В данной статье приводится аналитическое решение указанной задачи и рассмотрен случай, когда несовершенная скважина вскрыла однородно-анизотропный круговой пласт с подошвенной водой и эксплуатируется при наличии непроницаемого экрана (рисунок 1). Считаем, что газ реальный, движение газа, установившееся и подчиняется нелинейному закону фильтрации.
Рис.1. Трехзонная схема притока газа к несовершенной скважине с экраном
Исходя из принятых условий, уравнения притока газа к скважине в зонах I, II, III соответственно примут вид:
; (1)
; 
; (2)
; 
; 
, (3)
где a и b определяются по формулам. Остальные обозначения показаны на схеме (см. рисунок 1). Уравнения (2) и (3) в данном случае описывают приток к укрупненным скважинам соответственно с радиусами rэ и (rэ+ho).
Условие устойчивости на границе раздела газ-вода (см. линию СD) по закону Паскаля запишется уравнением [1,2]
, (4)
где ρв – плотность воды, 
– капиллярное давление как функция насыщенности водой на границе раздела газ-вода.
Решая совместно (1)-(3), после ряда преобразований, получаем уравнение притока
. (5)
Из совместного решения (2) и (4) получаем квадратное уравнение относительно безразмерного предельного дебита 
, один из корней которого с учетом (7) и после ряда преобразований представляется выражением:
; 
(6)
где 
(7)
(8)
Переход к размерному предельному безводному дебиту осуществляется по формулам:
(9)
где 
– средневзвешенное давление в газовой залежи.
Таблица 1
Значения фильтрационных сопротивлений, обусловленных экраном на забое
|
Rэ |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
10,0 |
20,0 |
|||||||
|
|
С1 |
С2 |
С1 |
С2 |
С1 |
С2 |
С1 |
С2 |
С1 |
С2 |
С1 |
С2 |
С1 |
С2 |
|
ρо=0,1 |
||||||||||||||
|
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 |
2,20 1,10 0,60 0,40 0,15 0,10 - - - |
37,0 12,4 3,0 1,4 0,8 0,5 0,3 0,1 - |
4,70 2,30 1,30 0,80 0,40 0,15 0,10
- |
46,0 14,8 5,2 2,4 1,6 0,8 0,3 0,1 - |
6,8 3,4 2,0 1,2 0,6 0,4 0,2 0,2 - |
50,40 16,20 6,40 4,20 2,80 1,00 0,45 0,20 0,10 |
8,70 4,30 2,50 1,50 0,80 0,60 0,40 0,11 - |
55,40 17,20 7,00 3,50 2,00 1,20 0,50 0,22 0,10 |
10,30 5,20 3,00 1,80 1,00 0,80 0,40 0,11 - |
62,1 17,3 7,6 3,7 2,1 1,6 0,6 0,3 0,1 |
17,17 8,32 4,98 3,23 2,16 1,44 0,91 0,52 0,21 |
71,64 19,28 8,34 4,34 2,46 1,42 0,78 0,37 0,10 |
21,41 11,09 6,59 4,27 2,85 1,90 1,21 0,69 0,29 |
81,37 21,16 9,08 4,74 2,70 1,58 0,90 0,46 0,16 |
|
ρо=0,5 |
||||||||||||||
|
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 |
0,30 0,23 0,20 0,15 0,10 - - - - |
3,30 1,20 0,80 0,60 0,40 0,20 0,10 - - |
0,60 0,45 0,39 0,27 0,20 0,10 - - - |
6,8 12,4 1,5 1,0 0,6 0,3 0,2 0,1 - |
0,90 0,70 0,59 0,46 0,28 0,15 0,12 - - |
10,2 3,6 2,2 1,3 0,8 0,4 0,2 0,1 - |
1,25 0,90 0,75 0,55 0,40 0,25 0,15 - - |
13,80 4,80 2,80 1,70 1,00 0,50 0,25 0,10 - |
1,60 1,15 0,95 0,75 0,50 0,29 0,18 0,11 - |
17,00 6,0 3,40 2,0 1,20 0,60 0,30 0,15 0,10 |
7,08 4,54 3,34 2,28 1,55 1,02 0,61 0,31 0,10 |
27,65 11,39 5,71 3,18 1,85 1,06 0,56 0,23 0,10 |
13,32 7,71 4,96 3,32 2,24 1,48 0,91 0,48 0,16 |
46,59 15,21 7,14 3,89 2,95 1,32 0,74 0,36 0,10 |
|
ρо=1,0 |
||||||||||||||
|
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 |
0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 - - - |
1,30 0,60 0,30 0,20 0,10 - - - |
0,62 0,46 0,38 0,30 0,20 0,10 - - |
2,5 1,2 0,7 0,4 0,2 0,1 - - |
0,95 0,70 0,51 0,46 0,28 0,18 0,10 - |
4,00 1,70 1,00 0,60 0,35 0,20 0,10 - |
1,25 0,92 0,75 0,60 0,40 0,25 0,15 0,10 |
5,10 2,30 1,40 0,80 0,50 0,30 0,17 0,10 |
1,55 1,15 0,97 0,75 0,48 0,30 0,18 0,10 |
6,60 2,55 1,80 1,15 0,60 0,35 0,20 0,10 |
3,14 2,28 1,89 1,37 0,95 0,61 0,35 0,10 |
13,20 5,77 3,45 2,06 1,23 0,70 0,38 0,10 |
7,38 5,16 3,51 2,41 1,64 1,07 0,65 0,32 |
26,38 10,67 5,39 3,04 1,80 1,06 0,59 0,27 |
Добавочные фильтрационные сопротивления 
и 
, обусловленные экраном, рассчитаны на ЭВМ по формулам (6), затабулированы (таблица 1) и представлены графиками (рисунок 2). Функция (6) рассчитана на ЭВМ и представлена графически при 
(рисунок 3). Предельная депрессия 
может быть установлена по уравнению притока (4.4.4) при Q=Qпр.
Рис.2. Фильтрационные сопротивления и , обусловленные экраном при устойчивой границе раздела газ-вода
Рис.3. Зависимость безразмерного предельного дебита qпр от относительного вскрытия 
при параметрах 
, ρ=1/æ* и α
На рисунке 3 приведены зависимости безразмерного предельного дебита q от степени вскрытия при параметрах Rэ и α. Кривые показывают, что с увеличением размера экрана (<20) безводные дебиты увеличиваются. Максимум на кривых соответствует оптимальному вскрытию пласта, при котором можно получить наибольший предельный безводный дебит для заданного размера экрана. С увеличением параметра ρ=1/æ* (уменьшением анизотропии) предельный безводный дебит увеличивается, а уменьшение безводного дебита для малых вскрытий объясняется увеличением фильтрационных сопротивлений, обусловленных экраном на забое.
Пример. Дренируется газовая шапка, контактирующая с подошвенной водой. Требуется определить: предельный дебит газовой скважины, ограничивающий прорыв ГВК к забою и предельный дебит при наличии непроницаемого экрана.
Исходные данные: Рпл=26,7 МПа; К=35,1·10-3 мкм2; Ro=300 м; ho=7,2 м; 
=0,3; 
=978 кг/м3; 
=210 кг/м3 (в пластовых условиях); æ*=6,88; 
=0,02265 МПа·с (в пластовых условиях); Тпл=346 К; Тст=293 К; Рат=0,1013 МПа; rэ=ho=7,2 м и rэ=0,5ho=3,6 м.
Определяем параметр размещения
Из графиков [2,3,4] находим безразмерный предельный безводный дебит жидкости q(ρо,)q(6,1;0,3)=0,15.
По формуле (9) подсчитываем:
Qo=52,016 тыс. м3/сут; 
тыс. м3/сут.
Определяем безразмерные параметры при наличии экрана:
По графикам (см. рисунок 2) или таблице находим добавочные фильтрационные сопротивления: С1
= С1(0,15;0,3;1)=0,6; С2= С2(0,15;0,3;1)=3,0.
По формуле (7) находим безразмерный параметр α=394,75.
По формуле (9) подсчитываем дебит, который составил Qo
47,9 тыс.м3/сут.
Расчеты по формулам (7) и (8) дают: Х=51,489 и Y=5,773·10-2.
Безразмерный предельный дебит, рассчитанный по формуле (6), равен q=1,465.
Определяем размерный предельный дебит, обусловленный экраном, из соотношения Qпр=qQo=1,465·47,970,188 тыс.м3/сут.
Расчетный предельный дебит без экрана с аналогичными исходными параметрами составляет 7,8 тыс. м3/сут. Таким образом, в рассматриваемом случае наличие экрана увеличивает предельный дебит почти в 10 раз.
Если принять rэ=3,6 м; т.е. в два раза меньше размеру, чем газонасыщенная толщина, тогда получаем следующие расчетные параметры:
=2; С1=1,30; С2=5,20; Х=52,45; Y=1,703·10-2; q=0,445 и Qпр=21,3 тыс.м3/сут. В данном случае предельный дебит увеличивается всего лишь в 2,73 раза.
Следует отметить, что величина предельного дебита зависит не только от размеров экрана, но и от его положения по вертикали газонасыщенного пласта, т.е. от относительного вскрытия пласта , если экран располагается непосредственно перед забоем. Исследование решения (6) показало, что существует оптимальное положение 
экрана, зависящее от параметров ρ, α, Rэ, которое соответствует наибольшему предельному дебиту. В рассмотренной задаче оптимальным вскрытием является =0,6.
Принимаем ρ=0,145 и =1. По изложенной методике получаем расчетные параметры: С1=0,1; С2=0,5; X=24,672; Y=0,478.
Определяем безразмерный дебит:
q=24,672(
-1) 5,323.
Размерный предельный дебит находится по формуле (9)
Qпр=qQo=5,323·103=254,94 тыс.м3/сут.
Таким образом, дебит по сравнению с относительным вскрытием =0,3 увеличился в 3,6 раза.
Изложенный здесь способ определения предельного безводного дебита является приближенным, так как он рассматривает устойчивость конуса, вершина которого уже достигла радиуса экрана rэ.
При 
из приведенных решений получим формулы для определения q(
) для несовершенной газовой скважины в условиях нелинейного закона фильтрации с учетом добавочных фильтрационных сопротивлений. Эти формулы также будут приближенными, и по ним рассчитывается завышенное значение предельного безводного дебита.
Для построения двухчленного уравнения притока газа в условиях предельно-устойчивого конуса подошвенной воды необходимо знать фильтрационные сопротивления именно в этих условиях. Определить их можно исходя из теории устойчивого конусообразования Маскета-Чарного. Уравнение линии тока, ограничивающей область пространственного движения к несовершенной скважине в однородно-анизотропном пласте, когда уже произошел прорыв вершины конуса к забою скважины, в соответствии с теорией безнапорного движения, запишем в виде
(10)
где q=
– безразмерный предельный безводный дебит, определяемый по приведенным (известным) приближенным формулам и графикам; 
– безразмерный параметр.
Выражая скорость фильтрации через расход 
, подставляя уравнение границы раздела (10) в дифференциальное уравнение (1), учитывая закон газового состояния и интегрируя по давлению Р и радиусу r в соответствующих пределах, получим уравнение притока вида (12) и формулы (13), в которых следует принять:
; 
, (11)
(12)
где Li(x) – интегральный логарифм, который связан с интегральной функцией зависимостью [5].
(13)
При x>1 интеграл (13) расходится в точке t=1. В этом случае под Li(x) надо понимать значение несобственного интеграла. Поскольку методы определения безразмерных предельных безводных дебитов хорошо известны, то, очевидно, нет необходимости табулировать функции (11) и (12).
Выводы
1. Разработана приближенная методика расчета предельных безводных дебитов вертикальных газовых скважин при нелинейном законе фильтрации, обусловленных наличием непроницаемого забойного экрана. Безразмерные предельные дебиты и соответствующие добавочные фильтрационные сопротивления рассчитаны на компьютере, результаты затабулированы и приведены соответствующие графические зависимости.
2. Установлено, что величина предельного безводного дебита зависит не только от размеров экрана, но и от его положения по вертикали газонасыщенного пласта; определено оптимальное положение экрана, характеризующее наибольшим предельным дебитом.
3. Произведены практические расчеты на конкретном примере.
Рецензенты:
Грачев С.И., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений», Институт геологии и нефтегазодобычи, ФГБОУ ТюмГНГУ, г. Тюмень;
Сохошко С.К., д.т.н., профессор, профессор кафедры «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений», Институт геологии и нефтегазодобычи, ФГБОУ ТюмГНГУ, г. Тюмень.