Введение. Известно [2], [3], что экономика описывается динамической моделью фон Неймана при выполнении следующих условий: постоянство масштаба; возможность воспроизводства в любых количествах первичного фактора производства; соответствие уровня заработной платы уровню прожиточного минимума; инвестирование всего полученного дохода в пределах рассматриваемой экономики и т.д. Особый интерес здесь вызывают требования к производственному процессу. Целью процесса является преобразование уровней запасов некоторых продуктов, имеющихся к началу периода, в некоторые другие уровни запасов к концу этого периода. Для достижения этой цели основные процессы экономики можно комбинировать произвольным образом, добиваясь тем самым повышения эффективности процессов [4]. Это свойство в экономической теории обычно принимается без ограничений, хотя понятно, что в действительности оно должно часто нарушаться. Так происходит и в силу причин технологического характера (например, развитие двух влияющих друг на друга отраслей), и в силу политического устройства экономики (например, решение управляющего органа о приоритетном развитии какой-нибудь отрасли), и в силу, наконец, причин экономического характера (например, влияние отраслей друг на друга в силу действия различных конкурентных сил). Поэтому в исследованиях подобного рода естественно дополнительно накладывать или допускать условия, связанные с ограничениями пропорций основных отраслей экономики. Исследованию сформулированной проблемы и посвящена данная работа. При этом требования к пропорциям между процессами накладываются в виде принадлежности интенсивностей отраслей некоторому конусу. В работе устанавливается, что если определенным образом модифицировать понятие равновесия, то можно доказать, что оно существует и в таких условиях и, кроме того, при этом сохраняются известные свойства характеристик рассматриваемых экономик.
Модель экономики. Напомним сначала основные предположения, используемые в динамических моделях неймановского типа. Рассмотрим экономику (производство), описываемую парой 
, где 
- пространство товаров, 
- множество производственных процессов. Пусть имеющиеся в производстве 
типов продуктов-затрат с помощью 
технологических процессов превращаются в типов продуктов-выпусков. Тогда представляет собой неотрицательный ортант 
-мерного векторного пространства 
. Множество состоит из линейных неотрицательных комбинаций базисных процессов 
, функционирование которых описывается парой векторов из множества : 
. Это значит, что процесс 
при единичной интенсивности своей работы затрачивает набор продуктов 
и производит набор товаров 
, где 
- количества продукта с номером 
,
. По своему смыслу векторы 
.
Таким образом, 
, где линейные операторы 
и 
задаются матрицами затрат 
и выпусков 
, которые определяются равенствами
, (1)
причем 
. Компоненты 
векторов 
называют интенсивностями, с которыми базисные процессы участвуют в производственном процессе 
. Будем считать, что вектор интенсивностей принадлежит некоторому замкнутому выпуклому конусу 
. Пусть также внутренность конуса 
не является пустым множеством.
Будем говорить (ср. [3]), что рассматриваемая модификация модели фон Неймана находится в состоянии динамического равновесия, описываемого параметрами 
, где 
- положительные числа, 
, если выполнены следующие две группы условий.
. 
. Существует по крайней мере одно 
, с которым выполняется неравенство 
.
Здесь операторы 
определены в (1).
Содержательный смысл параметров 
заключается в следующем: в состоянии динамического равновесия производство всех продуктов остается в неизменной пропорции, хотя общий объем растет в геометрической прогрессии со знаменателем 
. Цены же на продукты остаются также в неизменной пропорции, но они должны падать также в геометрической прогрессии со знаменателем 
. Пропорции, в которых производятся продукты, определяются вектором , а пропорции цен – вектором цен 
. Отметим здесь также то, что по сравнению с обычной моделью фон Неймана правило нулевого дохода 
может здесь не выполнятся, требуется (условие 2) его выполнение не глобально в каждой отрасли, а по крайней мере в одной.
Известно, что фон Нейман [6] доказал существование динамического равновесия при определенных условиях на матрицы . Затем эти условия модифицировались различными авторами (см. [3]). С экономической точки зрения самыми подходящими требованиями здесь являются [5] условие неотрицательности матриц и и отсутствие в этих матрицах нулевых строк и нулевых столбцов соответственно. В настоящей работе также предполагается выполнение названных свойств у матриц и .
Итак, требования к рассматриваемой в данной статье экономике сформулированы. Докажем при таких условиях существование равновесия.
Существование равновесия. Изучим подробнее строение технологического множества . Прежде всего заметим, что множества , 
являются выпуклыми конусами в силу линейности операторов .
Для того, чтобы сформулировать следующие свойства множества , приведем модификации некоторых известных понятий [3]. Технологическим темпом роста модели экономики на луче 
, называется функция 
. Число 
называется технологическим темпом роста модели Неймана. Процесс 
является оптимальным, если 
.
Говорят [3], что продукт 
перепроизводится процессом 
, если 
.
Лемма 1. Если какие-либо продукты перепроизводятся некоторыми оптимальными процессами, то существует оптимальный процесс, производящий сразу все такие продукты.
Доказательство. Отметим, что множество оптимальных процессов представляет собой выпуклое множество. В самом деле, если 
то есть 
то в силу выпуклости множеств 
и 
получим, что 
, 
и 
. Значит, 
откуда 
по определению 
.
Возьмем два оптимальных процесса 
, перепроизводящих продукты 
и 
. В силу выпуклости множества оптимальных процессов середина 
отрезка 
также является оптимальным процессом. Проверка того, что процесс перепроизводит продукты и , тривиальна. Итак, если два оптимальных процесса перепроизводят два продукта, утверждение леммы справедливо. В случае большего числа продуктов вышеприведенные рассуждения нужно повторять соответствующее число раз, последовательно объединяя оптимальные процессы. Лемма 1 доказана.
Пусть 
- проекция пространства на пространство 
. Определим проекцию 
равенством 
.
Лемма 2. Проекция множества является замкнутым выпуклым конусом.
Доказательство. Утверждение следует из линейности операторов и того, что множество есть конус.
Лемма 3. В приведенных условиях модели технологический темп роста удовлетворяет условиям 
и реализуется на некотором процессе 
.
Доказательство. Заметим сначала, что если существует, то оно больше нуля. В самом деле, воспользуемся не пустотой внутренности множества . Возьмем положительный вектор 
. Для процесса 
в силу положительности сумм строк матриц 
имеем 
; отсюда вытекает 
.
Рассмотрим теперь функцию 
на неотрицательном ортанте . Она определена в каждой точке 
, так как в силу свойств оператора в таких точках 
. Также как обычно [1], можно показать, что эта функция ограничена и полунепрерывна сверху на 
. Отсюда следуют те же свойства для функции , рассматриваемой уже только на множестве . Значит, существует процесс 
такой, что 
. Лемма 3 доказана.
Из леммы 3 следует существование (по крайней мере одного) характеристического процесса 
для множества . Пусть
, (2)
где 
Определим проекцию пространства 
на пространство 
: 
. В силу лемм 2,3 существует технологический темп роста рассматриваемой модели экономики, определяемый множеством , который будем обозначать 
.
Лемма 4. Имеет место равенство 
. Существует такой процесс , что 
, причем на множестве у процесса 
нет перепроизводства, то есть выполняется соотношение 
.
Доказательство леммы получается дословным повторением аналогичного утверждения из [1].
Нужные свойства технологического множества получены. Докажем существование динамического равновесия. Имеет место
Теорема 1. Пусть 
- технологический темп роста модели. Тогда существует решение системы условий 
, обладающее следующими свойствами:
, (3)
, (4)
, (5)
. (6)
Доказательство. По условиям теоремы в силу леммы 3 существует технологический темп модели число . Рассмотрим множество 
. Оно, очевидно, является замкнутым выпуклым конусом. Из леммы 4 следует, что множество 
может иметь с неотрицательным ортантом 
самое большее одну общую точку 
. Итак, к множеству , как к выпуклому и непересекающемуся с множеству, можно применить теорему отделимости [3]. По этой теореме получим, что в пространстве 
существует вектор 
, такой, что 
для всех векторов 
из множества . Обозначим через 
-мерный вектор, который образуется дополнением вектора нулями до размерности . Пусть также 
векторы, введенные равенствами (2) и образующие характеристический процесс, а 
, - соответствующий им вектор интенсивностей. Тогда
, 
,
где 
произвольны. Отсюда следуют следующие соотношения:
Положим 
. Равенство (6) теперь вытекает из определения , а соотношение
позволяет говорить о справедливости условий (4), (5). Так как при 
,
то в силу 
для всех
не могут выполняться неравенства 
. Теорема доказана.
Отметим, что равновесие, существование которого доказано в теореме 1, удовлетворяет соотношению 
. В таких случаях [1] равновесие называют невырожденным. Кроме того, выполнение равенства 
говорит о существовании стационарных траекторий интенсивностей и цен: 
.
Выводы. Модель экономики неймановского типа, описанная выше, является естественным обобщением модели Неймана: обобщение заключается в том, что допускаются ограничения на интенсивности базовых производственных процессов. Последнее является важным ослаблением традиционно используемых в таких моделях требований к технологическим множествам. С точки зрения экономики новые условия позволяют допускать такие, например, эффекты, как наличие управляющего органа в экономике, который ограничивая интенсивности базовых процессов, добивается поставленных целей. Накладывая на матрицы выпуска и затрат фактически те же требования, что и ранее в модели Неймана, при определенных свойствах множества интенсивностей удалось показать, что динамическое невырожденное равновесие в такой модели существует, существуют также стационарные траектории интенсивностей и цен. Необходимо также отметить, что при достижении выше указанного равновесия может нарушаться правило нулевого дохода. Если это происходит, то не во всех сразу отраслях, а только лишь в некоторых.
Рецензенты:
Роговой А.А., д. ф.-м.н., профессор, зам директора Института механики сплошных сред уральского отделения Российской академии наук, г.Пермь.
Перский Ю.К., д.э.н., профессор, профессор кафедры «Менеджмент и маркетинг» Пермского национального исследовательского политехнического университета, г.Пермь.