Задача оптимального (и, в частности, экстремального) управления на минимум ресурсов нелинейными динамическими объектами представляет сложную, до конца не решённую проблему. Общей методики для решения нелинейных оптимальных задач не существует ввиду их большого разнообразия. В качестве основного метода исследования оптимального управления используется принцип максимума Понтрягина, учитывающий ограничения на переменные системы и поэтому применяемый для решения практических задач, и условия общности положения (УОП) для нелинейных объектов в расширенном пространстве координат [3-5].
Нестационарность нелинейных объектов с экстремальной статической характеристикой проявляется в дрейфе статической характеристики, который может быть вертикальным или горизонтальным и получается при различном вхождении времени в уравнения движения объекта - аддитивном, мультипликативном и смешанном. Под аддитивным вхождением времени понимается случай, когда в уравнениях движения время суммируется с координатами объекта, под мультипликативным - когда время умножается на координаты объекта. При смешанном вхождении в уравнения движения переменная 
суммируется и умножается на координаты объекта.
В данной статье исследуются нестационарные нелинейные объекты при горизонтальном дрейфе статической характеристики при смешанном вхождении времени в математическое описание объекта управления (ОУ).
ОУ представлен в виде структуры, образованной последовательным соединением линейного динамического звена и нелинейного динамического звена с экстремальной статической характеристикой, и эта структура может быть описана системой дифференциальных уравнений нелинейных по координатам 
, но линейных по управлениям 
,
где 
- функциональная матрица - столбец с элементами 
, 
; 
- функциональная матрица - столбец с элементами 
, (функции , , , непрерывны и достаточное число раз непрерывно дифференцируемы по ); - скалярная функция.
Необходимо найти допустимое управление , 
, доставляющее минимум интегральному критерию
, (1)
где T - время движения от начальной до конечной точки заранее не задано.
Как показано в [6], для исследования нестационарных задач используется рекуррентное соотношение:
, (2)
где 
, 
, 
.
Из векторов 
, 
составляется матрица 
. Если определитель матрицы 
, то из выражения 
определяется множество особых управлений в функции фазовых координат и параметров системы.
Дифференциальные уравнения связи, характеризующие ОУ, имеют вид:
(3)
Статическая характеристика объекта (3) выражается уравнением 
, а экстремум статической характеристики имеет координаты 
.
Модель (3) в общем случае является неаналитической функцией, за исключением случаев четных показателей q, например, при 
получается аналитическое уравнение квадратичной статической характеристики. Вместе с тем относительно неаналитической модели (3) предполагается, что в подпространствах входной координаты нелинейного звена 
и 
известны соответствующие аналитические функции, тогда
(4)
Рассмотрим подпространство . В задаче на минимум функционала (2) получаем особое управление
. (5)
Система (3) под особым управлением (5) примет вид:
(6)
Состояниями равновесия (особыми точками) системы (6) являются точки 
, 
. Применяя качественную теорию дифференциальных уравнений [1; 2], найдём в окрестности особых точек параметры 
, 
, а также корни характеристического уравнения 
:
1) в окрестности точки параметры 
, 
, корни характеристического уравнения 
, 
;
2) в окрестности точки параметры 
, 
, корни характеристического уравнения , 
.
Сделаем некоторые выводы о состояниях равновесия системы (6). При 
состояние равновесия является простым. Из полученного 
следует, что при некоторых параметрах дрейфа и моментах времени простое состояние равновесия переходит в сложное, а именно при 
. Откуда находим условие 
.
В окрестности особой точки преобразуем 
к виду 
. Рассмотрим случай 
. Тогда исследовать знак корня можно исходя из выражения 
:
1) при 
числитель и знаменатель одного знака, поэтому простые состояния равновесия имеют характер седла;
2) при 
числитель и знаменатель на некоторых интервалах времени имеют различные знаки, в этом случае простое состояние равновесия принимает характер устойчивого узла;
3) при положительном параметре дрейфа 
в моменты времени 
, 
, 
, 
, простые состояния равновесия превращаются в сложные типа седло-узел, и поэтому этот параметр дрейфа и соответствующие моменты времени являются бифуркационными. Бифуркационными также являются отрицательный параметр дрейфа 
и момент времени 
, .
Рассмотрим случай 
. Исследуя знак корня , исходя из выражения 
, получим:
1) при числитель и знаменатель одного знака, поэтому простые состояния равновесия имеют характер устойчивого узла;
2) при числитель и знаменатель на некоторых интервалах времени имеют различные знаки, в этом случае простое состояние равновесия принимает характер седла;
3) случай рассмотрен выше.
При 
точка не является состоянием равновесия системы (6). При система (6) имеет единственное состояние равновесия – точку .
При 
(критерий быстродействия) определитель матрицы 
, из приравнивания нулю которого определяется уравнение особой траектории 
.
Рассмотрим особую точку . Действуя аналогично приведённому выше, преобразуем к виду
При 
исследовать знак корня можно исходя из выражения 
:
1) при 
числитель и знаменатель одного знака, поэтому простые состояния равновесия имеют характер устойчивого узла;
2) при 
числитель и знаменатель на некоторых интервалах времени имеют различные знаки, в этом случае простое состояние равновесия принимает характер седла;
3) при исследование проведено выше.
При 
исследуем выражение 
:
1) при числитель и знаменатель одного знака, поэтому простые состояния равновесия имеют характер седла;
2) при числитель и знаменатель на некоторых интервалах времени имеют различные знаки, в этом случае простое состояние равновесия принимает характер устойчивого узла;
3) при 
исследование проведено выше.
При 
точка не является состоянием равновесия системы (6). При система (6) имеет единственное состояние равновесия – точку .
Идентичные результаты получаются при анализе подпространства .
Результаты численного моделирования для параметров 
, 
, 
, 
, 
, , 
, 
представлены на рисунке 1. В этом случае система (6) имеет два состояния равновесия – точки 
- экстремум статической характеристики, 
.
Рисунок 1 – Фазовые траектории системы (6) и её горизонтально дрейфующая статическая характеристика
Вывод
Выбирая величину параметра 
в интегральном функционале (2), можно добиться асимптотической устойчивости точки экстремума статической характеристики системы (3) под действием особого управления (5). Из графиков переходных процессов видно, что под особым управлением траектории системы устойчивы, т.е. подтверждаются результаты качественного исследования, причем происходит отслеживание дрейфующих точек экстремума.
Рецензенты:
Присмотров Н.И., д.т.н., профессор кафедры ЭПиАПУ, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров.
Хорошавин В.С., д.т.н., профессор кафедры ЭПиАПУ, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров.