Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка возникают при описании физических процессов стохастического переноса. Для описания движения примеси в потоке однородной жидкости используется также уравнение дробного порядка [2]. Численным методам решения уравнений с дробными производными посвящена, например, работа [3].
В одномерном случае задачи, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины, рассмотрены в [4]. В работе [10] построена локально-одномерная схема для многомерного уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоёмкостью. Здесь рассматривается случай многомерной задачи для уравнения диффузии дробного порядка, когда на границах области по каждому направлению помещена сосредоточенная теплоёмкость величины . Локально-одномерные схемы для решения многомерных задач математической физики впервые введены в рассмотрение Самарским А.А. [7].
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В цилиндре, основанием которого является –мерныйпрямоугольный параллелепипед с границей Г, рассматривается задача:
(1)
,
Коэффициенты удовлетворяют условиям:;,
естьрегуляризованная дробная производная Римана-Лиувилля порядка , .
2. ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА
В замкнутой области строится сетка , –пространственная сетка, равномерная по каждому направлению , – равномерная сетка, содержащая вместе с узлами так называемые "фиктивные" узлы– множество узлов сетки , для которых .Следуя [8], многомерному уравнению (1) поставим в соответствие цепочку "одномерных" уравнений. Для этого уравнение (1) перепишем в виде:
или
Здесь – произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и и удовлетворяющие условию На каждом полуинтервалебудем последовательно решать задачи:
(4)
полагая при этом
(7)
Каждое уравнение (4) номера будем аппроксимировать на полуинтервале двухслойным разностным уравнением. В результате получим цепочку одномерных разностных уравнений, которую вместе с граничными и начальными условиями назовем, следуя [8], локально-одномерной схемой.Итак, цепочка одномерных разностных уравнений, соответствующих (4), имеет вид:
(8)
где – произвольный параметр, – разностный оператор, соответствующий ,
– дискретный аналог дробной производной порядка точности [4],
Будем рассматривать случай чисто неявной схемы Задачу (4)-(6) заменим локально-одномерной разностной схемой:
(9)
(10)
где
(12)
.
3. ПОГРЕШНОСТЬ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ
Сделаем обозначение . Подставляя в (9)-(12) получим задачу для погрешности . Для разностного уравнения получим
(13)
где
Введем обозначение и, замечая, что если выполнено условие представим в виде суммы где
Ясно, что
Граничное условие (11) при перепишем так
В (14) подставим и будем иметь:
Здесь
К правой части последнего добавим и отнимем
Тогда будем иметь:
где
Аналогично запишется и для граничного условия при . Таким образом, имеем
где , , , Таким образом, локально-одномерная схема (9)-(12) обладает суммарной аппроксимацией
4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ
Исследование устойчивости локально-одномерной схемы (9)-(10) будем проводить с помощью принципа максимума. Для этого разностное уравнение и граничное условия приведем к каноническому виду [6]:
где , узлы сетки, – окрестность узла , не содержащая самого узла . Коэффициенты и должны удовлетворять условиям
Обозначим через узел -мерной сетки , где , ; через – границу сетки , состоящую из узлов при и узлов при и для всех значений и .
Распишем уравнение (9)
в индексной форме и приведем к каноническому виду (15). Имеем:
. (17)
Здесь заметим, что
С учетом (18), (19) перепишем уравнение (17):
где
Приведем теперь граничные условия (11) для и к каноническому виду. Для с учетом(18), (19) имеем:
где
Аналогично для краевого условия при с учетом (18), (19) имеем:
где
Из (20)-(22) находим:
где
Представим теперь решение задачи (9)-(12) в виде суммы ,где – решение задачи при , ; – решение задачи при ().Оценки для решения и будем получать с помощью принципа максимума для сеточного уравнения каноническоговида (15) при выполнении на коэффициенты условий (16).Итак, имеем задачи дляи соответственно:
(24)
(26)
где операторы и имеют вид (11). Уравнение в (23) в канонической форме запишем:
Далее воспользуемся леммой из [4], согласно которой приимеет место неравенство
, . (28)
С учетом (28) выражения в круглых скобках положительны.Имеем, что для коэффициентов , и в уравнении (27) выполнены условия (16) и . На основании теоремы 3 ([6], с.344) для получаем оценку:
Для оценкиперепишем уравнение в (25) в виде:
где
.
Проверим выполнение условий теоремы 4 ([6], с.347):
, .Условия (30) выполняются для всех , ,
Здесь – множество узлов , – множество узлов .
Итак, на основании теоремы 4 (см. [6], с.347) для функции после суммирования по , а затем по имеем оценку:
Собирая оценки (29) и (31), получаем окончательную оценку:
Из априорной оценки (32) следует устойчивость локально-одномерной схемы (9)-(12) по входным данным задачи.
5. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ
Чтобы использовать свойствопредставим, по аналогии с [8], решение задачи для погрешности (13) в виде суммы.В этой сумме функция определяется условиями:
Функция определяется условиями:
где , ,
На кубической сетке при условиях , справедливо:
, ,
,
где – известные постоянные. Если существуют непрерывные в замкнутой области производные, то .Для оценки решения задачи (34) воспользуемся оценкой (32):
где независящая от и .Из оценки (35) находим, что
откуда получаем
Таким образом, справедлива следующая
Теорема.Пусть задача (1)-(3) имеет единственное и непрерывное в решение и существуют непрерывные в производные
,,
тогда решение разностной схемы (9)-(12) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (1)-(3) со скоростью , .
Рецензенты:Шхануков-Лафишев М. Х., д.ф.-м.н., профессор,ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН, г. Нальчик;
Ашабоков Б.А.,д.ф.-м.н., профессорВысокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.
Библиографическая ссылка
Нахушева Ф.М., Водахова В.А., Кудаева Ф.Х., Абаева З.В. ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ТЕПЛОЁМКОСТЬЮ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-1. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=20894 (дата обращения: 18.04.2024).