Как известно, ортонормированная система Хаара была применена во многих исследованиях по теории вложения классов функций [2-3], к примеру, вложения классов 
, где 
- заданный модуль гладкости общего вида, исследования по которому начались из работ П.Л. Ульянова [8], а затем имели определенные развития (см., напр., в [1], [2-3], [5-7]).
Данные исследования тесно связаны с цифровой обработкой сигнала, а именно, с преобразованием непрерывного сигнала в дискретный, т.е. рекуррентным соотношением в некотором ортогональном базисе [4], а именно, данную ортонормированную систему функций следует преобразовать сохраняя ортогональность, затем можно принять в качестве импульса сигнала, исследуя влияние введенного параметра при разложении непрерывного сигнала в виде суммы дискретных функций.
В данной работе, система Хаара, в определенном смысле, обобщается, а именно, вводится некоторый параметр 
, доказывается ортонормированность введенной системы и и исследуется влияние данного параметра в разложении некоторой (степенной) функции в ряд по определенной системе, причем устанавливается условие на введенный параметр. Дальнейшим продолжением теоретических исследований, предполагается исследования по разложению сигналов не степенного вида, а функции из класса 
.
Работа состоит из двух разделов. В первом разделе определяется система типа Хаара и доказывается ортонормированность. Во втором разделе определяются коэффициенты разложения степенной функции по ортогональной системе функций.
1 Ортонормированная система типа Хаара
Определение. Пусть даны числа 
и целое 
. Систему функций 
, определенную в виде
назовем системой типа Хаара.
Замечание. Данная система определена по аналогии определения системы Хаара.
Справедлива
Теорема 1. Пусть даны число и целое . Тогда определенная на сегменте 
система типа вида (
, 
и 
)
(1)
является ортонормированной системой функций.
Доказательство. Покажем нормированность системы, т.е. справедливость
. (2)
Пусть 
и 
. Тогда
. (3)
Действительно, при и 
, имеем
.
Теперь, при и 
, получим
,
тем самым, (3) доказано. Дя любого докажем соотношение (2). В самом деле, для
,
будем иметь
,
т.е. соотношение (2) доказано.
Теперь покажем ортогональность системы при 
. Для этого достаточно показать справедливость
. (4)
Действительно, по определению функций, произведение функций равно нулю, а именно, справедливо
,
поэтому,
.
Отсюда, теорема для случая доказана. Рассмотрим следующий случай.
Пусть , и 
. Сначала, предположим 
. Тогда, если
,
то
. (5)
Отсюда
.
Из последнего равенства
.
Для случая
,
справедливо
. (6)
Тогда
.
Из данного равенства получим
.
Если 
. и 
, то
,
а при 
.
Поэтому, для случаев , и , а вместе с ними и для 
.
Пусть 
, 
. В этом случае, можно повторить рассуждения, приведенные выше.
Теорема 1 доказана полностью.
2 Разложение функции 
по ортонормированной системе функций
Рассмотрим некоторое простое приложение введенной ортонормированной системы функций для практического разложения функции. Имеет место
Теорема 2. Пусть даны числа , 
и целое . Для функции на промежутке 
имеет место следующее
, (7)
где,
,
.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай , . Определим коэффициенты разложения следующим образом
.
Таким образом, при ,
и
.
При , , имеем
.
Отсюда, при ,
и
.
Таким образом, коэффициенты разложения будут иметь вид
и
.
Теорема 2 доказана полностью.
Рецензенты:
Адамов А.А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Математического и компьютерного моделирования» ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, г.Астана;
Тусупов Ж.А., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Информационные системы» ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, г.Астана.
Лубенцов В.Ф., д.т.н., профессор, зам.директора по научной работе, профессор кафедры «Информационные системы, Электропривод и автоматика», Невинномысский технологический институт ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет», г.Невинномысск.