Введение. Известно [2], [3], что экономика описывается динамической моделью фон Неймана при выполнении следующих условий: постоянство масштаба; возможность воспроизводства в любых количествах первичного фактора производства; соответствие уровня заработной платы уровню прожиточного минимума; инвестирование всего полученного дохода в пределах рассматриваемой экономики и т.д. Особый интерес здесь вызывают требования к производственному процессу. Целью процесса является преобразование уровней запасов некоторых продуктов, имеющихся к началу периода, в некоторые другие уровни запасов к концу этого периода. Для достижения этой цели основные процессы экономики можно комбинировать произвольным образом, добиваясь тем самым повышения эффективности процессов [4]. Это свойство в экономической теории обычно принимается без ограничений, хотя понятно, что в действительности оно должно часто нарушаться. Так происходит и в силу причин технологического характера (например, развитие двух влияющих друг на друга отраслей), и в силу политического устройства экономики (например, решение управляющего органа о приоритетном развитии какой-нибудь отрасли), и в силу, наконец, причин экономического характера (например, влияние отраслей друг на друга в силу действия различных конкурентных сил). Поэтому в исследованиях подобного рода естественно дополнительно накладывать или допускать условия, связанные с ограничениями пропорций основных отраслей экономики. Исследованию сформулированной проблемы и посвящена данная работа. При этом требования к пропорциям между процессами накладываются в виде принадлежности интенсивностей отраслей некоторому конусу. В работе устанавливается, что если определенным образом модифицировать понятие равновесия, то можно доказать, что оно существует и в таких условиях и, кроме того, при этом сохраняются известные свойства характеристик рассматриваемых экономик.
Модель экономики. Напомним сначала основные предположения, используемые в динамических моделях неймановского типа. Рассмотрим экономику (производство), описываемую парой , где
- пространство товаров,
- множество производственных процессов. Пусть имеющиеся в производстве
типов продуктов-затрат с помощью
технологических процессов превращаются в
типов продуктов-выпусков. Тогда
представляет собой неотрицательный ортант
-мерного векторного пространства
. Множество
состоит из линейных неотрицательных комбинаций
базисных процессов
, функционирование которых описывается парой векторов из множества
:
. Это значит, что процесс
при единичной интенсивности своей работы затрачивает набор продуктов
и производит набор товаров
, где
- количества продукта с номером
,
. По своему смыслу векторы
.
Таким образом, , где линейные операторы
и
задаются матрицами затрат
и выпусков
, которые определяются равенствами
, (1)
причем . Компоненты
векторов
называют интенсивностями, с которыми базисные процессы
участвуют в производственном процессе
. Будем считать, что вектор интенсивностей
принадлежит некоторому замкнутому выпуклому конусу
. Пусть также внутренность конуса
не является пустым множеством.
Будем говорить (ср. [3]), что рассматриваемая модификация модели фон Неймана находится в состоянии динамического равновесия, описываемого параметрами , где
- положительные числа,
, если выполнены следующие две группы условий.
.
. Существует по крайней мере одно
, с которым выполняется неравенство
.
Здесь операторы определены в (1).
Содержательный смысл параметров заключается в следующем: в состоянии динамического равновесия производство всех продуктов остается в неизменной пропорции, хотя общий объем растет в геометрической прогрессии со знаменателем
. Цены же на продукты остаются также в неизменной пропорции, но они должны падать также в геометрической прогрессии со знаменателем
. Пропорции, в которых производятся продукты, определяются вектором
, а пропорции цен – вектором цен
. Отметим здесь также то, что по сравнению с обычной моделью фон Неймана правило нулевого дохода
может здесь не выполнятся, требуется (условие 2) его выполнение не глобально в каждой отрасли, а по крайней мере в одной.
Известно, что фон Нейман [6] доказал существование динамического равновесия при определенных условиях на матрицы . Затем эти условия модифицировались различными авторами (см. [3]). С экономической точки зрения самыми подходящими требованиями здесь являются [5] условие неотрицательности матриц
и
и отсутствие в этих матрицах нулевых строк и нулевых столбцов соответственно. В настоящей работе также предполагается выполнение названных свойств у матриц
и
.
Итак, требования к рассматриваемой в данной статье экономике сформулированы. Докажем при таких условиях существование равновесия.
Существование равновесия. Изучим подробнее строение технологического множества . Прежде всего заметим, что множества
,
являются выпуклыми конусами в силу линейности операторов
.
Для того, чтобы сформулировать следующие свойства множества , приведем модификации некоторых известных понятий [3]. Технологическим темпом роста модели экономики на луче
, называется функция
. Число
называется технологическим темпом роста модели Неймана. Процесс
является оптимальным, если
.
Говорят [3], что продукт перепроизводится процессом
, если
.
Лемма 1. Если какие-либо продукты перепроизводятся некоторыми оптимальными процессами, то существует оптимальный процесс, производящий сразу все такие продукты.
Доказательство. Отметим, что множество оптимальных процессов представляет собой выпуклое множество. В самом деле, если
то есть
то в силу выпуклости множеств
и
получим, что
,
и
. Значит,
откуда
по определению
.
Возьмем два оптимальных процесса , перепроизводящих продукты
и
. В силу выпуклости множества оптимальных процессов середина
отрезка
также является оптимальным процессом. Проверка того, что процесс
перепроизводит продукты
и
, тривиальна. Итак, если два оптимальных процесса перепроизводят два продукта, утверждение леммы справедливо. В случае большего числа продуктов вышеприведенные рассуждения нужно повторять соответствующее число раз, последовательно объединяя оптимальные процессы. Лемма 1 доказана.
Пусть - проекция пространства
на пространство
. Определим проекцию
равенством
.
Лемма 2. Проекция множества
является замкнутым выпуклым конусом.
Доказательство. Утверждение следует из линейности операторов и того, что множество
есть конус.
Лемма 3. В приведенных условиях модели технологический темп роста удовлетворяет условиям
и реализуется на некотором процессе
.
Доказательство. Заметим сначала, что если существует, то оно больше нуля. В самом деле, воспользуемся не пустотой внутренности множества
. Возьмем положительный вектор
. Для процесса
в силу положительности сумм строк матриц
имеем
; отсюда вытекает
.
Рассмотрим теперь функцию на неотрицательном ортанте
. Она определена в каждой точке
, так как в силу свойств оператора
в таких точках
. Также как обычно [1], можно показать, что эта функция ограничена и полунепрерывна сверху на
. Отсюда следуют те же свойства для функции
, рассматриваемой уже только на множестве
. Значит, существует процесс
такой, что
. Лемма 3 доказана.
Из леммы 3 следует существование (по крайней мере одного) характеристического процесса для множества
. Пусть
, (2)
где
Определим проекцию пространства
на пространство
:
. В силу лемм 2,3 существует технологический темп роста рассматриваемой модели экономики, определяемый множеством
, который будем обозначать
.
Лемма 4. Имеет место равенство . Существует такой процесс
, что
, причем на множестве
у процесса
нет перепроизводства, то есть выполняется соотношение
.
Доказательство леммы получается дословным повторением аналогичного утверждения из [1].
Нужные свойства технологического множества получены. Докажем существование динамического равновесия. Имеет место
Теорема 1. Пусть - технологический темп роста модели. Тогда существует решение системы условий
, обладающее следующими свойствами:
, (3)
, (4)
, (5)
. (6)
Доказательство. По условиям теоремы в силу леммы 3 существует технологический темп модели число
. Рассмотрим множество
. Оно, очевидно, является замкнутым выпуклым конусом. Из леммы 4 следует, что множество
может иметь с неотрицательным ортантом
самое большее одну общую точку
. Итак, к множеству
, как к выпуклому и непересекающемуся с
множеству, можно применить теорему отделимости [3]. По этой теореме получим, что в пространстве
существует вектор
, такой, что
для всех векторов
из множества
. Обозначим через
-мерный вектор, который образуется дополнением вектора
нулями до размерности
. Пусть также
векторы, введенные равенствами (2) и образующие характеристический процесс, а
, - соответствующий им вектор интенсивностей. Тогда
,
,
где произвольны. Отсюда следуют следующие соотношения:
Положим . Равенство (6) теперь вытекает из определения
, а соотношение
позволяет говорить о справедливости условий (4), (5). Так как при
,
то в силу для всех
не могут выполняться неравенства
. Теорема доказана.
Отметим, что равновесие, существование которого доказано в теореме 1, удовлетворяет соотношению . В таких случаях [1] равновесие называют невырожденным. Кроме того, выполнение равенства
говорит о существовании стационарных траекторий интенсивностей и цен:
.
Выводы. Модель экономики неймановского типа, описанная выше, является естественным обобщением модели Неймана: обобщение заключается в том, что допускаются ограничения на интенсивности базовых производственных процессов. Последнее является важным ослаблением традиционно используемых в таких моделях требований к технологическим множествам. С точки зрения экономики новые условия позволяют допускать такие, например, эффекты, как наличие управляющего органа в экономике, который ограничивая интенсивности базовых процессов, добивается поставленных целей. Накладывая на матрицы выпуска и затрат фактически те же требования, что и ранее в модели Неймана, при определенных свойствах множества интенсивностей удалось показать, что динамическое невырожденное равновесие в такой модели существует, существуют также стационарные траектории интенсивностей и цен. Необходимо также отметить, что при достижении выше указанного равновесия может нарушаться правило нулевого дохода. Если это происходит, то не во всех сразу отраслях, а только лишь в некоторых.
Рецензенты:
Роговой А.А., д. ф.-м.н., профессор, зам директора Института механики сплошных сред уральского отделения Российской академии наук, г.Пермь.
Перский Ю.К., д.э.н., профессор, профессор кафедры «Менеджмент и маркетинг» Пермского национального исследовательского политехнического университета, г.Пермь.