Наличие магнитоэлектрических (МЭ) свойств в слоистых феррит-пьезоэлектрических композитах обусловлено механическим взаимодействием между магнитной и электрической подсистемами [1,3,6]. Магнитострикция феррита во внешнем магнитном поле вызывает поляризацию электрической подсистемы посредством пьезоэлектрического эффекта. В работах [2,4,5] показано, что при соответствующих значениях параметров компонент имеет место гигантское увеличение МЭ-коэффициента по напряжению в области совпадения частот электромеханического резонанса (ЭМР) и однородной прецессии намагниченности, т.е. в области магнитоакустического резонанса. В указанных работах проведен численный расчет МЭ-коэффициента по напряжению в двухслойной структуре, намагниченной касательно и перпендикулярно ее плоскости. Целью данной работы является нахождение явного выражения для МЭ-коэффициента по напряжению и исследование его зависимости от частоты и величины внешнего магнитного поля с учетом эффекта зажатия со стороны подложки.
Моделирование
В работе проводится моделирование МЭ-взаимодействия в пленочной феррит-пьезоэлектрической структуре на диэлектрической подложке, подмагниченной внешним магнитным полем вдоль оси [100] ферритового кристалла с кубической симметрией (рис. 1). Пьезоэлектрическая компонента полагается поляризованной перпендикулярно плоскости образца, при этом направление поляризации параллельно подмагничивающему полю H0. В качестве исходных используются уравнения движения намагниченности, уравнения движения ферритовой и пьезоэлектрической фаз, а также материальные соотношения для пьезоэлектрической фазы.
Рисунок 1. Образец феррит-пьезоэлектрической структуры на подложке.
Система уравнений движения для магнитной и пьезоэлектрической фаз и подложки имеет вид:
mρ ∂2(mu1)/∂t2 = ∂ 2(mW)/(∂ x∂mS1) + ∂ 2(mW)/(∂ y∂mS6) + ∂ 2(mW)/(∂ z∂mS5),
mρ ∂2(mu2)/∂t2 = ∂ 2(mW)/(∂ x∂mS6) + ∂ 2(mW)/(∂ y∂mS2) + ∂ 2(mW)/(∂ z∂mS4),
pρ ∂2(pu1)/∂t2 = ∂ (pT1)/∂x + ∂ (pT6)/∂y + ∂ (pT5)/∂z, (1)
pρ ∂2(pu2)/∂t2 = ∂ (pT6)/∂x + ∂ (pT2)/∂y + ∂ (pT4)/∂z;
sρ ∂2(su1)/∂t2 = ∂ (sT1)/∂x + ∂ (sT6)/∂y + ∂ (sT5)/∂z,
sρ ∂2(su2)/∂t2 = ∂ (sT6)/∂x + ∂ (sT2)/∂y + ∂ (sT4)/∂z;
где mρ, pρ и sρ - плотности феррита, пьезоэлектрика и подложки, mui и pui - компоненты смещения фаз, mSi - компоненты деформации феррита, pTi и sTi - компоненты напряжений в пьезоэлектрике и подложке, mW - плотность свободной энергии феррита, включающая зеемановскую, магнитодипольную энергию, а также упругую и магнитоупругую энергию [7].
Уравнения упругости для пьезоэлектрической фазы и подложки имеют вид:
pT4 = pc44 pS4 - pe15 pE2,
pT5 = pc44 pS5 -pe15 pE1, (2)
sT4 = sc44 sS4,
sT5 = sc44 sS5,
где pSi и sSi - компоненты деформаций, pc44 и sc44 - коэффициент жесткости пьезоэлектрика и подложки, pe15 - пьезоэлектрический коэффициент, pEi - компоненты электрического поля.
Уравнение движения вектора намагниченности феррита может быть записано в виде:
∂M/∂t = - γ [M, Heff], (3)
где Heff = - ∂(mW)/∂M, M - намагниченность феррита, γ. - магнитомеханическое отношение.
Для гармонической волны, распространяющейся в направлении z, уравнения (1) и (3) с учетом (2) принимают вид:
ω m+ = γ (H0 m+ +B2 ∂(mu+)/∂z - 4 π M0 m+ - M0 H+),
- ω2 mρ mu+ = mc+44 ∂2(mu+)/∂z2, (4)
- ω2 pρ pu+ = pc44 ∂2(pu+)/∂z2 ,
- ω2 sρ su+ = sc44 ∂2(su+)/∂z2 .
где ω - частота, m - переменная намагниченность, B2 - магнитоупругая константа, m+=m1+i m2, аналогично определяются mu+, pu+, H+, su+, mc+44=mc44+γB22/[M0 (ω - γ H0+ γ4πM0)]. При выводе уравнений (4) полагалось, что m<<M.
Для решения системы уравнений (4) необходимо использовать граничные условия, заключающиеся в равенстве компонент смещений и механических напряжений на границах раздела ферритовой и пьезоэлектрической фаз и подложки, при этом на свободных границах механическое напряжение обращается в нуль.
Подстановка решений системы уравнений (4) в условие разомкнутой электрической цепи 
, (pA - поперечное сечение пьезоэлектрического слоя) позволяет получить выражение для МЭ-коэффициента по напряжению:
; (5)
где 
,
Q1=cos(pkpL), Q2=sin(pkpL), Q3=cos(mkmL), Q4=sin(mkmL), Q5=cos(sksL), Q6=sin(sksL),
.
В качестве примера применим полученное выражение для оценки МЭ-коэффициента по напряжению для двухслойной структуры: титанат бария (ТБ) - иттрий-железистый гранат (ИЖГ) на подложке из галлий-гадолиниевого граната (ГГГ). На рис. 2 приведена зависимость 
от частоты для свободной структуры ИЖГ - ТБ. Толщины пьезоэлектрической и ферритовой фаз равны соответственно 0,8 и 2,4 мкм. Потери в образце учтены подстановкой в (5) комплексной частоты Ω = ω + iω1, где ω1/ω =10-2.
Как следует из рис. 2, в области совпадения частот электромеханического и магнитного резонансов наблюдается гигантское увеличение МЭ-эффекта, что обусловлено связанными колебаниями механической и магнитной систем. Выбор оптимальных значений толщин пьезоэлектрического и магнитного слоев может быть произведен на основе анализа выражения (5). В качестве примера на рис. 3 приведена зависимость МЭ-коэффициента от объемной доли ТБ в свободной структуре ИЖГ - ТБ.
Рисунок 2. Зависимость МЭ-коэффициента по напряжению от частоты для свободно стоящей структуры ИЖГ - ТБ для подмагничивающего поля H0=2115 Э. Толщины слоев ИЖГ и ТБ равны 2,4 и 0,8 мкм.
Рисунок 3. Зависимость МЭ-коэффициента по напряжению от объемной доли пьезоэлектрика для свободно стоящей структуры ИЖГ - ТБ для подмагничивающего поля H0=2115 Э, частоты 1 ГГц и суммарной толщины структуры 3,2 мкм.
Анализ зависимости, приведенной на рис. 3, показывает, что для обеспечения наибольшего МЭ-эффекта в данном случае толщина ферритового слоя должна быть в три раза больше, чем толщина пьезоэлектрика.
Для феррит-пьезоэлектрической структуры на подложке максимальное значение МЭ-коэффициента по напряжению уменьшается с увеличением толщины подложки вследствие эффекта зажатия. Спектр ЭМР структуры с учетом влияния подложки состоит из семейства равноудаленных линий. Расстояние между двумя соседними пиками определяется в основном толщиной подложки. Максимум огибающей резонансных линий наблюдается на частотах, соответствующих ЭМР двухслойной феррит-пьезоэлектрической структуры. Частотная зависимость МЭ-коэффициента по напряжению показана на рис. 4 для структуры ИЖГ - ТБ на подложке из ГГГ.
Рисунок 4. Зависимость МЭ-коэффициента по напряжению от частоты для структуры ИЖГ - ТБ на подложке из ГГГ для подмагничивающего поля H0=2 кЭ. Толщины слоев ИЖГ, ТБ и ГГГ равны соответственно 2,4 мкм, 0,8 мкм и 0,1 мм.
Частота МАР для структуры ИЖГ - ТБ на подложке из ГГГ (рис. 4) уменьшилась по сравнению со свободной структурой ИЖГ - ТБ, что связано с эффектом зажатия структуры со стороны подложки. При этом максимальное значение МЭ-коэффициента также уменьшилось до 63 В/(см∙Э).
Известно, что магнитный резонанс можно наблюдать при изменении частоты и фиксированном подмагничивающем поле, а также при изменении подмагничивающего поля при постоянной частоте. На рис. 5 приведена зависимость МЭ-коэффициента по напряжению как функция подмагничивающего поля для структуры ИЖГ - ТБ на подложке из ГГГ при фиксированной частоте.
Рисунок 5. Зависимость МЭ-коэффициента по напряжению от подмагничивающего поля для структуры ИЖГ - ТБ на подложке из ГГГ для частоты 0,7 ГГц. Толщины слоев ИЖГ, ТБ и ГГГ равны соответственно 2,4 мкм, 0,8 мкм и 0,1 мм.
Рис. 5 показывает, что резонансное магнитное поле для феррит-пьезоэлектрической структуры на подложке равно 2 кЭ, в то время как для свободной структуры его величина составляет 2,115 кЭ. Уменьшение величины резонансного значения подмагничивающего поля связано с зажатием феррит-пьезоэлектрической структуры со стороны подложки.
Заключение
В данной работе получено выражение для МЭ-коэффициента по напряжению в области совпадения частот электромеханического и магнитного резонансов для двухслойной феррит-пьезоэлектрической структуры на диэлектрической подложке. Приведена зависимость МЭ-коэффициента по напряжению от частоты, подмагничивающего поля, а также объемной доли ТБ для двухслойной структуры ИЖГ - ТБ на подложке из ГГГ. В области магнитоакустического резонанса при совпадении частот ЭМР и однородной прецессии намагниченности ферритовой фазы наблюдается существенное увеличение МЭ-коэффициента по напряжению.
Расчетное значение МЭ-коэффициента по напряжению позволяет рекомендовать слоистые композиционные материалы на основе монокристаллических ферритов и пьезоэлектриков для использования в радиокомпонентах, работа которых основана на генерации магнитоупругих волн или на управлении параметрами магнитного резонанса с помощью электрического поля.
Работа выполнена в рамках реализации федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
Рецензенты:
- Захаров А.Ю. д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого», г. Великий Новгород.
- Корнышев Н.П., д.т.н., ведущий научный сотрудник НИИ ПТ «РАСТР», г. Великий Новгород.