Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

EXTREMAL CONTROL OF NON-STATIONARY NONLINEAR OBJECTS AT HORIZONTAL DRIFT STATIC CHARACTERISTICS WITH THE MIXED ENTRY OF TIME INTO THE MATHEMATICAL DESCRIPTION

Zotov A.V. 1
1 Federal Government-financed Educational Institution of Higher Professional Education «Vyatka State University»
Article is devoted to the definition of the relation of parameters in the mathematical description of the control object with extreme static characteristic and parameters of integral quality criterion (characterizing the consumption of resources) , at which the asymptotic stability of the control object at the extremum point. The problem is solved by finding a special control (with respect to the Pontryagin maximum principle) from the application of the conditions of general position for non-linear objects in the extended space coordinates. By using the qualitative theory of differential equations investigated the equilibrium state (singular points) of system of differential equations describing the control object . Recommendations are made on the choice of the integral quality criterion , at which the found special control is extreme, that is moves to control object under the influence of this special control in extremum point on the static characteristic.
non-stationary nonlinear dynamic object
conditions of general position
qualitative theory of differential equations
extremal control
special control
maximum principle

Задача оптимального (и, в частности, экстремального) управления на минимум ресурсов нелинейными динамическими объектами представляет сложную, до конца не решённую проблему. Общей методики для решения нелинейных оптимальных задач не существует ввиду их большого разнообразия. В качестве основного метода исследования оптимального упра­вления используется принцип максимума Понтрягина, учитывающий ограничения на переменные системы и поэтому применяемый для решения практических задач, и условия общности положения (УОП) для нелинейных объектов в расширенном пространстве координат [3-5].

Нестационарность нелинейных объектов с экстремальной стати­ческой характеристикой проявляется в дрейфе статической характе­ристики, который может быть вертикальным или горизонтальным и получается при различном вхождении времени в уравнения движения объекта - аддитивном, мультипликативном и смешанном. Под адди­тивным вхождением времени понимается случай, когда в уравнениях движения время суммируется с координатами объекта, под мультипликативным - когда время умножается на координаты объекта. При смешанном вхождении в уравнения движения переменная суммиру­ется и умножается на координаты объекта.

В данной статье исследуются нестационарные нелинейные объекты при горизонтальном дрейфе статической характеристики при смешанном вхождении времени в математическое описание объекта управления (ОУ).

ОУ представлен в виде структуры, образованной последовательным соединением линейного динамического звена и нелинейного динамического звена с экстремальной статической характеристикой, и эта структура может быть описана системой дифференциальных уравнений нелинейных по координа­там , но линейных по управлениям

,

где - функциональная матрица - столбец с элементами , ; - функциональная матрица - столбец с элементами , (функции , , , непрерывны и достаточное число раз непрерывно дифференцируемы по ); - скалярная функция.

Необходимо найти допустимое управление , , доставляющее минимум интегральному критерию

, (1)

где T - время движения от начальной до конечной точки заранее не задано.

Как показано в [6], для исследования нестационарных задач используется рекуррентное соотношение:

, (2)

где , , .

Из векторов , составляется матрица . Если определитель матрицы , то из выражения определяется множество особых управлений в функции фазовых координат и параметров системы.

Дифференциальные уравнения связи, характеризующие ОУ, имеют вид:

(3)

Статическая характеристика объекта (3) выражается уравнением , а экстремум статической характеристики имеет координаты .

Модель (3) в общем случае является неаналитической функцией, за исключе­нием случаев четных показателей q, например, при получается аналитическое уравнение квадратичной статической характеристики. Вместе с тем относительно неаналитической модели (3) предполагается, что в подпространствах входной ко­ординаты нелинейного звена и известны соответствующие аналитические функции, тогда

(4)

Рассмотрим подпространство . В задаче на минимум функционала (2) получаем особое управление

. (5)

Система (3) под особым управлением (5) примет вид:

(6)

Состояниями равновесия (особыми точками) системы (6) являются точки , . Применяя качественную теорию дифференциальных уравнений [1; 2], найдём в окрестности особых точек параметры , , а также корни характеристического уравнения :

1) в окрестности точки параметры , , корни характеристического уравнения , ;

2) в окрестности точки параметры , , корни характеристического уравнения , .

Сделаем некоторые выводы о состояниях равновесия системы (6). При состояние равновесия является простым. Из полученного следует, что при некоторых параметрах дрейфа и моментах времени простое состояние равновесия переходит в сложное, а именно при . Откуда находим условие .

В окрестности особой точки преобразуем к виду . Рассмотрим случай . Тогда исследовать знак корня можно исходя из выражения :

1) при числитель и знаменатель одного знака, поэтому простые состояния равновесия имеют характер седла;

2) при числитель и знаменатель на некоторых интервалах времени имеют различные знаки, в этом случае простое состояние равновесия принимает характер устойчивого узла;

3) при положительном параметре дрейфа в моменты времени , , , , простые состояния равновесия превращаются в сложные типа седло-узел, и поэтому этот параметр дрейфа и соответствующие моменты времени являются бифуркационными. Бифуркационными также являются отрицательный параметр дрейфа и момент времени , .

Рассмотрим случай . Исследуя знак корня , исходя из выражения , получим:

1) при числитель и знаменатель одного знака, поэтому простые состояния равновесия имеют характер устойчивого узла;

2) при числитель и знаменатель на некоторых интервалах времени имеют различные знаки, в этом случае простое состояние равновесия принимает характер седла;

3) случай рассмотрен выше.

При точка не является состоянием равновесия системы (6). При система (6) имеет единственное состояние равновесия – точку .

При (критерий быстродействия) определитель матрицы , из приравнивания нулю которого определяется уравнение особой траектории .

Рассмотрим особую точку . Действуя аналогично приведённому выше, преобразуем к виду

При исследовать знак корня можно исходя из выражения :

1) при числитель и знаменатель одного знака, поэтому простые состояния равновесия имеют характер устойчивого узла;

2) при числитель и знаменатель на некоторых интервалах времени имеют различные знаки, в этом случае простое состояние равновесия принимает характер седла;

3) при исследование проведено выше.

При исследуем выражение :

1) при числитель и знаменатель одного знака, поэтому простые состояния равновесия имеют характер седла;

2) при числитель и знаменатель на некоторых интервалах времени имеют различные знаки, в этом случае простое состояние равновесия принимает характер устойчивого узла;

3) при исследование проведено выше.

При точка не является состоянием равновесия системы (6). При система (6) имеет единственное состояние равновесия – точку .

Идентичные результаты получаются при анализе подпространства .

Результаты численного моделирования для параметров , , , , , , , представлены на рисунке 1. В этом случае система (6) имеет два состояния равновесия – точки - экстремум статической характеристики, .

Рисунок 1 – Фазовые траектории системы (6) и её горизонтально дрейфующая статическая характеристика

Вывод

Выбирая величину параметра в интегральном функционале (2), можно добиться асимптотической устойчивости точки экстремума статической характеристики системы (3) под действием особого управления (5). Из графиков переходных процессов видно, что под особым управле­нием траектории системы устойчивы, т.е. подтверждаются результа­ты качественного исследования, причем происходит отслеживание дрейфующих точек экстремума.

Рецензенты:

Присмотров Н.И., д.т.н., профессор кафедры ЭПиАПУ, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров.

Хорошавин В.С., д.т.н., профессор кафедры ЭПиАПУ, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров.