Задача оптимального (и, в частности, экстремального) управления на минимум ресурсов нелинейными динамическими объектами представляет сложную, до конца не решённую проблему. Общей методики для решения нелинейных оптимальных задач не существует ввиду их большого разнообразия. В качестве основного метода исследования оптимального упра­вления используется принцип максимума Понтрягина, учитывающий ограничения на переменные системы и поэтому применяемый для решения практических задач, и условия общности положения (УОП) для нелинейных объектов в расширенном пространстве координат [3,4,5].

Нестационарность нелинейных объектов с экстремальной стати­ческой характеристикой проявляется в дрейфе статической характе­ристики, который может быть вертикальным или горизонтальным, и получается при различном вхождении времени в уравнения движения объекта – аддитивном, мультипликативном и смешанном. Под адди­тивным вхождением времени понимается случай, когда в уравнениях движения время суммируется с координатами объекта, под мультипликативным – когда время умножается на координаты объекта. При смешанном вхождении в уравнения движения переменная суммиру­ется и умножается на координаты объекта.

В данной статье исследуются нестационарные нелинейные объекты при вертикальном дрейфе статической характеристики с аддитивным вхождением времени в математическое описание объекта управления (ОУ).

ОУ представлен в виде структуры образованной последовательным соединением линейного динамического звена и нелинейного динамического звена с экстремальной статической характеристикой, и эта структура может быть описана системой дифференциальных уравнений нелинейных по координа­там , но линейных по управлениям

где – функциональная матрица - столбец с элементами , ; - функциональная матрица – столбец с элементами , (функции , , , непрерывны и достаточное число раз непрерывно дифференцируемы по ); – скалярная функция.

Необходимо найти допустимое управление , , доставляющее минимум интегральному критерию

. (1)

где T – время движения от начальной до конечной точки заранее не задано.

Как показано в [6], для исследования нестационарных задач используется рекуррентное соотношение:

, (2)

где , , .

Из векторов , , составляется матрица . Если определитель матрицы , то из выражения определяется множество особых управлений в функции фазовых координат и параметров системы.

Дифференциальные уравнения связи, характеризующие ОУ, имеют вид:

(3)

Статическая характеристика объекта (3) выражается уравнением , а экстремум статической характеристики имеет координаты .

Модель (3) в общем случае является неаналитической функцией, за исключе­нием случаев четных показателей q, например, при получается аналитическое уравнение квадратичной статической характеристики. Вместе с тем относительно неаналитической модели (3) предполагается, что в подпространствах входной ко­ординаты нелинейного звена и известны соответствующие аналитические функции, тогда

(4)

Рассмотрим подпространство . В задаче на минимум функционала (2) получаем особое управление

(5)

Система (3) под особым управлением (5) примет вид:

(6)

Состояниями равновесия (особыми точками) системы (6) являются точка экстремума статической характеристики и точка с координатами . Применяя качественную теорию дифференциальных уравнений [1,2], найдём в окрестности особых точек параметры , , а также корни характеристического уравнения :

1) в окрестности точки параметры , , корни характеристического уравнения , ;

2) в окрестности точки параметры , , корни характеристического уравнения , .

Сделаем некоторые выводы о состояниях равновесия системы (6). В окрестности особой точки при , корни характеристического уравнения действительные, разных знаков, особая точка является седлом. При особая точка не является состоянием равновесия. При (критерий быстродействия) детерминант матрицы , из приравнивания нулю которого определяется уравнение особой траектории .

В окрестности особой точки при , корни характеристического уравнения действительные, одинаковых знаков, особая точка является устойчивым состоянием равновесия – узлом. При , корни характеристического уравнения действительные, разных знаков, особая точка является седлом.

При и система (6) имеет единственное состояние равновесия . В этом случае параметры принимают следующий вид: , , корни характеристического уравнения , при (в этом случае особая точка является седлом), и при (в этом случае особая точка является узлом).

При и детерминант матрицы равен постоянному, отличному от нуля числу. В этом случае особых режимов не возникает, управление однозначно определяется принципом максимума и является релейным, с максимально допустимыми амплитудами на интервалах между переключениями.

Идентичные результаты получаются при анализе подпространства . Результаты моделирования для параметров , , , , , , , представлены на рисунке 1; для параметров , , , , , , , представлены на рисунке 2.

Рисунок 1. Фазовые траектории системы (6), два состояния равновесия – точки ,

Рисунок 2. Фазовые траектории системы (6), одно состояние равновесия – точка

Вывод

Выбирая величину параметра в интегральном функционале (2), можно добиться асимптотической устойчивости точки экстремума статической характеристики системы (3) под действием особого управления (5). Из графиков переходных процессов видно, что под особым управле­нием траектории системы устойчивы, т.е. подтверждаются результа­ты качественного исследования, причем происходит отслеживание дрейфующих точек экстремума.

Рецензенты:

Присмотров Н.И., д.т.н., профессор кафедры ЭПиАПУ, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров.

Частиков А.В., д.т.н., профессор, декан факультета прикладной математики и телекоммуникаций, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров.