Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ТЕПЛОЁМКОСТЬЮ

Нахушева Ф.М. 1 Водахова В.А. 1 Кудаева Ф.Х. 1 Абаева З.В. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский Государственный Университет им. Х.М. Бербекова»
Работа посвящена построению локально-одномерной схемы (ЛОС) повышенного порядка аппроксимации для многомерного уравнения диффузии дробного порядка, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоёмкость некоторой величины. С помощью принципа максимума для ЛОС получены априорные оценки в равномерной метрике, выражающие устойчивость ЛОС по входным данным. Из априорной оценки для погрешности следует равномерная сходимость решения ЛОС на кубической сетке. Краевые задачи для уравнения теплопроводности, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины, возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью. Аналогичные задачи возникают также в практике регулирования солевого режима почв. Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка возникают при описании физических процессов стохастического переноса. Для описания движения примеси в потоке однородной жидкости используется также уравнение дробного порядка.
априорная оценка.
устойчивость и сходимость разностных схем
локально-одномерная разностная схема
сосредоточенная теплоёмкость
производная дробного порядка
уравнение диффузии
краевая задача
1. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. –1968. –Т.8. – №6. –С.1218-1231.
2. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. –1969. –Т.185. –№4. –С.739-740.
3. Головизнин В.М., Короткин И.А. Методы численных решений некоторых одномерных уравнений с дробными производными // Дифференц. ур-ния. –2006. –Т.42. –№7. –С. 907-913.
4. Лафишева М.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. –2008. –Т.48. –№10. –С.1878-1887.
5. Нерпин С.В., Чудновский А.Ф. Энерго- и массообмен в системе растение – почва – воздух. –Л.: Гидрометеоиздат,1975.
6. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. –М.: Наука, 1973.
7. Самарский А.А. Об одной задаче распространения тепла // Избранные труды А.А. Самарского. –М.: МАКС Пресс, 2003. –С.1-22.
8. Самарский А.А. Теория разностных схем. –М.: Наука,1973.
9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. –М.: Наука, 1996.
10. Шхануков-Лафишев М.Х., Нахушева Ф.М., Лафишева М.М., Мамбетова М.М. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоёмкостью// Владикавказский математический журнал, Владикавказ. –2013. – Т.15. – Вып.4.–С.59-65.
Краевые задачи для уравнения теплопроводности, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины, возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью [1].Аналогичные задачи возникают также в практике регулирования солевого режима почв [5].

Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка возникают при описании физических процессов стохастического переноса. Для описания движения примеси в потоке однородной жидкости используется также уравнение дробного порядка [2]. Численным методам решения уравнений с дробными производными посвящена, например, работа [3].

В одномерном случае задачи, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины,  рассмотрены в [4]. В работе [10] построена локально-одномерная схема для многомерного уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоёмкостью. Здесь рассматривается случай многомерной задачи для уравнения диффузии дробного порядка, когда на границах области по каждому направлению помещена сосредоточенная теплоёмкость величины . Локально-одномерные схемы для решения многомерных задач математической физики впервые введены в рассмотрение Самарским А.А.  [7].

1.      ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В цилиндре, основанием которого является –мерныйпрямоугольный параллелепипед с границей  Г, рассматривается задача:

           (1)

,

Коэффициенты удовлетворяют условиям:;

естьрегуляризованная дробная производная Римана-Лиувилля порядка , .

2.      ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА

В замкнутой области строится сетка  , –пространственная сетка, равномерная по каждому направлению , – равномерная сетка, содержащая вместе с узлами  так называемые "фиктивные" узлы– множество узлов сетки , для которых .Следуя [8], многомерному уравнению (1) поставим в соответствие цепочку "одномерных" уравнений. Для этого уравнение (1) перепишем в виде:

или

Здесь – произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и  и удовлетворяющие условию На каждом полуинтервалебудем последовательно решать задачи:

(4)

полагая при этом

      (7)

     Каждое уравнение (4) номера  будем аппроксимировать на полуинтервале  двухслойным разностным уравнением. В результате получим цепочку  одномерных разностных уравнений, которую вместе с граничными и начальными условиями назовем, следуя [8], локально-одномерной схемой.Итак, цепочка  одномерных разностных уравнений, соответствующих (4), имеет вид:

 (8)

где  – произвольный параметр,  – разностный оператор, соответствующий  ,

 – дискретный аналог дробной производной   порядка точности  [4], 

            Будем рассматривать случай чисто неявной схемы  Задачу (4)-(6) заменим локально-одномерной разностной схемой:

            (9)

(10)

где

        (12)

.

3.      ПОГРЕШНОСТЬ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ

Сделаем обозначение   . Подставляя   в (9)-(12) получим задачу для погрешности .  Для разностного уравнения получим

   (13)

где

Введем обозначение   и, замечая, что   если выполнено условие  представим  в виде суммы    где

Ясно, что

Граничное условие (11) при  перепишем так

В (14) подставим    и будем иметь:

Здесь

К правой части последнего добавим и отнимем

Тогда будем иметь:

где

Аналогично запишется и для граничного условия при . Таким образом, имеем

где  , ,   ,  Таким образом, локально-одномерная схема (9)-(12) обладает суммарной аппроксимацией

4.      УСТОЙЧИВОСТЬ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ

Исследование устойчивости локально-одномерной схемы (9)-(10) будем проводить с помощью принципа максимума. Для этого разностное уравнение и граничное условия приведем к каноническому виду [6]:

где , узлы сетки, – окрестность узла , не содержащая самого узла . Коэффициенты  и  должны удовлетворять условиям

Обозначим через  узел -мерной сетки , где , ; через  – границу сетки , состоящую из узлов  при  и узлов  при  и  для всех значений    и  .

Распишем уравнение (9)

в индексной форме и приведем к каноническому виду (15).  Имеем:

.       (17)

Здесь заметим, что 

С учетом (18), (19)  перепишем уравнение (17):

где 

Приведем теперь граничные условия (11) для    и к каноническому виду. Для  с учетом(18), (19) имеем:

где  

Аналогично для краевого условия при с учетом (18), (19) имеем:

где  

Из (20)-(22) находим:

где 

Представим теперь решение задачи (9)-(12) в виде суммы ,где  –  решение задачи при ,  – решение задачи при  ().Оценки для решения  и  будем получать с помощью принципа максимума для сеточного уравнения каноническоговида (15) при выполнении на коэффициенты условий (16).Итак, имеем задачи дляи  соответственно:

     (24)

                    (26)

где операторы    и     имеют вид (11). Уравнение в (23) в канонической форме запишем:

Далее воспользуемся леммой из [4], согласно которой приимеет место неравенство

, .      (28)

С учетом (28) выражения в круглых скобках положительны.Имеем, что для коэффициентов  ,  и  в уравнении (27) выполнены условия (16) и . На основании теоремы 3  ([6], с.344)  для  получаем оценку:

Для оценкиперепишем уравнение в (25) в виде:

где

.

Проверим выполнение условий теоремы 4 ([6], с.347):

, .Условия (30) выполняются для всех , ,

Здесь – множество узлов , – множество узлов .

Итак, на основании теоремы 4 (см. [6], с.347) для функции после суммирования по  , а затем по  имеем оценку:

Собирая оценки (29) и (31), получаем окончательную оценку:

Из априорной оценки (32) следует устойчивость локально-одномерной схемы (9)-(12) по входным данным задачи.

5. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ

Чтобы использовать свойствопредставим, по аналогии с [8], решение задачи для погрешности (13) в виде суммы.В этой сумме функция  определяется условиями:

Функция  определяется условиями:

где , ,

На кубической сетке  при условиях , справедливо:

, ,

,

где –  известные постоянные. Если существуют непрерывные в замкнутой области  производные, то .Для оценки решения задачи (34) воспользуемся оценкой (32):

где  независящая от  и .Из оценки (35) находим, что

откуда получаем

Таким образом, справедлива следующая

Теорема.Пусть задача (1)-(3) имеет единственное и непрерывное в решение  и существуют непрерывные в  производные

,,

тогда решение разностной схемы (9)-(12) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (1)-(3) со скоростью , .

Рецензенты:  

Шхануков-Лафишев М. Х.,  д.ф.-м.н., профессор,ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления   Кабардино-Балкарского   научного центра РАН, г. Нальчик;

Ашабоков Б.А.,д.ф.-м.н., профессорВысокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.

 


Библиографическая ссылка

Нахушева Ф.М., Водахова В.А., Кудаева Ф.Х., Абаева З.В. ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ТЕПЛОЁМКОСТЬЮ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-1.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=20894 (дата обращения: 20.09.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074