Scientific journal

Modern problems of science and education

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

Введение

На работоспособность технических средств и самочувствие человека оказывает влияние ряд факторов природного происхождения. Среди них особое внимание уделяется магнитному полю Земли (МПЗ). В периоды возмущения геомагнитной активности (ГМА) выявлено негативное влияния МПЗ как на самочувствие человека, так и на работоспособность технических средств [12]. У метеозависимых людей наблюдаются нарушения функционирования сердечно-сосудистой и нервной систем, повышается риск инсультов [6], наблюдаются сбои в работе систем навигации космических летательных объектов, трансформаторов, систем радиосвязи [8]. Современные методы прогноза геомагнитных возмущений, основанные на оптических наблюдениях за активностью Солнца и анализе процессов на его поверхности, обладают сложностью исполнения и невысокой достоверностью [5]. Поэтому проблема мониторинга и прогнозирования ГМА является в настоящее время весьма актуальной.

Цель работы: изучение и анализ модели АРПСС для прогнозирования геомагнитных возмущений.

Материал и методы исследования. Статистическая обработка материала и вычисления проводились с использованием пакета прикладных программ MSExcel 2003, statistica 6.0[12].

В качестве исходных данных использовались значения временных рядов вектора напряженности (ВН) геомагнитного поля(ГМП)H(t) с интервалом t=1 мин., за период 14 лет, измеренные на обсерватории ADDISABAB (AAE, Эфиопия), а также индексы геомагнитной активности K на каждый день из этого периода. С целью выявления возможности прогнозирования спокойного и возмущенного ГМП на первом этапе были выделены 10 рядов, не содержащих возмущений (невозмущенный ряд) H(НР)(t), т.е. приК-индекс 4, и 10 рядов, содержащих магнитную бурю (возмущенный ряд)H(ВР)(t), т.е. при К-индекс>4.

Результаты и обсуждение

В ходе данной работы проводились исследования временных рядов значений ВНГМП для получения модели прогноза с использованием математического аппарата авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС). Данный метод чрезвычайно популярен во многих приложениях, и практика подтверждает его мощность и гибкость [11], он является наиболее распространенным общим методом стохастического моделирования во многих областях научных исследований и используется в тех случаях, когда нет отчетливо выраженных регулярных составляющих, а отдельные наблюдения содержат значительную ошибку.Метод АРПСС основан на использовании двух процессов [3]:

1) процесс авторегрессии, описывающий последовательную зависимость элементов временного ряда следующим уравнением [2]:

,

где - текущее значение временного ряда, - константа (свободный член), , , ,... (-1<<1)- параметры авторегрессии, - предшествующее значение временного ряда, - случайная компонента. Данное уравнение показывает, что каждое наблюдение есть сумма случайной компоненты и линейной комбинации предыдущих наблюдений;

2) процесс скользящего среднего, описывающий суммарное воздействие предыдущих ошибок на каждый элемент ряда следующим уравнением:

,

где - свободный член скользящего среднего, , , , ... (-1<<1) - параметры скользящего среднего, - случайная компонента. В общем виде модель записывается как АРПСС (p, d, q), где p – параметр авторегрессии, d – порядок разности, q – параметр скользящего среднего.Мультипликативная сезонная АРПСС представляет естественное развитие и обобщение обычной модели АРПСС на ряды, в которых имеется периодическая сезонная компонента. В дополнение к несезонным параметрам в модель вводятся сезонные параметры для определенного лага (устанавливаемого на этапе идентификации порядка модели). Аналогично параметрам простой модели АРПСС эти параметры называются: сезонная авторегрессия (Ps), сезонная разность (Ds) и сезонное скользящее среднее (Qs). Таким образом, полная сезонная АРПСС может быть записана как АРПСС (p,d,q)(Ps,Ds,Qs) [11]. Для построения модели использовался алгоритм, приведенный на рисунке 1, основанный на анализе автокорреляционной и частной автокорреляционной функций по правилам, приведенным ниже [2].

Рисунок 1 – Алгоритм получения модели АРПСС

1. Один параметр (p): АКФ - экспоненциально затухает; ЧАКФ - имеет выброс для лага 1, для других значений задержек корреляции нет.
2. Два параметра авторегрессии (p): АКФ имеет форму затухающей синусоиды или экспоненциально убывает; ЧАКФ имеет выброс на сдвигах 1 и 2, нет корреляций на других лагах.
3. Один параметр скользящего среднего (q): АКФ имеет выброс на лаге 1, нет корреляций на других лагах; ЧАКФ экспоненциально убывает либо монотонно, либо меняя знак.
4. Два параметра скользящего среднего (q): АКФ имеет выбросы на лагах 1 и 2, нет корреляций на других лагах. ЧАКФ имеет форму синусоиды или экспоненциально затухает.
5. Один параметр авторегрессии (p) и один параметр скользящего среднего (q): АКФ экспоненциально убывает с лага 1; ЧАКФ - экспоненциально убывает с лага 1.

Исходные рядыH(НР)(t) и H(ВР)(t) подвергались математической обработке, в результате которой было удалено среднеезначение рядаC и тренд по формуле [9]:

- - ,

где - среднее арифметическое ряда , n – количество измерений, - линейный тренд.

Для получения адекватной модели АРПСС необходимо, чтобы временной ряд имел стационарный характер [2], т.е. имел постоянные по времени среднееm = const, дисперсию σ2 = constи автокорреляции є (µ, σ2).

Проверить ряд на свойство стационарности можно, построив автокорреляционную (АКФ) и частную автокорреляционную функции (ЧАКФ) [3].Критерий нестационарности выражается в отсутствии тенденции к затуханию у выборочной автокорреляционной функции ряда H’(t) [11].Если это условие не выполняется, необходимо выполнить преобразование ряда к стационарному виду. Этого можно добиться с помощью операции нахождения разности ряда с лагом по формуле:

--,

где - значение ряда в данный момент времени, - - значение ряда в момент времени (t-), n – количество операций взятия разности.

При достижении стационарности преобразованного ряда получаем параметр модели d=n [3]. На рисунке 2 представлены графики значений H’(НР)(t) и H’(ВР)(t) и их АКФ и ЧАКФ. На рисунках 2 в-е по вертикали отложены значения лага , а по горизонтали коэффициенты корреляции K.

а)  б)

в)  г)

д)  е)

Рисунок 2–Временные ряды H’(НР)(t) (а) иH’(ВР)(t) (б) и их АКФ (в, д) и ЧАКФ (г,е) исходных значений

Из графиков видно, что анализируемые ряды имеют сильные корреляции (коэффициенты корреляции K на первых 15 лагах близки к 1), поэтому не являются стационарными [2].Применим разностный оператор сначала для лага 1=1, а затем для лага 2=1440 (так как априори известна периодическая составляющая солнечно-суточных вариаций ВН ГМП с периодом 24 часа), а взяв разность со значением лага, равным периоду сезонной компоненты временного ряда, можно исключить периодичную составляющую [11]. На рисунке 3 показаны АКФ и ЧАКФ полученных после применения разностного оператора с лагами 1=1 и 2=1440 рядов 2H’(НР)(t) и 2H’(ВР)(t).

а) б)

в) г)

Рисунок 3 – АКФ и ЧАКФ полученных после взятия разностей с лагами 1=1 и

2=1440 рядов 2H’(НР)(t) и 2H’(ВР)(t)

Из графиков АКФи ЧАКФ видно, что ряды 2H’(НР)(t) и 2H’(ВР)(t) имеют стационарный характер – нет периодичностей и ярко выраженных корреляционных пиков [4], что в соответствии с правилами [3] позволяет определить параметры моделикак (0,1,1)(1,1,0) с сезонным сдвигом 1440.О качестве применяемой модели можно судить лишь по совокупности сопоставлений прогнозных значений с фактическими. Простой мерой качества прогнозов является оправдываемость прогноза μ, что определяется формулой[9]:

где p - количество подтвержденных фактическими данными прогнозов; q – количество неподтвержденных фактическими данными прогнозов. В таблице 1 приведены результаты оценки качества прогноза для каждого из десяти невозмущенных рядов Hn’(НР)(t) и каждого из десяти рядов Hn’(ВР)(t) для горизонта прогнозирования 1, 2 и 3 часа, где n– порядковый номер ряда.

Таблица 1 –Результаты оценивания параметров модели (0,1,1)(1,1,0)

Из таблицы видно, что <0,4 для рядов H’(ВР)(t) и > 0,8 для рядов H’(НР)(t). Это позволяет сделать вывод о том, что идентифицированная модель АРПСС (0,1,1)(1,1,0) не позволяет строить прогноз геомагнитных возмущений.

На рисунке 4 представлены результаты прогноза временных рядов H1’(НР)(t) (а) иH1’(ВР)(t)(б) значений ВН ГМП с помощью модели АРПСС (0,1,1)(1,1,0).

а)  б)

Рисунок 4 – Результаты прогноза с помощью АРПСС (0,1,1)(1,1,0) рядов H’(НР)(t) (а) иH’(ВР)(t) (б)

Из рисунка 4 видно, что модель адекватно строит прогноз для невозмущенного ряда H’(НР)(t), но не прогнозирует магнитную бурю в ряде H’(ВР)(t). Для проверки адекватности проанализируем временные ряды остатков HО’(НР)(t) и HО’(ВР)(t), АКФ которых приведены на рисунке 5.

Рисунок 5–АКФ остатков для ряда H’(НР)(t) (а) и для ряда H’(ВР)(t) (б)

Из рисунка 5 видно, что остатки для H’(НР)(t) практически не имеют корреляций в то время, как остатки для H’(ВР)(t) имеют достаточно сильные корреляции.

Полученная модель АРПСС, не имеющая возможности прогнозирования возмущений ГМП (прогноз выходит за границы доверительного интервала), и анализ АКФ остатков позволяют сделать вывод о необходимости разработки нового более точного и эффективного метода прогнозагеомагнитных возмущений.

Таким образом, исследована возможность применения мультипликативной модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, были выделены временные ряды, содержащие геомагнитную бурю, и невозмущенные значения вектора напряженности ГМП, из исходных рядов было удалено среднее значение Cи линейный тренд. С помощью применения разностного оператора ряды значений ВН ГМП приведены к стационарному виду и получена модель АРПСС для прогнозирования десяти рядов H’(НР)(t) и десяти рядовH’(ВР)(t); оценены параметры модели и построены прогнозы для каждого из них. Была проведена оценка адекватности прогноза и сделан вывод о неприменимости модели АРПСС для прогнозирования геомагнитных возмущений.

Результаты работы получены при поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на проведение НИОКР, шифр заявки № 8.2935.2011

Рецензенты:

Кириевский Е.В., д.т.н., профессор кафедры «Информационные и измерительные системы и технологии» ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова», г.Новочеркасск.

Гречихин В.В., д.т.н., профессор кафедры «Информационные и измерительные системы и технологии», ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова», г.Новочеркасск.