Введение
Работа посвящена исследованию смешанной задачи для гиперболического уравнения с оператором Бесселя с нелокальным интегральным условием второго рода.
Смешанные задачи для гиперболических уравнений с интегральными нелокальными условиями рассматривались в работах Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили [3], Л.С. Пулькиной [6; 7], А. Бузиани [9] и других авторов. Классические методы не всегда применимы к исследованию нелокальных задач с интегральными условиями, поэтому вопрос разработки методов исследования таких задач остается актуальным и в настоящее время.
Результаты настоящей работы являются продолжением исследований смешанных задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений [4; 5; 7].
Постановка смешанной задачи с интегральным условием второго рода
Пусть 
– прямоугольная область в координатной плоскости Oxt, 
.
В области D рассмотрим В-гиперболическое уравнение вида
, (1)
где 
– оператор Бесселя, 
– заданное действительное число.
Требуется найти функцию 
, удовлетворяющую условиям:
, (2)
, 
, (3)
, 
, (4)
, 
, 
, (5)
, 
, (6)
где 
и 
– заданные, достаточно гладкие функции.
Единственность решения смешанной задачи (2)-(6)
Теорема 1. Смешанная задача (2)-(6) с интегральным условием (6) не может иметь более одного решения.
Доказательство. Докажем теорему методом от противного. Пусть 
и 
- два предполагаемых решения задачи (2)-(6). Тогда их разность 
удовлетворяет условиям (2)-(4) задачи (2)-(6), однородным начальным условиям
, 
(
)
и однородному интегральному условию
. (
)
Нетрудно проверить, что имеет место тождество
.
Полагая в этом тождестве 
, с учетом того, что 
является решением уравнения (1), получим
.
Интегрируя последнее тождество по x на отрезке 
, имеем
, (7)
где
. (8)
Умножая уравнение (1) на 
и интегрируя его по x на отрезке , получим:
. (9)
Заменим в условии () 
на его значение из (9), в результате чего будем иметь
. (10)
Полагая здесь 
, получим уравнение 
, общее решение которого имеет вид 
, а значит 
.
В силу начальных условий (): 
и 
, и, следовательно, 
, поэтому согласно () 
, а, значит, из (8) и (9) получаем
.
Таким образом:
. (11)
Полагая в (11) 
, с учетом начальных условий (), получаем 
, а значит
,
откуда следует: 
и 
, т.е., 
. Из этого равенства и начальных условий () следует, что 
. Таким образом, получили, что 
и 
. Теорема доказана.
Построение частных решений уравнения (1) в прямоугольной области
Сначала построим систему частных решений уравнения (1), удовлетворяющих условиям
, (12)
, , (13)
, , (14)
, . (15)
Частное решение уравнения (1) ищем в виде
, (16)
где X и T – пока неопределенные функции. Их найдем из требования, чтобы функция (16) удовлетворяла условиям (12)-(15). С этой целью подставим ее в уравнение (1) и граничные условия (14) и (15).
, (17)
, (18)
. (19)
Разделяя переменные в уравнении (17) и сокращая на T равенства (18) и (19), получим обыкновенные дифференциальные уравнения и условия относительно неопределенных функций
, (20)
, (21)
, (22)
. (23)
Найдем общее решение уравнения (21), т.е. уравнения 
. Умножим это уравнение на 
и произведем замену переменных по формулам 
, 
. В результате уравнение приводится к уравнению Бесселя
. (24)
Пусть 
– нецелое число. Тогда общее решение этого уравнения имеет вид [2]
, (25)
где 
– функции Бесселя первого рода.
Возвращаясь к старым переменным в (25), имеем
, (26)
где 
– произвольные постоянные. Их найдем из требования, чтобы общее решение (26) удовлетворяло условиям (22) и (23). С этой целью подставим его в эти условия.
В силу известной формулы дифференцирования функции Бесселя [8]
.
Также в силу известной при 
асимптотической формулы функции Бесселя [1] при 
: 
, а при 
: 
.
Полагая в общем решении (26) , получим 
. Здесь также положим 
, так как собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя. Таким образом, решение уравнения (21), удовлетворяющее условию (22), имеет вид
. (27)
Подставим (27) в условие (23): 
, откуда 
.
В результате подстановки имеем
. (28)
Известно [2], что
. (29)
Вычисляя интеграл в (28) с помощью формул (29) и Ньютона-Лейбница, получим: 
. Отсюда и из (28) имеем: 
или
. (30)
Пусть 
– положительные корни уравнения (30), расположенные в порядке возрастания. Тогда числа определяют собственные значения спектральной задачи. Полагая в (27) 
, получим соответствующие собственные функции
(31)
Докажем, что система функций (31) ортогональна в промежутке [0,1] с весом . Функция (27) является решением уравнения (21), т.е.
. (32)
Умножая равенство (32) на , получим
или
. (33)
Полагая в этом равенстве 
и 
, имеем
,
.
Умножим первое из этих равенств на 
, а второе на 
, после чего вычтем первое равенство из второго. В результате получим после несложных преобразований
(34)
.
Вычисляя в равенстве (34) внутренние производные, получим
.
Интегрируя это равенство по x на отрезке [0,1], получаем
. (35)
Таким образом, доказано, что система функций 
ортогональна с весом x в промежутке [0,1]. Отсюда следует, что система функций (31) ортогональна с весом в промежутке [0,1].
Полагая в уравнении (20) 
, получим 
Общее решение этого уравнения имеет вид
Таким образом, система частных решений уравнения (1), удовлетворяющих условиям (12)-(15), определяется по формуле
(36)
а окончательное решение поставленной задачи имеет вид
(37)
где коэффициенты разложения определяются по формулам
Рецензенты:
Игнатьев Ю.Г., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой высшей математики и математического моделирования Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань.
Сушков С.В., д.ф..-м.н., профессор, заведующий кафедрой теории относительности и гравитации Института физики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г.Казань.