy of transport and communication n.a М.Tynyshpaeva
Methodic of calculation of layered elastically-creeping circular plate laying on elastically-creeping heterogeneous fundamental is considered in the given work. This method is based on the usage of ultraspherical polynomial and also this method is the following development of T.Sh. Shirinkulov’s method. Frictional property of the plate and soil foundation is described by the theory of Maslov-Arutyunyan elastically-creeping body. Heterogeneity of the compact foundation with depth is changed by the settled law. Firstly, it was accepted by G.K. Klein for the deformation module. Figures with diagrams of radical and cyclic instants, transverse force and reaction pressure are considered as an example to illustrate the given method. The existing loading on the plate is founded axially symmetric The calculating results showed that with account of heterogeneity foundation with maximal flexible moment in the middle of the plate is decreased to 16-20% on comparison with salvation of elastically tarns/ it is proved that with decreasing the index of heterogeneity is decreased the property influence of creeping materials.
elastically creeping round plates
integro-differential equation

Как известно, многие конструкции, такие, как фундаменты доменных печей и фабричных труб, днища резервуаров и газгольдеров и др., рассчитываются по схеме круглых плит на деформируемом основании. Эти конструкции работают под действием нагрузки, симметричной относительно центра, и поэтому во всех точках, равноудаленных от центра плиты, прогибы будут одинаковы. Это обстоятельство показывает, что при расчете плит под действием осесимметричных нагрузок можно ограничиться рассмотрением их лишь в одном единственном диаметральном сечении, проходящем через ось симметрии.

Теории и методы расчета круглых плит, лежащих на однородном изотропном упругом полупространстве, разработаны в трудах М. И. Горбунова-Посадова [1], П. И. Клубина [7], В. К. Голуба и В. И. Моссаковского [2], В. М. Сеймова [8], В. Н. Жемочкина [3], А. Г. Ишковой [6] и др.

В отличие от этих работ в данной статье излагается методика расчета слоистых круглых плит на неоднородном полупространстве с учетом ползучести материала плиты и грунтов основания.

Предлагаемый метод основан на использовании полиномов Гегенбауэра для представления реакции основания и является дальнейшим развитием метода Т. Ш. Ширинкулова [9,10], разработанного для расчета упругоползучих круглых плит на упругоползучем неоднородном основании. Напряженно-деформированное состояние грунтового основания под действием жесткого ленточного фундамента исследовано в [4,5].

Ниже рассмотрим круглые упругоползучие двухслойные плиты радиусами  с постоянными толщинами , свободно (без трения) лежащие на упругоползучем неоднородном основании, модуль упругости и мера ползучести которого с глубиной изменяется по следующим выражениям:

. (1)

Плиты находятся под действием нормальных и осесимметричных нагрузок интенсивности q (рисунок 1).

Рисунок 1. Действие нормальных и осесимметричных нагрузок интенсивности q на плиты

Следовательно, реактивное давление  и прогиб  должны быть осесимметричными. Здесь под r подразумевается отношение абсолютного значения расстояния от центра плиты до произвольной точки к радиусу плиты, т.е. .

Задача сводится к установлению закона распределения реактивного давления. При этом должны быть соблюдены условия равновесия плит в целом, т.е.:

 (2)

и тождественно удовлетворено контактное условие, т.е.:

 (3)

Прогиб плиты определяется решением интегро-дифференциального уравнения изогнутой поверхности, т.е. оно согласно [9], имеет вид:

,

, (4)

где - ядро релаксации; - коэффициент жесткости; W - прогиб плиты.

Осадку основания можно определить как решение интегрального уравнения, связывающего реактивное давление с перемещением поверхностных точек основания. Согласно Т. Ш. Ширинкулову [9], эту величину можно представить так:

, (5)

где Q- область контакта;

;

;

- приведенный модуль деформации.

Уравнения (4), (5) в интегрально-операторном виде соответственно записываются так:

(6)

 (7)

где операторы  определяются согласно формулам:

(8)

- резольвента ядра , т.е.

; ; (9)

Таким образом, согласно данной математической модели, решение исследуемой задачи сводится к решению системы (3),(6),(7) уравнений при (1),(7) и (9) выражениях.

Следуя Т. Ш. Ширинкулову [9], реактивное давление P( может быть представлено рядом из четных полиномов Гегенбауэра , деленных на , т.е.:

. (10)

Нечетные полиномы исключаются из выражения (10) как непригодные по физическим соображениям.

Подставляя (10) в (6) и имея в виду зависимость (8), после интегрирования по r, общее решение уравнения (6) получим в виде: , (11)

здесь - частный интеграл уравнения (6), зависящий от вида заданной нагрузки . Функции  и частный интеграл  в общем виде можно определить из формул:

, (12)

. (13)

 

Согласно (11), найдем:

, (14)

, (15)

, (16)

Согласно зависимости, связывающей усилия и прогиб плиты, находим:

. (17)

Тогда с помощью формул (14) - (17) можно определить усилия в плите.

Постоянные интегрирования  можно найти из граничных условий рассматриваемой задачи. Коэффициенты разложения  вычисляются на основании уравнений (2) и (3).

Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим следующую задачу. Рассмотрим осесимметричную нагрузкy, действующую на некоторую часть плиты. Пусть внешняя активная нагрузка состоит из равномерно распределенной осессимметричной нагрузки интенсивности q по кругу радиуса α, распределенной сосредоточенной силы P и сосредоточенного момента M, действующего по окружности этого круга (рисунок 2).

Рисунок 2. Сосредоточенная и прерывно-осесимметричная нагрузки

Интегро-дифференциальное уравнение изгиба слоистых круглых плит определяется формулой (6), в которой , а  имеет вид (10).

Обозначим через I внутреннюю область круга радиуса α и через II - внешнюю область по отношению к этому кругу. Полный интеграл уравнения (6) для первой области выразится так:

(18)

а для второй -

. (19)

Радиальные, кольцевые изгибающие моменты  и поперечные силы  для первой и второй областей, согласно (17), будут:

, (20)

 , (21)

, (22)

, (23)

, (24)

, (25)

выражения для функций  имеют вид:

; (26)

; (27)

 (28)

 

Произвольные постоянные находим из условий в центре и на краю плиты,

а также условий сопряжения областей 1 и 2.

Для выяснения влияния ползучести материала плиты и неоднородности

основания на величины расчетных усилий рассмотрим пример (рисунок 3).

1) ; 2) ; 3)

--------Решение упруго-мгновенной задачи; _____Решение упругоползучей задачи.

Рисунок 3. Эпюры  и  при

Здесь приняты следующие характеристики для материала плиты и грунта:

; ;

.

По результатам вычислений построены эпюры радиальных и кольцевых моментов  и , поперечных сил  и реакций .

При  максимальный изгибающий момент (сплошная линия) в середине плиты уменьшается на 16 % (при t=180 суток) и на 20 % (при =360 суток) по сравнению с решением упруго-мгновенной задачи (пунктирная линия), а эпюра реактивного давления имеет ту же характерную форму, что и при расчете упругоползучих полос на упругоползучем неоднородном основании (рисунок 3). Нетрудно доказать, что с уменьшением показателя неоднородности уменьшается влияние свойств ползучести, например, при m=0,5 максимальный изгибающий момент в середине плиты уменьшается на 12 % (при t= 180 суток) и на 16 % ( при t=360 суток) по сравнению с решением упруго-мгновенной задачи. Ввиду симметричности нагрузки и конструкции на рисунке 3 показаны только правая половина эпюр.

Рецензенты:

  • Арапов Б. Р., доктор технических наук, профессор кафедры прикладной механики Южно-Казахстанского государственного университета имени М. Ауэзова, г. Шымкент.
  • Исламкулов К. М., доктор технических наук, профессор кафедры математики Южно-Казахстанского государственного педагогического института, г. Шымкент.