Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

CALCULATION OF THE PARAMETERS OF RECTANGULAR TIRES WITH TAKING INTO ACCOUNT SURFACE EFFECT IN STEADY STATE AT SINUSOIDAL CURRENT

Nosov G.V. 1 Trofimovich K.A. 1
1 Tomsk Polytechnic University
Предложена методика определения параметров прямоугольных шин в установившемся режиме при синусоидальном токе. При этом рассчитываются сопротивление, внутренняя индуктивность и коэффициент теплообмена, которые находятся с учетом поверхностного эффекта, частоты синусоидального тока, материала шин, их температуры и температуры окружающей среды. Разработанная методика получена на основе уравнений электромагнитного поля, которые могут быть запрограммированы, например, в среде Mathcad для автоматизированного инженерного расчета параметров прямоугольных шин. С увеличением частоты тока возрастают сопротивление и коэффициент теплообмена при уменьшении внутренней индуктивности шины. При увеличении удельной проводимости материала шины уменьшаются сопротивление и внутренняя индуктивность. С увеличением магнитной проницаемости возрастают сопротивление, внутренняя индуктивность и коэффициент теплообмена. Для более плоских шин сопротивление, внутренняя индуктивность и коэффициент теплообмена меньше, чем для шин с квадратным сечением. Достоверность методики подтверждается удовлетворительным совпадением результатов расчета сопротивления и индуктивности с результатами, полученными при помощи программы компьютерного моделирования Elcut.
Proposed a method for determining the parameters of rectangular tires in the steady state at sinusoidal current. Thus calculated resistance, internal inductance and heat transfer coefficient, which are given surface effect, frequency sinusoidal current, material of tires, its temperature and the ambient temperature. The developed method was obtained on the basis of equations of the electromagnetic field, which can be programmed, for example, in Mathcad for computer-aided engineering design parameters of rectangular tires. The resistance and the heat transfer coefficient increases at increasing frequency of current, with internal inductance of the tire decreases. With an increase in the conductivity of the material tires decreases resistance and internal inductance. With an increase in the permeability increases the resistance, internal inductance and heat transfer coefficient. For a flat tires the resistance, inductance and internal heat transfer coefficient is less, than for the tire with a square section. The accuracy of the method is confirmed by a satisfactory agreement between the calculation of resistance and inductance with the results, obtained by means of computer simulation program Elcut.
heat transfer coefficient
inductance
resistance
rectangular tire
parameters

Введение

Для передачи и распределения электрической энергии на электрических станциях, подстанциях и промышленных предприятиях широко применяются различные шинопроводы со сплошными шинами прямоугольного сечения согласно рисунку.

При проектировании таких шинопроводов и подключенного к ним электрооборудования необходимо знать в установившемся режиме при синусоидальном токе такие параметры шин как сопротивление R0 (Ом/м) и внутреннюю индуктивность L0 (Гн/м), коэффициент теплообмена [Вт/(м2·°С)] с окружающей средой поверхности шин при их заданной температуре (°С) и известной температуре окружающей среды (°С), которые должны находиться с учетом магнитной проницаемости (Гн/м) и удельной проводимости γ (1/Ом·м) материала шины, частоты f (Гц) синусоидального тока и поверхностного эффекта в шине [3–5]. Поэтому разработка методики расчета параметров прямоугольных шин с учетом поверхностного эффекта представляется актуальной задачей. В данной статье предложена методика, полученная на основе уравнений электромагнитного поля, которые программируются в среде Mathcad [1] для автоматизированного инженерного расчета параметров прямоугольных шин.

Рисунок. Прямоугольная шина с комплексом действующего значения тока , направленного «к нам» по оси z: – магнитная проницаемость и удельная проводимость материала шины; – температура шины и окружающей среды соответственно; – комплекс действующего значения индукции на поверхности шины; – размеры шины

Сопротивления и индуктивности шин при постоянном и синусоидальном токе с учетом частоты, удельной проводимости материала шин и поверхностного эффекта могут быть найдены при помощи программы компьютерного моделирования Elcut [2]. Однако отсутствие расчетных формул и необходимость моделирования для каждой конкретной шины затрудняют анализ большого числа вариантов и ограничивают применение программы Elcut при инженерных расчетах. Поэтому разработка методики расчета параметров прямоугольных шин на основе уравнений и законов электромагнитного поля актуальна и является предметом рассмотрения в настоящей работе.

Допущения

Для получения расчетных формул сделаем следующие допущения.

1. Рассчитываемый коэффициент теплообмена поверхности шины с окружающей средой определяется условиями теплоотвода благодаря естественной или вынужденной конвекции, а также теплоизлучению [5].

2. Вся толща шины характеризуется постоянными значениями магнитной проницаемости , температуры и удельной проводимости , причем [5]:

, (1)

где – удельная проводимость шин при температуре окружающей среды ;

– постоянный температурный коэффициент (1/°С).

3. Растекание тока вдоль шины (краевой эффект) учитывать не будем, считая при этом, что площадь поперечного сечения шины (м2) и её внешний периметр (м) постоянны.

4. Будем исходить из представления о двух одномерных электромагнитных волнах [3, 4], проникающих в шину перпендикулярно её поверхности вдоль осей x и y согласно рисунку.

5. Комплекс действующего значения индукции на поверхности шины постоянен и определяется по закону полного тока в комплексной форме [3, 4]:

. (2)

Методика расчета

Составляющие магнитной индукции переменного электромагнитного поля и плотность тока в шине () будем рассчитывать в функциях координат x и y согласно рисунку по следующим уравнениям в комплексной форме [3, 4]:

; (3)

; (4)

, (5)

где – комплексы действующих значений проекций вектора магнитной индукции на оси x и y соответственно;

– комплекс действующего значения плотности тока в шине, совпадающий по направлению с осью z и направлен «к нам»;

– угловая частота тока и электромагнитного поля;

– мнимая единица.

С учетом граничного условия на поверхности шины, приведенного на рисунке, решением уравнений (3–5) будут следующие функции и константы электромагнитного поля:

; (6)

; (7)

; (8)

(9)

, (10)

где – модуль действующего значения вектора магнитной индукции.

Сопротивление шины (Ом/м) найдем на основе закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме [3, 4] и плотности тока (9):

, (11)

а внутреннюю индуктивность шины (Гн/м) определим, исходя из запасенной магнитной энергии [3, 4] и индукции (8):

. (12)

Для определения необходимого коэффициента теплообмена при заданных температурах шины и окружающей среды воспользуемся уравнением теплового баланса для шины [5]:

,

тогда

. (13)

Результаты расчета

По запрограммированным в среде Mathcad [1] формулам (1–13) и по программе Elcut [2] были проведены расчеты параметров шин. В таблицах 1–5 приведены результаты этих расчетов при частотах f=50; 100; 200; 400 (Гц) и токе (кА) для медных, алюминиевых и железных шин [5, 6] при одинаковой площади поперечного сечения (мм2).

Таблица 1

Исходные параметры шин при (°С) и (Гн/м)

Материал

шин

1/Ом·м

1/°С

°С

1/Ом·м

Медь

1

58·106

0,0043

57

50·106

Алюминий

1

36·106

0,0040

70

30·106

Железо

10, 100

10·106

0,0060

131

6·106

Таблица 2

Расчетные параметры медных шин

Размеры шины и частота

Mathcad

Elcut

b

c

f

R0

L0

R0

L0

мм

мм

Гц

мкОм/м

мкГн/м

Вт/м2·°С

мкОм/м

мкГн/м

100

100

50

5,967

0,01510

40,098

5,681

0,01496

100

8,025

0,01082

53,929

7,800

0,01089

200

10,934

0,00773

73,484

10,910

0,00756

400

15,050

0,00550

101,138

15,540

0,00546

50

200

50

4,582

0,01200

24,633

4,490

0,01232

100

6,271

0,00870

33,715

6,354

0,00829

200

8,587

0,00620

46,165

9,081

0,00653

400

11,880

0,00442

63,868

13,020

0,00421

20

500

50

2,225

0,00400

5,751

2,170

0,00385

100

2,659

0,00370

6,874

2,616

0,00366

200

3,776

0,00303

9,760

3,842

0,00294

400

5,558

0,00216

14,366

5,933

0,00197

Таблица 3

Расчетные параметры алюминиевых шин

Размеры шины и частота

Mathcad

Elcut

b

c

f

R0

L0

R0

L0

мм

мм

Гц

мкОм/м

мкГн/м

Вт/м2·°С

мкОм/м

мкГн/м

100

100

50

8,086

0,01919

40,430

7,594

0,01991

100

10,740

0,01384

53,676

10,270

0,01412

200

14,490

0,00991

72,461

14,170

0,00991

400

19,805

0,00707

99,023

19,920

0,00685

50

200

50

5,954

0,01571

23,817

5,689

0,01575

100

8,318

0,01130

33,270

8,223

0,01104

200

11,340

0,00797

45,342

11,600

0,00734

400

15,580

0,00568

62,306

16,680

0,00587

20

500

50

3,518

0,00406

6,766

3,438

0,00391

100

3,827

0,00391

7,360

3,735

0,00381

200

4,788

0,00355

9,208

4,738

0,00347

400

7,000

0,00280

13,462

7,214

0,00269

Заключение

1. Предложенная методика расчета позволяет определять такие параметры прямоугольных шин в установившемся режиме при синусоидальном токе как сопротивление, внутреннюю индуктивность и коэффициент теплообмена, которые рассчитываются с учетом поверхностного эффекта, частоты синусоидального тока, материала шин, их температуры и температуры окружающей среды.

2. Разработанная методика получена на основе уравнений электромагнитного поля, которые могут быть запрограммированы, например, в среде Mathcad для автоматизированного инженерного расчета параметров прямоугольных шин.

3. С увеличением частоты тока возрастают сопротивление и коэффициент теплообмена при уменьшении внутренней индуктивности шины. При увеличении удельной проводимости материала шины уменьшаются сопротивление и внутренняя индуктивность. С увеличением магнитной проницаемости возрастают: сопротивление, внутренняя индуктивность и коэффициент теплообмена. Для более плоских шин сопротивление, внутренняя индуктивность и коэффициент теплообмена меньше, чем для шин с квадратным сечением.

Таблица 4

Расчетные параметры железных шин при =10

Размеры шины и частота

Mathcad

Elcut

b

c

f

R0

L0

R0

L0

мм

мм

Гц

мкОм/м

мкГн/м

Вт/м2·°С

мкОм/м

мкГн/м

100

100

50

53,664

0,138

120,865

51,4

0,141

100

72,445

0,099

163,164

70,9

0,099

200

99,002

0,071

222,977

99,6

0,068

400

136,559

0,050

307,566

142,6

0,046

50

200

50

41,579

0,113

74,917

41,1

0,110

100

56,666

0,080

102,100

58,0

0,086

200

77,866

0,057

140,300

83,4

0,059

400

107,915

0,040

194,441

118,4

0,037

20

500

50

19,131

0,039

16,572

18,7

0,038

100

23,934

0,035

20,733

23,7

0,035

200

34,995

0,028

30,315

36,1

0,027

400

50,726

0,020

43,941

54,7

0,020

4. Достоверность методики подтверждается удовлетворительным совпадением результатов расчета сопротивления и индуктивности с результатами, полученными при помощи программы компьютерного моделирования Elcut.

Таблица 5

Расчетные параметры железных шин при =100

Размеры шины и частота

Mathcad

Elcut

b

c

f

R0

L0

R0

L0

мм

мм

Гц

мкОм/м

мкГн/м

Вт/м2·°С

мкОм/м

мкГн/м

100

100

50

151,695

0,450

341,655

160,5

0,442

100

211,078

0,320

475,402

231,8

0,329

200

295,059

0,227

664,548

321,6

0,196

400

413,827

0,161

932,042

400,1

0,160

50

200

50

120,023

0,361

216,258

130,8

0,416

100

167,530

0,256

301,856

164,1

0,248

200

234,715

0,182

422,910

231,2

0,177

400

329,729

0,129

594,106

323,7

0,127

20

500

50

56,524

0,175

48,964

61,5

0,175

100

79,201

0,124

68,608

87,9

0,115

200

111,513

0,088

96,598

119,9

0,092

400

157,193

0,062

136,168

145,2

0,053

Работа выполнена в рамках государственного задания «Наука» 7.2826.2011 «Разработка и создание гибридной модели энергоблоков электростанций».

Рецензенты:

Усов Ю.П., д.т.н., профессор кафедры ЭСиЭ ЭНИН ФГБОУ ВПО НИ ТПУ, Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г.Томск.

Канев Ф.Ю., д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник института оптики атмосферы им. В. Е. Зуева СО РАН, г. Томск.