Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,931

A NOTE ON ENTANGLEMENT ENTROPY NEAR BLACK HOLE HORIZON AND CONFORMAL SYMMETRY

Fursaev D.V. 1
1 Dubna International University
Показано, что энтропия квантового перепутывания квантовых возбуждений вблизи горизонта черной дыры может быть получена методами конформной теории поля. Идея состоит в том, что подсчет энтропии за счет размерной редукции сводится к эквивалентной задаче на пространстве двумерной черной дыры. Конформная симметрия в системе отсчета наблюдателей, находящихся в состоянии покоя вблизи горизонта, возникает за счет того, что полевые возбуждения являются эффективно безмассовыми. Основное наблюдение работы состоит в том, что вырождение определенных генераторов алгебры Вирасоро двумерных конформных преобразований может быть подсчитано универсальным образом по так называемой формуле Карди. Вырождение определяется исключительно средним значением соответствующего генератора и центральным зарядом алгебры. В работе показано, как использовать формулу Карди для воспроизведения тепловой энтропии квантов вблизи горизонта. Использован также другой известный факт, что редуцированная матрица плотности, связанная с потерей информации под горизонтом, в состоянии Хартла-Хокинга имеет тепловой характер. Полученный результат дает потенциальную возможность связать две интерпретации энтропии Бекенштейна-Хокинга: интерпретацию, основанную на квантовом перепутывании, и интерпретацию, основанную на использовании конформной симметрии состояний у горизонта.
It is pointed out that the entanglement entropy of quantum fields near the horizon of a black hole can be derived by means of a conformal field theory. The idea is to use for the computation of the entropy a dimensional reduction. This allows one to come to an equivalent problem on a space-time of a two-dimensional black hole. Conformal symmetry appears in a reference frame of observers which are at rest with respect to the horizon as a result of the fact that field excitations are effectively massless. The key observation of the paper is that the degeneracy of certain generators of the Virasoro algebra of two-dimensional conformal transformations can be calculated by a universal method on the base of the Cardy formula. The degeneracy is determined only by an average value of the corresponding generator and by a central charge. We show how the Crady formula can be used to reproduce a thermal entropy of quanta near the horizon. We also use another known property: the reduced density matrix related to an information loss under the horizon is a thermal density matrix in the Hartle-Hawking state. A potential importance of our result is that it allows one to connect two interpretations of the Bekenstein-Hawking entropy, one interpretation which is based on a quantum entanglement and another interpretation which makes use of the conformal symmetries in the near horizon region.
conformal field theory
black holes
quantum entanglement

В последнее десятилетие огромный интерес теоретических исследований в области гравитации был связан с ролью конформных симметрий, которые возникают на многообразиях, являющихся асимптотически многообразиями с геометрией анти-де Ситтера [1–3]. Классические конформные симметрии фонового многообразия фактически определяют тип дуальной квантовой теории поля, возникающей на границе пространства. Роль конформных симметрий также оказывается важна для подсчета состояний некоторого типа 3-мерных черных дыр [4, 5], и, возможно, имеет ключевое значение для объяснения энтропии физических черных дыр [6].

Цель настоящей работы – обратить внимание на роль конформной симметрии при подсчете энтропии квантового перепутывания квантовых возбуждений на горизонте черной дыры. Для простоты мы рассмотрим случай сферически-симметричных статических черных дыр (решения Шварцшильда или Рейснера-Нордстрема). За счет сферической симметрии любую полевую теорию на данных многообразиях можно редуцировать (в духе Калузы-Кляйна) к "башне" двумерных теорий поля. Поля в каждой такой двумерной теории распространяются только в радиальном направлении. Вблизи горизонта поля являются эффективно безмассовыми, и поэтому обладают двумерной конформной инвариантностью. Отметим, что на значение конформных симметрий при подсчете энтропии перепутывания впервые было обращено внимание в работе [8].

Для того, чтобы продемонстрировать безмассовый характер полевых возбуждений вблизи горизонта, рассмотрим двумерную часть статической метрики

, (1)

где координаты и соответствуют положениям горизонта и границы пространства. На горизонте . Для неэкстремальной черной дыры производная не обращается в ноль, и можно определить константу поверхностной гравитации . Рассмотрим далее в качестве примера скалярное поле на пространстве-времени с метрикой (1). Уравнение для поля имеет следующий вид:

. (2)

Это уравнение сводится к релятивистскому аналогу уравнения Шрёдингера для волновых функций одночастичных полевых возбуждений с частотой . Производя в уравнении (2) подстановку , приходим к следующей задаче:

, (3)

, (4)

где координаты и связаны соотношением . Как следует из (4), всеми массовыми слагаемыми можно пренебречь из-за наличия множителя . Поэтому одно-частичный оператор энергии есть просто . Аналогичное свойство справедливо для других полей (электромагнитного поля и поля Дирака), см. [9]. Фактически вблизи горизонта оказывается гамильтонианом одночастичных возбуждений на ультрастатическом пространстве с метрикой

, (5)

которая связана с исходной метрикой (1) конформным преобразованием. В (5) положение горизонта отображается на бесконечность, поэтому мы имеем дело с полями, распространяющимися на неограниченном пространстве. Тепловая энтропия таких полей имеет инфракрасную расходимость. Делая размер системы конечным и равным , можно легко найти свободную энергию , энергию и энтропию квантов при некоторой температуре

. (6)

Конечный размер эквивалентен введению обрезания вблизи горизонта на некотором собственном расстоянии . Причина, по которой от обсуждения энтропии перепутывания мы перешли к обсуждению тепловой энтропии, проста. Энтропия перепутывания связана с потерей информации о квантах, распространяющихся внутри горизонта. Важно, что редуцированная матрица плотности, возникающая при интегрировании по состояниям внутри черной дыры имеет тепловой характер с температурой Хокинга. Поэтому расчет энтропии перепутывания совпадает с вычислением соответствующей тепловой энтропии. Для того, чтобы найти соотношение между параметрами и , метрику (1) нужно представить в другой форме:

. (7)

При малых

, (8)

где – значение конформного фактора на горизонте, а граничное значение . Энтропия перепутывания, отвечающая вакуумному состоянию Хартла-Хокинга вычисляется при температуре Хокинга . Для безмассовых полей величина в (6) дает точный (в лидирующем приближении) результат для энтропии.

Покажем теперь, как получить тот же результат используя конформную симметрию. Будем считать, что имеется безмассовых скалярных полей, тогда в лидирующем приближении

. (9)

Соответствующая конформная теория поля вблизи горизонта характеризуется центральным зарядом , см. [7]. Центральный заряд определяет коммутационные соотношения алгебры Вирасоро конформной группы. Связь между гамильтонианом системы и генераторами алгебры Вирасоро можно установить, представляя метрику (5) в следующем виде:

, (10)

. (11)

Следовательно,

. (12)

Отметим, что в (10) координата пробегает значения от 0 до . Этот отвечает теории на интервале, где точки и являются независимыми. Для того, чтобы провести вычисления, удобно перейти к теории, где является периодической координатой. Это можно сделать, рассматривая две идентичные независимые конформные теории на интервале длиной , "склеивая" концы интервалов и образуя окружность, так что из двух теорий возникает одна (с областью изменения координаты от 0 до ).

Теперь имеется две копии алгебры Вирасоро со стандартно определенными элементами и в качестве генераторов координатных преобразований, и , соответственно. Согласно соотношению (12) гамильтониан системы , который является генератором сдвигов по времени , представляется в виде:

. (13)

Схожим образом, сдвиги системы вдоль координаты генерируются оператором импульса

. (14)

Поскольку система находится в покое, среднее значение импульса равно нулю. С другой стороны, среднее значение совпадает с энергией , см. (9). Эти условия фиксируют средние значения и операторов и , соответственно. В данном квантовом состоянии

. (15)

В пределе, когда велико ( мало), получаем, что . В этом случае можно использовать так называемую формулу Карди, чтобы вычислить вырождение и . В рассматриваемом приближении полное вырождение есть

(16)

и, учитывая, что в нашем случае , находим

. (17)

Теперь необходимо учесть, что является числом состояний системы с удвоенным гильбертовым пространством, которое получилось в результате периодизации координаты z. Подлинное число степеней свободы, которое нас интересует равно . Для энтропии это дает величину

, (18)

которая в точности совпадает с требуемым значением (9). Чтобы получить энтропию перепутывания в состоянии Хартла-Хокинга, в (18) необходимо положить.

Таким образом, на примере упрощенной модели мы показали, что конформная симметрия вблизи горизонта играет важную роль в подсчете степеней свободы черной дыры (если микроскопическое происхождение энтропии Бекенштейна-Хокинга действительно связано с потерей информации внутри горизонта). Дальнейшее исследование проблемы энтропии черной дыры на основе данной симметрии требует отождествления самих степеней свободы и более точного описания их свойств.

Рецензенты:

Исаев А.П., д.ф.-м.н., профессор, заместитель директора Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г.Дубна.

Казаков Д.И., д.ф.-м.н, главный научный сотрудник Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна.