Каждая дисциплина, изучаемая в вузе, направлена на овладение курсантами определенной совокупности компетенций. Так, всоответствии с ФГОС – 3,дисциплина«Высшая математика»должна формироватьу курсантов следующие компетенции [8,1,2]:
- способность представить современную картину мира на основе целостной системы естественнонаучных и математических знаний (ОК-1);
- владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, критическому осмыслению, систематизации, прогнозированию, постановке целей и выбору путей их достижения, умение анализировать логику рассуждений и высказываний (ОК-7);
- способность самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том числе в новых областях, непосредственно не связанных со сферой деятельности (ОК-8);
- способность на научной основе организовывать свой труд, самостоятельно оценивать результаты свой деятельности, владеть навыками самостоятельной работы, в том числе в сфере проведения научных исследований (ПК-2);
- способность самостоятельно выполнять научно- исследовательские работы и их отдельные разделы поискового и прикладного характера (ПК-11).
Естественным образом встает вопрос: «Какиесредства необходимо использовать, чтобы сформировать, а затем осуществлять проверкууровня сформированности перечисленных компетенций?» [3,4,5].
Известно, что обучение в математике осуществляется через решение задач. Поэтому,для проверки полнотысформированностикомпетенциймы предлагаем использоватьматематические задачи общей и профессиональной направленности. С позиций деятельностного подхода решение задач есть процесс выполнения действий (мыслительных операций), направленный на достижение цели, заданной в рамках проблемной ситуации — задачи.Следовательно, полнота овладениякурсантами действиямипо решению задачи и определяетуровень сформированности компетенций[6,7].
В своей работе мы определили следующие критерии, по которым оценивается уровень сформированности компетенций:
1 уровень – овладение курсантом отдельно взятым действием. Данный уровень обеспечивается решением задач на применение отдельной математической формулы.
В качестве примера рассмотрим следующую
задачу: при
определении характеристик рассеивания по дальности артиллерийской системы
(случайная величина Х имеет нормальный закон распределения) производится 16
выстрелов со средним квадратическим отклонением равным 8 метрам. Найти
доверительную вероятность для статистической оценки математического ожидания,
если доверительный интервал 
.
Для решения задачи
необходимо выполнить одно действие – рассчитать показатель функции Лаплассапо формуле
и по таблице найти значение функции
Лапласса
2 уровень – овладение курсантом последовательностью взаимосвязанных действий. Данный уровень обеспечивается решением задач, требующим применения не только отдельных математических формул, но и математического метода.
Формулировка
такой задачи может быть следующая: в должности начальника отдела технического
контроля арсенала ГРАУ произвести выбор артиллерийских снарядов (n = 200) из текущей продукции.
Проверяемый размер снаряда измерен с точностью до 1мкм. В таблице 1 приведены
отклонения 
от номинального размера,
разбитые на разряды, численности разрядов 
(сколько
штук деталей данного размера попало в разряд) и их частоты
– частости.
Таблица 1
Исходные данных задачи
|
№ разряда i i=1…ℓ |
Границы интервала хi…xi+1 |
mi |
P*i |
|
1 |
-20…-15 |
7 |
0.035 |
|
2 |
-15…-10 |
11 |
0.055 |
|
3 |
-10…-5 |
15 |
0,075 |
|
4 |
-5…0 |
24 |
0,120 |
|
5 |
0…5 |
49 |
0,245 |
|
6 |
5…10 |
41 |
0,205 |
|
7 |
10…15 |
26 |
0,130 |
|
8 |
15…20 |
17 |
0,085 |
|
9 |
20…25 |
7 |
0,035 |
|
10 |
25…30 |
3 |
0.015 |
Оценить с помощью критерия 
– Пирсонагипотезу о согласии выборочного
распределения с законом нормального распределения при уровне значимости 
.
Алгоритм решения задачи представляет последовательность следующих действий:
1.Выполняем разбиение на разряды по
правилу Штюргерса:
.
2. Определяемчастости попадания в разряд по формуле:p*i = mi/n.
3.
Вычисляем
границы разрядов исходя из размаха варьирования R:
, ширина разряда равна R/k .
4. Определяем по выборке статистические оценки математического ожидания и дисперсии:
мкм
мкм2
мкм.
5. Вычисляем теоретическую вероятностьрiпопадания отклонений размера деталей в интервалы (хi; xi+1) по формуле:
,
где 
,а 
- табличная величина.
Результаты вычисленийсводимв таблицу 2.
Таблица 2
Результаты вычислений
|
i |
xi* |
zi |
1/2 θ(zi) |
pi |
npi |
|
|
1 |
-17,5 |
-∞ |
-0,5000 |
0,0239 |
4,78 |
1,04 |
|
2 |
-12,5 |
-1,99 |
-0,4761 |
0,0469 |
9,38 |
0,28 |
|
3 |
-7,5 |
-1,47 |
-0,4292 |
0,0977 |
19,54 |
1,05 |
|
4 |
-2,5 |
-0,96 |
-0,3315 |
0,1615 |
32,30 |
2,13 |
|
5 |
2,5 |
-0,44 |
-0,1700 |
0,1979 |
39,58 |
2,24 |
|
6 |
7,5 |
0,07 |
0,0279 |
0,1945 |
38,90 |
0,11 |
|
7 |
12,5 |
0,59 |
0,2224 |
0,1419 |
28,38 |
0,20 |
|
8 |
17,5 |
1,10 |
0,3643 |
0,0831 |
16,62 |
0,01 |
|
9 |
22,5 |
1,62 |
0,4474 |
0,0526 |
10,52 |
0,03 |
|
10 |
27,5 |
2,13 |
0,4834 |
- |
200 |
|
|
11 |
- |
∞ |
0,5000 |
- |
6. Находим
значение
по
формуле:
=7,09.
7.
Определяем число степеней свободы: 
(9-й и 10-й разряды объединены).
8.
Находим по входным величинамf=6
и 
=0,05 табличное значение
= 12,6.
9.
Сравниваем значения=7,09
и 
= 12,6.Так как <,
то гипотеза о нормальном законе распределения отклонений от номинального
размера не противоречит наблюдениям.
Так образом, решение данной задачи базируется на знании физической сущности ирасчетных зависимостей для вычисления оценок числовых характеристик случайных величин: математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения, а также порядка проверки правдоподобия гипотезы по критерию Пирсона.
3 уровень – овладение курсантом совокупностью методов и отдельных формульных зависимостей, необходимых для решения конкретной задачи[7,8].
В качестве примера рассмотрим следующую задачу: на испытательном полигоне, в ходе создания макета таблиц стрельбы учитываются факторы воздействия окружающей среды на артиллерийский снаряд. В роли инженера-испытателя оценить характер и величину влияния на движение снаряда в атмосфере, который характеризуется выходным параметром У, трех исследуемых входных факторов: температуры Т0С, давления Р Па, и времени протекания процесса t сек. Задачу исследования решить на основе вычислительного эксперимента с использованием полнофакторного планирования эксперимента и обработки его результатов методом регрессионного анализа.
Процесс решения задачи включает в себя следующие этапы:
1. Выполняем мероприятия неформализованного этапа предпланирования эксперимента.На основании изучения априорных данных определяем: центр плана, интервалы варьирования факторов, верхний и нижний уровни факторов, значения которых приведены в таблице 3.
Таблица 3
Результаты априорных данных
|
Уровни факторов |
Факторы в натуральном масштабе |
||
|
Т, 0С |
Р, 105 Па |
t, сек |
|
|
центр плана или нулевой уровень |
150 |
4 |
15 |
|
интервал варьирования |
50 |
2 |
5 |
|
верхний уровень |
200 |
6 |
20 |
|
нижний уровень |
100 |
2 |
10 |
2. Строим математическую модель процесса вида:
а) для ее построения осуществляем кодирование входных факторов,строим расширенную матрицу планирования полного факторного эксперимента и после рандомизации проводим восемь опытов, результаты которых приведены в таблице 4.
Таблица 4
Результаты опытов
|
№ опыта |
Х0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х1 Х2 |
Х1 Х3 |
Х2 Х3 |
Х1 Х2 Х3 |
у |
|
1 |
+ |
- |
- |
- |
+ |
+ |
+ |
- |
2 |
|
2 |
+ |
+ |
- |
- |
- |
- |
+ |
+ |
6 |
|
3 |
+ |
- |
+ |
- |
- |
+ |
- |
+ |
4 |
|
4 |
+ |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
- |
- |
8 |
|
5 |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
10 |
|
6 |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
- |
- |
18 |
|
7 |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
- |
8 |
|
8 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+| |
+ |
+ |
+ |
12 |
б) определяем коэффициенты уравнения регрессии по формуле:
в) врезультате вычислений получаем уравнение регрессии вида:
1.
Проводим
проверку значимости отличия коэффициентов уравнения приближенной регрессии от
ноля. Рассчитываем t-критерий Стьюдента 
, где 
–
точность определения коэффициента регрессии.
а) для получения
дисперсии воспроизводимости эксперимента дополнительно поставим в центре плана
три параллельных опыта. Пусть были получены следующие результаты: 
б) определяем дисперсию воспроизводимости:
в) в результате расчетов получаем:
г)
находим табличное значение критерия Стьюдента, взятое для уровня значимости р = 0.05 и числа степеней свободы f = k-1 = 3-1 = 2 равно: 
.Таким
образом, коэффициенты 
незначимы и их из
уравнения приближенной регрессии можно исключить, тогда получаем:
4.
Проверяем адекватность уравнения регрессии по критерию Фишера: 
.
а)
определяем остаточную дисперсию определяется по формуле:
,
где
– число значимых коэффициентов в уравнении
регрессии (их четыре)
В условиях примера получим
б) рассчитываем 
:
в) находим табличное значение критерия
Фишера для уровня значимости р=0,05
и чисел степеней свободы 
. 
Так как 
,
то полученное уравнение адекватно описывает процесс.
5. Проводим анализ уравнения приближенной регрессии и его интерпретацию.
Для этого проводим анализ модулей и знаков коэффициентов уравнения регрессии. Это даст возможность найти направление изменения исследуемых входных факторов. Затем переходим от кодированных факторов к факторам в натуральном масштабе
Полученное уравнение позволит определить (предсказать) выход продукта У при различных значениях температуры, давления и времени протекания процесса.
Как видно из примера, решение задачи основано на выполнении взаимосвязанной последовательностидействий, основанных на знании теории планирования эксперимента ииспользовании различных методов регрессионного анализа и математической статистики.
Таким образом, мы рассмотрели задачи, определяющие различные уровни сформированности компетенций. Результат представлен в таблице 5.
Таблица 5
Уровни сформированности компетенций
|
№ задачи |
Уровни сформированности компетенций |
||
|
Первый уровень |
Второй уровень |
Третий уровень |
|
|
1 задача |
+ |
+ |
+ |
|
2 задача |
- |
+ |
+ |
|
3 задача |
- |
- |
+ |
Разработанный теоретический аппарат может быть использован не только на занятиях по высшей математике, но и при изучении других дисциплин.
Рецензенты:Усманов В.В., д.п.н., профессор, первый проректор, проректор по научной работе, ФГБОУ ВПО "Пензенский государственный университет архитектуры и строительства", г. Пенза;
ГарькинаИ.А., д.т.н., профессор, зам. зав кафедрой "Математика и математическое моделирование", ФГБОУ ВПО "Пензенский государственный университет архитектуры и строительства", г. Пенза.