Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

IMPROVING THE ACCURACY OF PROBLEM SOLUTION THERMO-MASS HEATER IN THE ANALYSIS OF DRYING OF CAPILLARY-POROUS MATERIALS

Gorokhovskiy A.G. 1 Shishkina E.E. 1 Chernyshev O.N. 1
1 Urals state forestry engineering university
In the analytic solutions of differential equations in partial derivatives teplomassoobmena infinite sums in the expressions for temperature and humidity is usually approximated the first two terms of the Taylor series. The accuracy of the solution is 1–2%. We have developed a new analytical method for the solution of the characteristic equation of such a system of differential equations, which allows the solution to approximate 8 the first members of the series. The expected accuracy of the solution can be up to 0,01–0,02%. Based on the proposed method of solving a system of differential equations in partial derivatives of heat and mass transfer in a computing environment MathCad program was created to analyze the kinetics of drying, using the built-in «V-polyroots (V)». The program also allows you to graphically interpret the results of the decision, including three-dimensional graphics.
system of the differential equations
system of optimum speed
wood drying
Процесс сушки капиллярно-пористого тела (например, древесины) описывается системой дифференциальных уравнений (ДУЧП) тепломассообмена [1, 4].

Для неограниченной пластины в критериальной форме система ДУЧП приобретает вид:

 

     (1)

где  ,  —  безразмерная координата;

Т –  безразмерная температура;

U –   безразмерное влагосодержание;

Fo –  критерий Фурье;

Lu – критерий взаимосвязи тепло- и  массопереноса;

Ko – критерий Коссовича;

Pn – критерий Поснова.

Система (1) может быть решена при различных начальных условиях. В случае низкотемпературной сушки они характеризуются следующим:

1) потенциалы переноса среды постоянны;

2) начальное распределение потенциалов переноса внутри тела постоянное (что, по мнению А.В. Лыкова [4, 5], соответствует стадии прогрева влажного тела и периода постоянной скорости сушки) либо параболическое (что соответствует падающей скорости сушки).

Следует отметить, что случай параболического распределения потенциалов носит более общий характер.

В данном случае система (1) решается при граничных условиях III рода:

                   (2)

                                                  (3)

условиях симметрии:

                                     (4)

и начальных условиях:

                                                       (5)

                                                       (6)

где  Bi – критерий Био;

Kim – массообменный критерий Кирпичева;

Bim – массообменный критерий Био;

un – влагосодержание на поверхности тела;

            —  симплексы неравномерности начального распределения потенциалов тепло- и массопереноса;

tп, tц, uп, uц – соответственно температура и влагосодержание поверхности и центра сортимента.

Решение системы (1) имеет вид:

,                                             (7)

,                    (8)

где

                                               (9)

                       (10)

                                              (11)

                              (12)

                      (13)

    (14)

                                   (15)

                       (16)

 

 — корни характеристического уравнения

 

                                          (17)

 

В литературе [4, 5] приводятся некоторые решения (17), полученные графоаналитическим методом. Однако для максимального использования возможностей решения (7)–(17) необходимо хотя бы приближенное аналитическое решение характеристического уравнения (17).

Введем обозначения:

       

    

,         ,

                                                                       (18)

 

После разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора и преобразований получим:

    (19)

 

Уравнение (19) представляет собой полином 8-й степени относительно х и имеет вид:

                      (20)

 

После преобразований и подстановки значений из (18) коэффициенты имеют значения:

 

 

 

                                                                  (21)

 

В результате решения преобразованного характеристического уравнения мы можем найти 8 первых корней уравнения (17), точнее их первых приближений.

По мнению А.В. Лыкова и Ю.А. Михайлова, при замене бесконечных сумм в (7) и (8) двумя первыми членами ряда по числу корней характеристического уравнения точность вычислений может составлять 1–2%, а при количестве членов 6 и более точность может составлять  0,01–0,02%.

Предлагаемое нами решение дает возможность заменить бесконечную сумму 8 первыми членами, что позволяет говорить о точности вычислений не ниже 0,01–0,02%.

На основе предложенного метода решения системы ДУЧП тепломассообмена в вычислительной среде Mathcad-12 [2, 3] была создана программа для анализа кинетики сушки пиломатериалов.

Для нахождения корней полиномов типа (20) в Mathcad есть встроенная функция типа «V – polyroots (V)».

Пример графической интерпретации результатов решения системы ДУЧП (1) (рис. 1).

 

 

 

 

 

 
 

                           а)

                                 б)                                                                      в)

Рис. 1.  Кинетика сушки пиломатериалов  порода – сосна, толщина – 40 мм; Wн = 60%, Wк = 12%; режим – нормативный.

а)  Изменение влажности древесины во времени:

     1 – средняя влажность;

     2 – внутренние слои;

     3 – наружные слои.

б) Распределение влажности в пространстве параметров времени и  толщины доски.

в)  Распределение влажности по толщине в различные моменты времени

 

Рецензенты:

Санников А.А., д.т.н., профессор кафедры технической механики и оборудования целлюлозно-бумажных производств ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет», г.Екатеринбург;

Уласовец В.Г., д.т.н., профессор кафедры механической обработки древесины ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет», г.Екатеринбург.