Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

SOLUTIONS OF APPROXIMATE EQUATIONS: DECOMPOSITION OF SPATIAL MOVEMENT OF MANAGED OBJECT

Garkina I.A. 1 Danilov A.M. 1 Petrenko V.O. 1
1 Penza State University of Architecture and Construction
В приложении к исследованию пространственного движения управляемого объекта приводятся приближенные методы декомпозиции характеристического полинома. Методы основаны на использовании приближенного характеристического уравнения (рассматривается как основное уравнение; с точными числами). Используется и дополнительная информация, учитывающая степень неопределенности как самого уравнения, так и его решений; сводится к заданию абсолютных погрешностей используемых приближенных чисел. Погрешности чисел, участвующих в вычислениях, учитываются только для определения погрешности корня характеристического полинома при заданной максимальной погрешности округления, допустимой в процессе вычислений. По предложенной методике осуществляется декомпозиция продольного и бокового движений управляемого объекта. Методика рекомендуется для использования при когнитивном анализе и последующем синтезе композиционных материалов как сложных систем.
In the appendix to the study of spatial motion of the controlled object are given approximate decomposition methods for the characteristic polynomial. The methods are based on the use of the approximate characteristic equation (considered as a basic equation; with the exact numbers). Used and additional information, taking into account the degree of uncertainty of both the equation and its solutions; reduces to the specification of the absolute errors of the approximation numbers. Error numbers involved in the calculations are taken into account only to determine the error of the root of the characteristic polynomial for a given maximum rounding error permitted in the process of computing. The proposed method is carried out decomposition of longitudinal and lateral movements of the controlled object. The technique is recommended for use in cognitive analysis and subsequent synthesis of composite materials such as complex systems.
the solution
the basic equation
the approximate equation
decomposition
the managed object
spatial movement
dynamic system

Прибли­жен­ное уравнение можно рассматривать как некоторое уравнение (основное) с точными числами (роль которых играют ос­новные числа соответствующих приближенных чисел) при наличии некоторой дополнительной информации о степени неопределенности самого урав­нения (его решений; сводится к заданию абсолютных погрешностей приближенных чисел).

Решается основное уравнение; участвующие в его записи чис­ла в процессе решения считаются точными. Погрешности же этих чисел учитываются только для определения погрешности корня и максимальной погрешности округления, допустимой в процессе вычислений.

Участвующие в записи уравнения приближенные числа варьируются в преде­лах их погрешностей. Тогда каждый из корней уравнения (с изме­ня­ющимися параметрами) описывает некоторое замкнутое множество. Модуль разности между переменным корнем, описывающим это множество, и корнем основного уравнения будет изменяться от нуля (когда переменное уравнение совпадет с основным) до некоторого наибольшего значения. Это наибольшее значение модуля разности даст безусловную погрешность. Абсолютная величина разности (между найденным и ближайшим к нему точным решениями основного уравнения) определяют услов­ную погрешность (зависит от вычислителя: он при желании может сделать ее как угодно малой). Сумма безусловной и условной погрешностей корня даст полную погрешность корня.

Если заданное прибли­же­ние уравнения имеет вид

то основное уравнение имеет вид

- неизвестное; - заданные приближенные числа.

В окрестности каждого однократного корня x0 определяет x как неявную функцию от . Справедливо

Если погрешности достаточно малы, то это со­от­ношение можно использовать для определения безусловной по­грешности корня x0:

В частности, для алгебраического уравнения

получаем:

Если все коэффициенты заданы с одинаковой абсолютной по­греш­ностью e, то

.

Как уже отмечалось, решение при­бли­жен­ного уравнения сводится к приближенному решению основного урав­нения. После того как ориентировочно найдена величина одного из кор­ней, вычисляется безусловная погрешность этого корня. Ориентируясь на требуемую величину условной погрешности результата, можно определить точность, с которой следует вести вычисления. Потерей точности будет отношение условной абсолютной погрешности к абсолютной погрешности округления, если вычис­ле­ния ведутся с одинаковым порядком последней значащей цифры, и от­но­шение соответствующих относительных погрешностей, если вы­чис­ления ведутся с постоянным числом значащих цифр. После определения корня для контроля вычисляется условная погрешность (до бесконечно малых второго по­рядка для однократного корня).

Отметим, определение условной погрешности корня x0 , не пре­во­с­ходящей его безусловной погрешности, может быть произведена и без вычисления самих погрешностей по формуле

В частности, для алгебраического уравнения, коэффициенты ко­то­рого заданы с одинаковой погрешностью e, справедливо

Например, для квадратного уравнения

или

(приближенное деление коэффициентов уравнения на 1,274) получим

.

Безусловные погрешности корней:

Чтобы условная погрешность не пре­вос­хо­дила безусловной, x1 следует вычислить с точ­нос­тью до тысячных, а x2 – до стотысячных;

.

Так как здесь определяются одновременно оба корня, то вы­чис­ления следует вести с таким расчетом, чтобы результат получился с пя­тью верными знаками после запятой. С этой целью добавляются дополнительные значащие цифры 00 в числе 12,362 и цифра 0 – в числе 1,2741. Потеря точности в дан­ном случае невелика (так как производятся всего четыре округ­ле­ния), так что в промежуточных операциях достаточно сохранить пять десятичных знаков:

Отметим, что вычисления, произведенные без запасных зна­ча­щих цифр, дали бы неверное значение . Это под­тверж­дает правильность сделанного ранее замечания о том, что погреш­ности заданных чисел следует учитывать лишь при определении безусловной погрешности корня. После этого при решении урав­не­ния заданные числа нужно считать точными (то есть решить основ­ное уравнение). Погрешностями участвующих в вычислениях чисел считаются только погрешности округления.

Для иллюстрации рассмотрим декомпозицию динамической системы [3; 5-7], характеристики которого приняты в соответствии с таблицей 2.1 [10] для случая М=0,9; H=12 км.

Продольное движение. Характеристический многочлен системы имеет вид

.

Заменой переменной получим многочлен

Действительных корней у многочлена нет. В соответствии с [10] при приближенных вычислениях воспользуемся таблицей значений функций

 

0

0,2

0,3

0,27

-

5,2

3,63

3,97

3,8

3,88

4,01

3,95

Таким образом, без построения графиков и с точностью до 0,002 можно принять;

Откуда

Боковое движение. Вычислив коэффициенты характеристического многочлена по таблице 2.2 [10], получим

или

.

Построив графики функций , убеждаемся, что все корни многочлена действительные (рис. 1).

Рис. 1. К декомпозиции бокового движения.

Соответственно

В уравнении

имеем:

Пользуясь таблицей значений и , находим решение уравнения , соответственно , .

Декомпозиция полинома представится в виде

С точностью до 10-2 получатся те же корни и соответственно .

Рассмотренный подход успешно использовался и при идентификации параметров кинетических процессов формирования физико-механических характеристик полидисперсных материалов [2; 4; 8; 9].

Рецензенты:

Кошев А.Н., д.т.н., профессор, профессор кафедры «Информационно-вычислительные системы», ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства», г. Пенза.

Логанина В.И., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Управление качеством и технологии строительного производства», ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства», г. Пенза.