Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,813

TWO-DIMENSIONAL PROBLEM WITH FREE BOUNDARIES

Kudaeva F.Kh. 1 Kaygermazov A.A. 1 Nakhusheva F.M. 1 Dolova M.Kh. 2 Mambetov M.Zh. 1
1 Kabardino-Balkaria State University H.M. Berbekov
2 GBZU, City clinical hospital №1
Если в криохирургической практике при охлаждении поверхности биологической ткани используется криоинструмент, который представляет собой круг или полусферу, то температурное поле обладает осевой симметрией, и, следовательно, зависит только от двух пространственных координат. Предлагаемая работа посвящена таким двумерным задачам со свободными границами возникающих при математическом моделировании медицинских проблем. В работе рассмотрены новые постановки двумерных двухфазных задач со свободными границами в сферической и цилиндрической системах координат. Для сформулированных задач получены постановки стационарных задач. В случае когда при монотонно понижающейся до некоторого предельного значения температуре аппликатора максимальные размеры зон криопоражения, замораживания и теплового возмущения достигают стационарного состояния, получены соответствующие стационарные задачи Стефана. Для полусферической охлаждающейся поверхности криозонда получена двухфазная задача типа Стефана. Некоторые условия регулярности на бесконечности заменены краевыми условиями Дирихле или Неймана. Температурное поле определено только в возмущенной в тепловом отношении области биологической ткани. При ограничениях на зоны теплового возмущения получены постановки задач Стефана для полуограниченных сред. Полученные результаты можно применить при конструировании и совершенствовании криоинструментов.
If cryosurgical practice while cooling the surface of the biological-ecological fabric uses a device that is a circle or a hemisphere, the temperature field has axial symmetry, and therefore only depends on two spatial coordinates. The proposed work focuses on two-dimensional problems with free boundary-mi arising in the mathematical modeling of medical problems.The paper considers new productions of two-dimensional two-phase problems with free boundaries in spherical and cylindrical systems of coordinates. For the formulated problems obtained performances for stationary, cottages. In the case when a monotonically decreasing up to some limitstion values of the temperature applicator maximum sizes of the zones of crypo expression, freezing and thermal perturbations reach a stationary state corresponding stationary Stefan problem. For hemispherical cooling the surface of the cryoprobe is captured on the two-phase Stefan-type problem. Some conditions of regularity at innity replaced by Dirichlet boundary conditions or Neumann. Tempe-temperature field is defined only in perturbed in thermal relation to the field of biological tissue. With limitation of the heat zone Osmosetion, the resulting formulation of Stefan problems for semi-infinite media. The results can be applied in the design and improvement of cryoinstruments.
spherical coordinate system
cylindrical coordinate system
two-phase task
the problem with free boundary
temperature field

В работе рассматриваются новые постановки двумерных двухфазных задач со свободными границами в цилиндрической и сферической системах координат. Поставленные задачи Стефана не содержат начальных условий, так как температурное поле определяется только в возмущенной в тепловом отношении области биологической ткани.

При ограничениях на зоны теплового возмущения получены постановки задач Стефана для полуограниченных сред. Условия регулярности на бесконечности при достаточно больших значениях зонах теплового возмущения заменены краевыми условиями Дирихле или Неймана.

1. Осесимметричная криодеструкция

Если охлаждающая поверхность криоинструмента представляет собой круг или полусферу, что наиболее часто встречается в криохирургической практике, то температурное поле в биоткани обладает осевой симметрией и, следовательно, зависит только от двух пространственных координат. В цилиндрической системе координат - и , в сферической от и . Воспользовавшись выражениями для градиента в цилиндрической:

и сферической:

системах координат, получаем выражения для нормали к изотермической поверхности ее кажущейся скорости в направлении нормали и производной

С помощью этих формул легко записываются условия сопряжения и условие на поверхности

В случае плоского кругового аппликатора температурное поле можно рассматривать как в цилиндрической , так и в сферической системах координат. Если же охлаждающая поверхность представляет собой полусферу радиуса , то предпочтительной является сферическая система координат, так как поверхность биологической ткани совпадает с координатными поверхностями и и . Итак, если криодеструкция осуществляется плоским круговым криозондом, то для и соответствующих изотерм получаем нестационарную задачу Стефана [1-3]:

и нестационарную пространственно локализованную задачу Стефана в случае полусферической охлаждающей поверхности криозонда:

Отметим, что поставленные задачи Стефана не содержат начальных условий, так как температурное поле определяется только в возмущенной в тепловом отношении области биологической ткани , вырождающейся при

где

В случае полусферической охлаждающейся поверхности криозонда приходим к следующей двухфазной задаче Стефана [4; 5]:

Дальнейшее упрощение задач связано с переходом от неограниченных областей к квадрату и сектору .

С определенной погрешностью условия регулярности на бесконечности при достаточно больших значениях и можно заменить краевыми условиями Дирихле

или Неймана

.

Последнее, очевидно, равно нулю в случае пространственно локализованных задач Стефана, если зоны теплового возмущения превосходят максимальный размер установившейся стационарной зоны теплового возмущения биологической ткани, вне которой температурное поле постоянно .

2. Стационарные задачи осесимметричной криодеструкции биоткани

При заданной монотонно понижающейся до некоторого предельного значения температуре аппликатора максимальные размеры зон криопоражения, замораживания и теплового возмущения достигаются в стационарном состоянии, когда и . Для определения пары функций и получаем соответствующие стационарные задачи Стефана [6]:

в случае кругового аппликатора и

в случае полусферического аппликатора. При приходим к постановкам задач Стефана для полуограниченных сред и , .

Рецензенты:

Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик;

Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного геофизического института, г. Нальчик.