Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,931

ОБ ЭНТРОПИИ КВАНТОВОГО ПЕРЕПУТЫВАНИЯ У ГОРИЗОНТА ЧЕРНОЙ ДЫРЫ И КОНФОРМНОЙ СИММЕТРИИ

Фурсаев Д.В. 1
1 Международный университет "Дубна"
Показано, что энтропия квантового перепутывания квантовых возбуждений вблизи горизонта черной дыры может быть получена методами конформной теории поля. Идея состоит в том, что подсчет энтропии за счет размерной редукции сводится к эквивалентной задаче на пространстве двумерной черной дыры. Конформная симметрия в системе отсчета наблюдателей, находящихся в состоянии покоя вблизи горизонта, возникает за счет того, что полевые возбуждения являются эффективно безмассовыми. Основное наблюдение работы состоит в том, что вырождение определенных генераторов алгебры Вирасоро двумерных конформных преобразований может быть подсчитано универсальным образом по так называемой формуле Карди. Вырождение определяется исключительно средним значением соответствующего генератора и центральным зарядом алгебры. В работе показано, как использовать формулу Карди для воспроизведения тепловой энтропии квантов вблизи горизонта. Использован также другой известный факт, что редуцированная матрица плотности, связанная с потерей информации под горизонтом, в состоянии Хартла-Хокинга имеет тепловой характер. Полученный результат дает потенциальную возможность связать две интерпретации энтропии Бекенштейна-Хокинга: интерпретацию, основанную на квантовом перепутывании, и интерпретацию, основанную на использовании конформной симметрии состояний у горизонта.
конформная теория поля
черные дыры
квантовое перепутывание
1. Banados M., Teitelboim C., Zanelli J. Black hole in three-dimensional spacetime // Physical Review Letters. – 1992. – Vol. 69. – №. 13. – P. 1849.
2. Carlip S. Black hole entropy from conformal field theory in any dimension // Physical Review Letters. – 1999. – Vol. 82. – №. 14. – P. 2828.
3. Frolov V. P., Fursaev D. V. Thermal fields, entropy and black holes // Classical and Quantum Gravity. – 1998. – Vil. 15. – №. 8. – P. 2041.
4. Gubser S. S., Klebanov I. R., Polyakov A. M. Gauge theory correlators from non-critical string theory // Physics Letters B. – 1998. – Vol. 428. – №. 1. – P. 105-114.
5. Holzhey C., Larsen F., Wilczek F. Geometric and renormalized entropy in conformal field theory // Nuclear Physics B. – 1994. – Vol. 424. – №. 3. – P. 443-467.
6. Maldacena J. The large N limit of superconformal field theories and supergravity // Advances in Theoretical and Mathematical Physics. – 1998. – Vol. 2. – №. 2. – P. 231 – 252
7. Polyakov A.M. Gauge Fields and Strings. – Chur, Switzerland : Harwood Academic Publishers, 1987. – 301 p.
8. Strominger A. Black hole entropy from near-horizon microstates // Journal of High Energy Physics. – 1998. – Vol. 1998. – № 02. – P. 009.
9. Witten E. Anti-de Sitter space and holography // Advances in Theoretical and Mathematical Physics. – 1998. – Vol. 2. – P. 253 – 291

В последнее десятилетие огромный интерес теоретических исследований в области гравитации был связан с ролью конформных симметрий, которые возникают на многообразиях, являющихся асимптотически многообразиями с геометрией анти-де Ситтера [1–3]. Классические конформные симметрии фонового многообразия фактически определяют тип дуальной квантовой теории поля, возникающей на границе пространства. Роль конформных симметрий также оказывается важна для подсчета состояний некоторого типа 3-мерных черных дыр [4, 5], и, возможно, имеет ключевое значение для объяснения энтропии физических черных дыр [6].

Цель настоящей работы – обратить внимание на роль конформной симметрии при подсчете энтропии квантового перепутывания квантовых возбуждений на горизонте черной дыры. Для простоты мы рассмотрим случай сферически-симметричных статических черных дыр (решения Шварцшильда или Рейснера-Нордстрема). За счет сферической симметрии любую полевую теорию на данных многообразиях можно редуцировать (в духе Калузы-Кляйна) к "башне" двумерных теорий поля. Поля в каждой такой двумерной теории распространяются только в радиальном направлении. Вблизи горизонта поля являются эффективно безмассовыми, и поэтому обладают двумерной конформной инвариантностью. Отметим, что на значение конформных симметрий при подсчете энтропии перепутывания впервые было обращено внимание в работе [8].

Для того, чтобы продемонстрировать безмассовый характер полевых возбуждений вблизи горизонта, рассмотрим двумерную часть статической метрики

, (1)

где координаты и соответствуют положениям горизонта и границы пространства. На горизонте . Для неэкстремальной черной дыры производная не обращается в ноль, и можно определить константу поверхностной гравитации . Рассмотрим далее в качестве примера скалярное поле на пространстве-времени с метрикой (1). Уравнение для поля имеет следующий вид:

. (2)

Это уравнение сводится к релятивистскому аналогу уравнения Шрёдингера для волновых функций одночастичных полевых возбуждений с частотой . Производя в уравнении (2) подстановку , приходим к следующей задаче:

, (3)

, (4)

где координаты и связаны соотношением . Как следует из (4), всеми массовыми слагаемыми можно пренебречь из-за наличия множителя . Поэтому одно-частичный оператор энергии есть просто . Аналогичное свойство справедливо для других полей (электромагнитного поля и поля Дирака), см. [9]. Фактически вблизи горизонта оказывается гамильтонианом одночастичных возбуждений на ультрастатическом пространстве с метрикой

, (5)

которая связана с исходной метрикой (1) конформным преобразованием. В (5) положение горизонта отображается на бесконечность, поэтому мы имеем дело с полями, распространяющимися на неограниченном пространстве. Тепловая энтропия таких полей имеет инфракрасную расходимость. Делая размер системы конечным и равным , можно легко найти свободную энергию , энергию и энтропию квантов при некоторой температуре

. (6)

Конечный размер эквивалентен введению обрезания вблизи горизонта на некотором собственном расстоянии . Причина, по которой от обсуждения энтропии перепутывания мы перешли к обсуждению тепловой энтропии, проста. Энтропия перепутывания связана с потерей информации о квантах, распространяющихся внутри горизонта. Важно, что редуцированная матрица плотности, возникающая при интегрировании по состояниям внутри черной дыры имеет тепловой характер с температурой Хокинга. Поэтому расчет энтропии перепутывания совпадает с вычислением соответствующей тепловой энтропии. Для того, чтобы найти соотношение между параметрами и , метрику (1) нужно представить в другой форме:

. (7)

При малых

, (8)

где – значение конформного фактора на горизонте, а граничное значение . Энтропия перепутывания, отвечающая вакуумному состоянию Хартла-Хокинга вычисляется при температуре Хокинга . Для безмассовых полей величина в (6) дает точный (в лидирующем приближении) результат для энтропии.

Покажем теперь, как получить тот же результат используя конформную симметрию. Будем считать, что имеется безмассовых скалярных полей, тогда в лидирующем приближении

. (9)

Соответствующая конформная теория поля вблизи горизонта характеризуется центральным зарядом , см. [7]. Центральный заряд определяет коммутационные соотношения алгебры Вирасоро конформной группы. Связь между гамильтонианом системы и генераторами алгебры Вирасоро можно установить, представляя метрику (5) в следующем виде:

, (10)

. (11)

Следовательно,

. (12)

Отметим, что в (10) координата пробегает значения от 0 до . Этот отвечает теории на интервале, где точки и являются независимыми. Для того, чтобы провести вычисления, удобно перейти к теории, где является периодической координатой. Это можно сделать, рассматривая две идентичные независимые конформные теории на интервале длиной , "склеивая" концы интервалов и образуя окружность, так что из двух теорий возникает одна (с областью изменения координаты от 0 до ).

Теперь имеется две копии алгебры Вирасоро со стандартно определенными элементами и в качестве генераторов координатных преобразований, и , соответственно. Согласно соотношению (12) гамильтониан системы , который является генератором сдвигов по времени , представляется в виде:

. (13)

Схожим образом, сдвиги системы вдоль координаты генерируются оператором импульса

. (14)

Поскольку система находится в покое, среднее значение импульса равно нулю. С другой стороны, среднее значение совпадает с энергией , см. (9). Эти условия фиксируют средние значения и операторов и , соответственно. В данном квантовом состоянии

. (15)

В пределе, когда велико ( мало), получаем, что . В этом случае можно использовать так называемую формулу Карди, чтобы вычислить вырождение и . В рассматриваемом приближении полное вырождение есть

(16)

и, учитывая, что в нашем случае , находим

. (17)

Теперь необходимо учесть, что является числом состояний системы с удвоенным гильбертовым пространством, которое получилось в результате периодизации координаты z. Подлинное число степеней свободы, которое нас интересует равно . Для энтропии это дает величину

, (18)

которая в точности совпадает с требуемым значением (9). Чтобы получить энтропию перепутывания в состоянии Хартла-Хокинга, в (18) необходимо положить.

Таким образом, на примере упрощенной модели мы показали, что конформная симметрия вблизи горизонта играет важную роль в подсчете степеней свободы черной дыры (если микроскопическое происхождение энтропии Бекенштейна-Хокинга действительно связано с потерей информации внутри горизонта). Дальнейшее исследование проблемы энтропии черной дыры на основе данной симметрии требует отождествления самих степеней свободы и более точного описания их свойств.

Рецензенты:

Исаев А.П., д.ф.-м.н., профессор, заместитель директора Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г.Дубна.

Казаков Д.И., д.ф.-м.н, главный научный сотрудник Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна.


Библиографическая ссылка

Фурсаев Д.В. ОБ ЭНТРОПИИ КВАНТОВОГО ПЕРЕПУТЫВАНИЯ У ГОРИЗОНТА ЧЕРНОЙ ДЫРЫ И КОНФОРМНОЙ СИММЕТРИИ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12356 (дата обращения: 24.09.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074