В последнее время в энергосистемах активно внедряется концепция гибких систем передачи переменного тока (FACTS). Данная концепция предполагает широкое применение регулируемых компенсирующих устройств, в том числе устройств продольной компенсации. Однако, применение таких устройств может приводить к возникновению колебаний на подсинхронных частотах вращения турбогенераторов – электромеханическому резонансу.
Часто при исследовании электромеханического резонанса (ЭМР) в энергосистемах пренебрегают действием насыщения стали ротора и статора синхронных машин [1, 5]. Это делается для упрощения процесса моделирования. В данной работе выполняется бифуркационный анализ математической модели энергосистемы. В этой математической модели учитывается насыщение, но пренебрегается АРВ и управлением турбиной. Учет насыщения в осях q и d приводит к повышению точности модели.
При учете насыщения стали в исследовании устойчивости принимают следующие допущения:
1) Поток рассеяния существует только в воздушном зазоре по пути основного магнитного потока. Следовательно, он не сильно влияет на насыщение стального сердечника. Таким образом, индуктивности рассеяния не зависят от насыщения стали. В результате насыщаются лишь взаимные потоки рассеяния ψmq и ψmd.
2) Потоки рассеяния обычно небольшие и их путь совпадает с основным магнитным потоком. Таким образом, насыщение может быть определено только через поток в воздушном зазоре.
3) Отношение насыщения между потоком в воздушном зазоре и магнитодвижущей силой (МДС) под нагрузкой такое же, как и без нагрузки. Это позволяет представлять характеристики насыщения через кривую насыщения холостого хода.
При исследовании используются современные методы нелинейной динамики для анализа действия (влияния) насыщения машины на ЭМР в реальной модели энергосистемы.
Рассмотрим энергосистему турбина – генератор – шина бесконечной мощности, представленную на рисунке 1. Модель и параметры выбраны для нагруженного генератора.
Рис.1 Схема системы турбина – генератор – компенсированная нагрузка. Механическая система (турбина) состоит из: ступени высокого (СВД), ступени низкого (СНД) давления, связей между ступенями (СВН и СНГ) и генератора (Ген)
Чтобы получить аналитические формулы потокосцеплений ψmd и ψmq в функции токов, представляем данные опытов, изображенные на рисунке 2, по следующим полиномам третьего порядка:
В которых dn и qn – постоянные. Очевидно, что взаимные потокосцепления рассеяния ψmd и ψmq – нелинейные функции токов генератора id, iq, if и iQ.
Рис. 2. Зависимости потокосцеплений ψ от токов i
Потокосцепления рассеяния осей d и q ψd и ψq могут быть определены из взаимных потокосцеплений рассеяния ψmd и ψmq следующим образом:
где Xle – реактивность утечки.
Модель энергосистемы описывается системой 16 нелинейных ОДУ первого порядка, 6 из которых относятся к электрической подсистеме, остальные 10 – к механической [1, 4, 5]. Механическая подсистема состоит из турбины со ступенями высокого (СВД) и низкого (СНД) давления, двух связей между ними (СВН и СНГ) и генератора. Одна подсистема расположена между ступенями высокого и низкого давления турбины, другая – между ступенью низкого давления турбины и генератором (рисунок 1).
В данном случае не учитывается динамика АРВ и управление турбиной [3]. Учитывается динамика демпферных обмоток оси q и насыщение генератора. В результате получим:
,
где
где
здесь Xle, Xlf и XlQ - реактивности утечки;
id, iq, if, iQ, ecd, ecq, ω1, θ1, ω2, θ2, ω3, θ3, ω4, θ4, ωr и δr - переменные системы. При моделировании использовались следующие параметры генератора и линии в о.е.:
Rf=0.001252, Ra=0.0045, RQ=0.009957, Rl=0.00172,
Xl=0.08366, Xle=0.145, Xlf=0.1061, XlQ=0.3819,
d0= -0.1626, d1=1.7374, d2= -0.8939, d3=0.1876,
q0=0.0635, q1=0.9808, q2= -0.3244, q3=0.0489.
Механические коэффициенты демпфирования, инерционности и жесткости в о.е.:
D1=0.02677, D2=0, D3=0.0415, D4=0, D5=0.06832,
M1=0.4930, M2=0.03107, M3=2.8383, M4=0.1156, M5=1.6512,
K12=107.611, K23=61.705, K34=141.413, K45=175.208.
Для случая без насыщения значения d0, d2, d3, q0, q2 и q3 в уравнениях 1 и 2 были приняты равными нулю [3]. Рабочие состояния (н.у.) определены путем подстановки нулей вместо производных переменных состояния в систему уравнений.
На рисунке 3 показана зависимость действительных и мнимых частей собственных значений от µ при Pe=0.9, Qe=0.4358 и υt=1.0, где µ - относительный уровень компенсации. Было получено 14 комплексных и 2 действительных собственных значения. Поскольку матрица Якоби действительна, комплексно сопряжены каждые комплексные величины собственных значений, существует 7 колебательных режимов. Из них 2 режима – электрические и 5 – механические. Режим с наименьшей частотой – режим качания или электромеханический режим, остальные 4 механических режима – режимы вращения. Два из режимов вращения, третий и четвертый, сильно демпфируются и имеют большие частоты (1030 рад/с и 1450 рад/с). Следовательно, они не будут взаимодействовать с электрическими режимами при реальных уровнях компенсации. Два действительных собственных значения отрицательны, одно относится к обмоткам поля, второе – к демпферным обмоткам.
При небольших µ, частоты электрических режимов приблизительно 314 рад/с. С увеличением µ, подсинхронная и сверхсинхронная частоты разделяются. Сверхсинхронная частота демпфируется, тогда как подсинхронная – нет. Рассмотрим подробнее подсинхронную частоту и как связанный с ней режим взаимодействует со вторым и первым режимами вращения.
Рис.3. Зависимость действительных и мнимых частей собственных значений
от µ при Qe=0.4358, Pe=0.9 и υt=1.0 (Без насыщения)
При увеличении µ частота подсинхронного электрического режима уменьшается и достигает частоты второго режима вращения (199 рад/с) при µ=0.88103. Из этого следует, что собственные значения второго режима вращения сдвигаются вправо и, пересекая мнимую ось, попадают в правую половину комплексной плоскости при µ=Н=0.88103. Следовательно, второй режим вращения теряет устойчивость из-за бифуркации Хопфа [2]. В данном случае частота электрического режима пересекает второй режим вращения при значениях µ<1 вследствие одной области взаимодействия.
При потере устойчивости точки равновесия из-за этого взаимодействия, при увеличении µ устойчивость не восстанавливается. Из этого можно заключить, что в данном случае существует лишь одна точка бифуркации Хопфа.
Рассмотрим влияние насыщения стали. На рисунке 4 показана зависимость действительных и мнимых частей собственных значений от µ. При увеличении µ частота подсинхронного электрического режима уменьшается и достигает частоты второго режима вращения (199 рад/с) при µ=0.842003.
Из этого следует, что собственные значения второго режима вращения сдвигаются вправо и, пересекая мнимую ось, попадают в правую половину комплексной плоскости при µ=Н=0.842003. Таким образом, второй режим вращения теряет устойчивость из-за бифуркации Хопфа.
На рисунке 5 изображена зависимость угла ротора δr от уровня компенсации µ. Определили, что точка бифуркации Хопфа ‑ µ=Н=0.842003. Сравнивая рисунки 4 и 5, видим, что при учете насыщения бифуркация Хопфа происходит при меньшем значении, а именно при 0.842003, тогда как без учета насыщения 0.881003. Другими словами, точка бифуркации Хопфа сместилась влево [2].
Рис.4. Зависимость действительных и мнимых частей собственных значений от µ при Qe=0.4358, Pe=0.9 и υt=1.0 (С учетом насыщения)
Насыщение стали приводит к уменьшению области демпфирования, дестабилизируя систему. Чтобы показать, что дестабилизация происходит из-за насыщения стали, на рисунке 5 изобразили зависимость участков бифуркации Хопфа на плоскости Ре‑ µ при Qe=0.4358 и υt=1.0.
Рис. 5. Зависимость угла ротора генератора δr от уровня компенсации µ при Qe=0.4358, Pe=0.9 и υt=1.0. Непрерывная линия соответствует устойчивому равновесию, пунктирная – неустойчивому
Все режимы, расположенные левее пунктирной кривой, демпфируются, тогда как второй режим вращения, расположенный правее пунктирной кривой, не демпфируется. Из рисунка 5 следует, что насыщение стали снижает уровень компенсации для всех значений Ре, при котором происходит подсинхронный резонанс. Чем меньше значение Ре, тем больше дестабилизирует насыщение стали систему.
Вывод
В процессе исследования показано, что в энергосистемах, использующих устройства FACTS, возможно появление на подсинхронных частотах вращения турбогенераторов нежелательных резонансных режимов – электромеханического резонанса.
Переход к электромеханическому резонансу может осуществляться посредством бифуркации Хопфа.
При учете насыщения стали турбогенераторов бифуркация Хопфа возникает при меньших уровнях компенсации, следовательно, область демпфирования уменьшается, делая энергосистему менее устойчивой.
Рецензенты:
Горелов В.П., д.т.н., профессор, заместитель зав. кафедрой «Электроэнергетические системы и электротехника» Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирская государственная академия водного транспорта», г. Новосибирск;
Сальников В.Г., д.т.н., профессор кафедры «Электроэнергетические системы и электротехника» Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирская государственная академия водного транспорта», г. Новосибирск.