В последнее десятилетие огромный интерес теоретических исследований в области гравитации был связан с ролью конформных симметрий, которые возникают на многообразиях, являющихся асимптотически многообразиями с геометрией анти-де Ситтера [1–3]. Классические конформные симметрии фонового многообразия фактически определяют тип дуальной квантовой теории поля, возникающей на границе пространства. Роль конформных симметрий также оказывается важна для подсчета состояний некоторого типа 3-мерных черных дыр [4, 5], и, возможно, имеет ключевое значение для объяснения энтропии физических черных дыр [6].
Цель настоящей работы – обратить внимание на роль конформной симметрии при подсчете энтропии квантового перепутывания квантовых возбуждений на горизонте черной дыры. Для простоты мы рассмотрим случай сферически-симметричных статических черных дыр (решения Шварцшильда или Рейснера-Нордстрема). За счет сферической симметрии любую полевую теорию на данных многообразиях можно редуцировать (в духе Калузы-Кляйна) к "башне" двумерных теорий поля. Поля в каждой такой двумерной теории распространяются только в радиальном направлении. Вблизи горизонта поля являются эффективно безмассовыми, и поэтому обладают двумерной конформной инвариантностью. Отметим, что на значение конформных симметрий при подсчете энтропии перепутывания впервые было обращено внимание в работе [8].
Для того, чтобы продемонстрировать безмассовый характер полевых возбуждений вблизи горизонта, рассмотрим двумерную часть статической метрики
, (1)
где координаты 
и 
соответствуют положениям горизонта и границы пространства. На горизонте 
. Для неэкстремальной черной дыры производная 
не обращается в ноль, и можно определить константу поверхностной гравитации 
. Рассмотрим далее в качестве примера скалярное поле 
на пространстве-времени с метрикой (1). Уравнение для поля имеет следующий вид:
. (2)
Это уравнение сводится к релятивистскому аналогу уравнения Шрёдингера для волновых функций одночастичных полевых возбуждений 
с частотой 
. Производя в уравнении (2) подстановку 
, приходим к следующей задаче:
, (3)
, (4)
где координаты 
и 
связаны соотношением 
. Как следует из (4), всеми массовыми слагаемыми можно пренебречь из-за наличия множителя 
. Поэтому одно-частичный оператор энергии 
есть просто 
. Аналогичное свойство справедливо для других полей (электромагнитного поля и поля Дирака), см. [9]. Фактически вблизи горизонта оказывается гамильтонианом одночастичных возбуждений на ультрастатическом пространстве с метрикой
, (5)
которая связана с исходной метрикой (1) конформным преобразованием. В (5) положение горизонта отображается на бесконечность, поэтому мы имеем дело с полями, распространяющимися на неограниченном пространстве. Тепловая энтропия таких полей имеет инфракрасную расходимость. Делая размер системы конечным и равным 
, можно легко найти свободную энергию 
, энергию 
и энтропию 
квантов при некоторой температуре 
. (6)
Конечный размер эквивалентен введению обрезания вблизи горизонта на некотором собственном расстоянии 
. Причина, по которой от обсуждения энтропии перепутывания мы перешли к обсуждению тепловой энтропии, проста. Энтропия перепутывания связана с потерей информации о квантах, распространяющихся внутри горизонта. Важно, что редуцированная матрица плотности, возникающая при интегрировании по состояниям внутри черной дыры имеет тепловой характер с температурой Хокинга. Поэтому расчет энтропии перепутывания совпадает с вычислением соответствующей тепловой энтропии. Для того, чтобы найти соотношение между параметрами и , метрику (1) нужно представить в другой форме:
. (7)
При малых
, (8)
где 
– значение конформного фактора на горизонте, а 
граничное значение 
. Энтропия перепутывания, отвечающая вакуумному состоянию Хартла-Хокинга вычисляется при температуре Хокинга 
. Для безмассовых полей величина в (6) дает точный (в лидирующем приближении) результат для энтропии.
Покажем теперь, как получить тот же результат используя конформную симметрию. Будем считать, что имеется 
безмассовых скалярных полей, тогда в лидирующем приближении
. (9)
Соответствующая конформная теория поля вблизи горизонта характеризуется центральным зарядом 
, см. [7]. Центральный заряд определяет коммутационные соотношения алгебры Вирасоро конформной группы. Связь между гамильтонианом системы и генераторами алгебры Вирасоро можно установить, представляя метрику (5) в следующем виде:
, (10)
. (11)
Следовательно,
. (12)
Отметим, что в (10) координата 
пробегает значения от 0 до 
. Этот отвечает теории на интервале, где точки 
и 
являются независимыми. Для того, чтобы провести вычисления, удобно перейти к теории, где является периодической координатой. Это можно сделать, рассматривая две идентичные независимые конформные теории на интервале длиной , "склеивая" концы интервалов и образуя окружность, так что из двух теорий возникает одна (с областью изменения координаты от 0 до 
).
Теперь имеется две копии алгебры Вирасоро со стандартно определенными элементами 
и 
в качестве генераторов координатных преобразований, 
и 
, соответственно. Согласно соотношению (12) гамильтониан системы 
, который является генератором сдвигов по времени 
, представляется в виде:
. (13)
Схожим образом, сдвиги системы вдоль координаты 
генерируются оператором импульса
. (14)
Поскольку система находится в покое, среднее значение импульса равно нулю. С другой стороны, среднее значение совпадает с энергией , см. (9). Эти условия фиксируют средние значения 
и 
операторов 
и 
, соответственно. В данном квантовом состоянии
. (15)
В пределе, когда велико ( мало), получаем, что 
. В этом случае можно использовать так называемую формулу Карди, чтобы вычислить вырождение и . В рассматриваемом приближении полное вырождение 
есть
(16)
и, учитывая, что в нашем случае , находим
. (17)
Теперь необходимо учесть, что является числом состояний системы с удвоенным гильбертовым пространством, которое получилось в результате периодизации координаты z. Подлинное число степеней свободы, которое нас интересует равно 
. Для энтропии это дает величину
, (18)
которая в точности совпадает с требуемым значением (9). Чтобы получить энтропию перепутывания в состоянии Хартла-Хокинга, в (18) необходимо положить
.
Таким образом, на примере упрощенной модели мы показали, что конформная симметрия вблизи горизонта играет важную роль в подсчете степеней свободы черной дыры (если микроскопическое происхождение энтропии Бекенштейна-Хокинга действительно связано с потерей информации внутри горизонта). Дальнейшее исследование проблемы энтропии черной дыры на основе данной симметрии требует отождествления самих степеней свободы и более точного описания их свойств.
Рецензенты:
Исаев А.П., д.ф.-м.н., профессор, заместитель директора Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г.Дубна.
Казаков Д.И., д.ф.-м.н, главный научный сотрудник Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна.