Решение возвратных уравнений высоких степеней всегда вызывает определенные трудности как у школьников, так и у студентов педагогических вузов. Видимо, поэтому в школьных учебниках рассматриваются возвратные уравнения только третьей и четвертой степеней [1, с. 67-68; 2, с. 132-141; 3, с. 235], также в учебниках для педагогических вузов и школьных учебниках повышенной сложности рассматриваются возвратные уравнения только третьей и четвертой степеней, реже – пятой степени и выше [4, с. 116; 5, с. 68; 6, с. 59]. В таблице представлены основные методы, которые используются для решения возвратных уравнений - это замена неизвестного и разложение на множители.
Методы решения возвратных уравнений
|
Авторы |
Источники |
Методы |
Алгоритм |
|
Виленкин Н.Я. Виленкин А.Н., Сурвилло Г.С. |
Алгебра. Учебник для общеобразовательных школ с углубленным изучением математики. 8 класс. |
Введение новой переменной |
1) разделить обе части уравнения на 2) сгруппировать члены с одинаковыми коэффициентами; 3) сделать подстановку 4) полученное уравнение решить известными способами (разложение на множители) |
|
Виленкин Н.Я. |
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл.: учебник для учащихся общеобразоват. организаций (углубленный уровень) |
||
|
Муравин Г.К. |
Алгебра и начала математического анализа. 11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений |
||
|
Шахмейстер А.Х. |
Уравнения |
Введение новой переменной Разложение на множители |
В общем виде, для уравнения степени 1) 2) полученное уравнение меньшей степени решить известными способами. Для уравнения нечетной степени: 1) разложить на множители, один из которых будет 2) исходное уравнение разделить на 3) полученное уравнение четной степени решить известным способом |
|
Cоловьева Л.А. |
Нестандартные методы решения возвратных и симметрических уравнений |
;
, 
, применив формулы сокращенного умножения;
, разделить обе части уравнения на 
:
;
;В основе использования этих методов лежит следствие теоремы Безу [7, с. 28] и применение формул сокращенного умножения высших степеней, что связано с громоздкими преобразованиями многочленов, представленными в левой части уравнения.
В данной статье предпринята попытка обоснования еще одного метода решения возвратных симметрических уравнений, который был обнаружен авторами в процессе исследования многочленов, получающихся в результате замены переменной.
Цель исследования – разработать и теоретически обосновать новый метод решения симметрических возвратных уравнений.
Материал и методы исследования
Для достижения поставленной цели были изучены теоретические вопросы обоснования процесса решения уравнений высших степеней, проведен логико-математический анализ задачного материала, представленного в школьных учебниках и в учебниках для педагогических вузов. Также был проведен анализ публикаций, связанных с рассмотрением различных методов решения уравнений высших степеней, в частности методов решения симметрических возвратных уравнений.
Результаты исследования и их обсуждение
Зная, что корнем любого симметрического возвратного уравнения (СВУ) нечетной степени является (-1) (в силу симметричности коэффициентов), имеем возможность представить СВУ в следующем виде:
, причем степень уравнения 
четная.
Далее, как известно, применяется следующий прием, а именно, умножаем обе части уравнения
на множитель 
.
После преобразований получим уравнение (1)
, для решения, которого воспользуемся методом замены переменной:
.
Возникает задача, заключающаяся в выражении 
через 
,
где 
зная, что .
Существует способ выражения, который сейчас будет рассмотрен.
Зная, что , выразим , через переменную :
и т.д.
где 
, (биноминальный коэффициент) [8, с. 144-145].
Очевидно, что при достаточно больших значениях степеней расчеты становятся неудобными и громоздкими, что существенно замедляет процесс решения. Возникает вопрос, возможно ли осуществить процесс нахождения многочленов 
более простым и удобным способом? Ответ положительный. Был получен достаточно простой способ выражения, который сейчас будет рассмотрен.
Для начала составим ряд разложений, например до 4-й степени, данным способом, не заменяя 
, на переменную .
Заметим, что
Рассмотрим данную закономерность в общем виде:
Получили формулу (2):
(2)
Так как левые и правые части равны, то данная формула верна и для правой части. Таким образом, если положим, что , то получим
Пользуясь формулой (2), получим формулу (3)
(3)
Также можно представить данную закономерность в форме определителя:
Таким образом, можем заключить то, что вполне достаточно для нахождения многочлена от переменной некоторой степени знать многочлены двух предыдущих степеней. Но возникает вопрос, как определить многочлен от переменной для 
, не пользуясь формулой квадрата суммы, а пользуясь данной закономерностью, то есть формулой (3).
Действительно, мы полагаем, что , но тогда требуется для нахождения 
от многочлен предыдущей степени, то есть многочлен, соответствующий 
. Очевидно, что это есть число 2 (т.е. многочлен нулевой степени, в данном случае являющийся постоянной 2).
Докажем этот факт.
Найдем для , пользуясь формулой квадрата суммы.
Зная, что , получим 
.
Пользуясь формулой (3), найдем для :
.
Таким образом, зная, что 
и 
, мы имеем возможность найти многочлены всех последующих степеней по формуле (3). Таким образом, заметив рекуррентное соотношение, использовали возможность его применения для рационализации решения.
Как мы можем видеть, результатом проделанной работы является оптимизированный метод получения многочленов от новой переменной, что значительно сокращает время решения СВУ.
Рассмотрим пример.
Требуется решить уравнение:
.
Решение.
тогда
получим
решим биквадратное уравнение:
откуда получим:
Далее осуществим обратную замену переменной, зная, что .
Найдем корни исходного уравнения:
При :
(корни могут принадлежать также и области комплексных чисел),
при 
При 
При 
При 
Как мы можем видеть, процесс выражения переменной 
через многочлены от переменной значительно прост и не занимает большого количества времени.
Обобщим алгоритм решения данных СВУ нечетной степени.
Дано: 
Решение:
1) 
2) 
3) заменяя 
, на многочлены 
, получим новое уравнение:
Обозначим данное уравнение 
=0.
Получим корни уравнения =0: 
.
Далее находим корни исходного уравнения 
по формуле:
Понятно, что каждому значению 
соответствует пара значений (учитывая кратности корней).
В конечном счете получим множество корней исходного уравнения: 
.
Выводы
В итоге мы познакомились еще с одним методом решения возвратных уравнений, который поможет при решении уравнений высших степеней, а также иных расчетов, связанных с заменой переменной.
Считаем, что в целом основное назначение предложенного метода – предоставить возможность каждому студенту или школьнику, интересующемуся математикой, решать возвратные уравнения разными методами, при этом оценить возможности каждого из них. Все это будет способствовать формированию исследовательской компетенции обучающихся, так как создаются условия для сознательного освоения материала, проводится теоретическое обоснование выбора предложенных методов, что влечет за собой расширение знаний, формирование соответствующих умений и навыков. Таким образом, предложенный метод может оказаться полезным и для самостоятельной работы школьников, интересующихся математикой, и студентов педагогических вузов, так как на этом материале можно устанавливать связи изучаемых теоретических вопросов с курсом школьной алгебры. Надеемся, что предложенный метод рационализации решения симметрических возвратных уравнений привлечет внимание и педагогов, работающих в области математического образования.