Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,931

ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЕЙ

Бутусов Д.Н. 1 Каримов Т.И. 1 Каримов А.И. 1
1 ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)»
В статье рассматривается способ дискретизации непрерывных моделей динамических систем, известный как дельта-преобразование. Показывается, что в арифметике с фиксированной запятой дельта-преобразование обеспечивает большую точность, чем широко известное дискретное преобразование Лапласа (z-преобразование), однако имеет малое отношение сигнала к шуму квантования на низких частотах. В статье вводится модификация дельта преобразования, называемая дельта-кси-преобразованием, которое свободно от этого недостатка. Проводится сравнительный анализ стандартного и модифицированного дельта-преобразования на примере моделирования фильтра Бесселя. Анализ проводится в частотной и временной области. Полученные теоретические результаты подтверждаются авторами с помощью ряда компьютерных экспериментов в инструментальном пакете MATLAB с применением модуля FilterDesignToolbox.
арифметика с фиксированной запятой
дельта-преобразование
дискретное преобразование Лапласа
динамические системы
компьютерное моделирование
1. Андреев В.С., Бутусов Д.Н., Каримов Т.И., Липкин С.М., Сотнин М.И. Анализ эффективности применения дельта-преобразования при моделировании звеньев второго порядка [Электронный ресурс] // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – №1. – Режим доступа: www.science-education.ru/107-8128.
2. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. 2-е изд., испр. – М.: Техносфера, 2009.
3. Kauraniemi J., Laakso T.I., Hartimo I., Ovaska S.J., Delta operator realization of direct-form IIR filters, IEEE Trans. Circuits Syst., vol. 45, pp. 41-51, Jan. 1998.
4. Middleton R.H., Goodwin G.C., Improved finite word length characteristics in digital control using delta operators, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 31, pp. 1015-1021, Nov. 1986.
5. Newman M.J., Holmes D.G., Delta operator digital filter for high performance inverter applications/ IEEE Transactions on Power Electronics, vol.18, no.1, part 2, 2003.

Введение

При разработке устройств управления и обработки сигналов требуется соблюсти баланс между производительностью, энергопотреблением и габаритами системы. Особенно актуальным это становится при создании миниатюрных устройств, например, систем RFID, встраиваемых видео- и аудиосистем. Широкое применение в таких системах находят процессоры малой разрядности, использующие представление чисел с фиксированной точкой. В то же время рост частотного диапазона работы и быстродействия микропроцессоров предъявляет новые требования к математическому обеспечению, используемому для построения вычислительных моделей динамических систем.

Z-преобразование является стандартным и наиболее распространенным методом преобразования непрерывных моделей динамических систем в дискретные при реализации их средствами цифровой электроники. Однако у z-преобразования есть существенный недостаток: при стремлении периода дискретизации к нулю корни и полюса системы в z-области стремятся к единице [1]. При ограниченной точности машинного представления чисел различные корни стремятся «слиться» друг с другом и с единицей, и динамическая характеристика исходной цифровой системы может существенно отличаться от динамической характеристики непрерывной системы. Этот эффект можно уменьшить, если использовать представление чисел с плавающей точкой, однако на аппаратном уровне его поддерживает довольно ограниченное число контроллеров.

В то же время дельта-преобразование специально предназначено для того, чтобы устранить вышеописанный недостаток. При уменьшении периода дискретизации динамическая характеристика дельта-системы стремится к характеристике непрерывной. Но и дельта-преобразованию присущ недостаток: дельта-интегратор имеет неустойчивый полюс , что при определенных условиях приводит к падению точности модели. В данной статье рассматриваются условия возникновения неустойчивости и предлагается метод повышения точности дельта-преобразования.

Введение в дельта-преобразование

Разложим переменную в ряд Тейлора и сгруппируем его:

(1)

При малых все члены ряда (1), начиная с , становятся много меньше единицы, и в числах с фиксированной запятой точность их представления оказывается неудовлетворительной. Основная идея Миддлтона и Гудвина [4] – использовать замену вида:

(2)

Это равносильно внесению первого члена ряда (2.1) – единицы – в коэффициенты передаточной функции, чтобы они более равномерно заполняли разрядную сетку [4]. Здесь – новая операторная переменная, которая вводится вместо . Формула (2) легко модифицируется:

(3)

где – параметр, обеспечивающий масштабирование коэффициентов дискретной модели от переменной .

Подстановка выражения (3) в преобразование Тастина дает:

, (4)

что позволяет строить дельта-модели на основе имеющихся непрерывных моделей. На практике удобнее сначала получить z-преобразование системы по Тастину, и только потом преобразовывать ее с помощью дельта-преобразования. При этом требуется соответствующий пересчет коэффициентов модели (описанный, например, в [1]).

Получив коэффициенты передаточной функции, требуется преобразовать вычислительную модель к виду кода, исполняемого на целевом устройстве. Каноническая форма (англ. directformII) имеет наименьший уровень шума квантования при реализации дельта-модели в арифметике с фиксированной запятой [3], а потому наиболее предпочтительна. В случае обычной дискретной канонической формы, когда используется оператор задержки , верно соотношение:

.

Передаточная функция дельта-интегратора выводится из (3):

. (5)

Для дельта-системы: , откуда, используя (5):

(6)

Тогда выражение для вычисления отклика дельта-системы в прямой форме 2 для звена 2-го порядка аналитически может быть записано:

(7)

Неустойчивость дельта-интегратора

Рассмотрим поведение переменных состояния дискретной модели ЛДС 2-го порядка, полученной с помощью дельта-преобразования. Введем функцию передачи . Непосредственно из (5) следует:

(8)

Дискретное звено второго порядка содержит неустойчивый полюс и является астатическим фильтром нижних частот. Это означает, что при низких частотах переменная состояния имеет величину много большую, чем , а при высоких частотах стремится к нулю и имеет величину много меньшую, чем . Переменная при этом занимает «промежуточное» положение.

Из структурной схемы канонической формы после подстановки выражения для может быть определена передаточная функция :

, (9)

где – коэффициенты знаменателя исходной передаточной функции от переменной . В свою очередь, (9) является фильтром верхних частот, при этом:

.

Частотные свойства переменной состояния определяются передаточной функцией , которая является дискретным фильтром нижних частот:

.

Таким образом, из свойств и следует, что переменные состояния дельта-модели являются ограниченными сверху. Однако они могут принимать очень малые значения, что в арифметике с фиксированной запятой приводит к повышению влияния шума квантования. Заметим, что использование транспонированной канонической формы не разрешает проблему неустойчивости дельта-интегратора.

Дельта-кси-преобразование

Введем следующую модификацию выражения (3):

,

где – некоторое малое число. Смысл введения – устранить корень . Введя обозначение , получим исходную формулу для дельта-кси-преобразования:

.

Здесь индекс при переменной введен для явного указания на то, что используется именно дельта-кси преобразование. Выражения для пересчета коэффициентов обычной дискретной модели в форме z-преобразования (полученной, например, с помощью преобразования Тастина) в коэффициенты дельта-кси-модели звена второго порядка приведены в таблице 1.

Таблица 1. Пересчет коэффициентов z-модели в коэффициенты дельта-кси-модели

Оператор будет записан как:

. (10)

Формула (10) также является дискретным фильтром нижних частот, но теперь не астатическим. Легко показать, что

, (11)

то есть в области низких частот усиление уже не бесконечно велико. Функция передачи для дельта-кси-преобразования определяется как

. (12)

Выбор оптимального параметра может быть осуществлен из следующего условия: если , то в области нижних частот, вплоть до частоты среза дискретного ФНЧ (11), все переменные состояния будут иметь одинаковые амплитуды, и их значения заполнят практически всю разрядную сетку. Таким образом, шум квантования будет существенно снижен. Из (12) найдем выражение для расчета при условии, что в области нижних частот переменные состояния имеют одинаковую амплитуду:

.

Оно имеет единственное решение при дополнительном ограничении:

. (13)

Окончательно, субоптимальное :

,

где – малое число для варьирования . Дело в том, что при реализации дельта-кси-преобразования в арифметике с фиксированной запятой требуется умножение на , что порождает дополнительный шум квантования. Действительно, выражения для вычисления отклика звена второго порядка в случае дельта-кси-преобразования:

(14)

Первые две строки модели (14) содержат умножение на , которое может быть выполнено точно, только если является степенью двойки. Однако в случае вычисления по формуле (13) это невозможно. Поэтому необходимо экспериментальное исследование дельта-кси-модели с коррекцией значения . Эксперименты показывают, что для достижения наилучших результатов коррекции должны подвергаться десятитысячные доли .

Выбор соответствующей амплитуды переменной состояния обеспечивается масштабированием входного сигнала по максимальному значению амплитуды этой переменной состояния, определенной передаточной функцией:

.

Возьмем фильтр Бесселя нижних частот с частотой среза 50 Гц, заданный выражением в качестве эталонной непрерывной ЛДС, и примем период дискретизации мс. Для дельта-модели этого фильтра аплитудно-частотные характеристики функций передачи и представлены на рисунке 1.

delta_vs_delta-xi_statevariables_small 

Рисунок 1. Амплитудно-частотные характеристики функций передачи и

Графики нам демонстрируют полученное выше качественное описание поведения переменных состояния для конкретного примера. Сравнение отклика дельта-модели и дельта-кси-модели представлено на рисунке 2.

delta_vs_delta-xi_small

Рисунок 2. Сравнение отклика дельта-модели и дельта-кси-модели фильтра Бесселя

Сравнение показывает, что на малых частотах дельта-кси-преобразование обеспечивает существенно лучшую точность, чем дельта-преобразование, в то время как на больших частотах не хуже его и также может быть точнее. Так, в приведенном примере интеграл ошибки на частоте 3,14 рад/с дельта-модели в 26 раз больше, чем дельта-кси-модели, а СКО отклика – в 3,3 раза больше. На частоте 216 рад/с интегральные ошибки приблизительно равны, в то время как СКО отклика дельта-модели больше в 2,2 раза, чем дельта-кси-модели. При реализации на специальных вычислителях систем, которые должны иметь высокие точностные характеристики в области низких частот, такое улучшение существенно.

Заключение

В данной статье рассмотрено поведение переменных состояния дискретной модели звена второго порядка, полученной с помощью дельта-преобразования. Показано, что при реализации дельта-модели в канонической форме переменные состояния на разных частотах имеют различную амплитуду, что при реализации на специальных вычислителях при использовании арифметики с фиксированной точкой приводит к повышению шума квантования. Введено дельта-кси-преобразование, выравнивающее амплитуду переменных состояния в области нижних частот, что позволяет в этом частотном диапазоне уменьшить интеграл погрешности в десятки раз.

Работа выполнена в СПбГЭТУ при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках договора № 02.G25.31.0058 от 12.02.2013 г.

Рецензенты:

Авдеев Б.Я., д.т.н., профессор кафедры информационно-измерительных систем и технологий. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)», г. Санкт-Петербург.

Пузанков Д.В., д.т.н., профессор кафедры вычислительной техники. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)», г. Санкт-Петербург.


Библиографическая ссылка

Бутусов Д.Н., Каримов Т.И., Каримов А.И. ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЕЙ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 3.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=13330 (дата обращения: 02.03.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074