Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В MATLAB

Калмычков В.А. 1 Курганская Л.В. 2 Шестова Е.А. 3 Егошин А.В. 4 Шумков Д.С. 4
1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образо-вания «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)»
2 Федеральное государственное бюджетное учреждение науки “Институт проблем управления сложными си-стемами Российской Академии Наук” (ИПУСС РАН)
3 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образо-вания “Южный федеральный университет”
4 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Поволжский государственный технологический университет”
В статье приводится подход моделирования квантовых состояний, определяющих свойства некой аб-страктной системы, средствами среды проектирования и моделирования Matlab, а также средствами инструментального пакета Simulink, входящего в состав данной среды. Описывается представление квантовой системы двумя способами: в виде векторов состояний и в виде матриц плотности. Рассматри-ваются унарные, бинарные и тернарные логические операции над кубитами, называемые квантовыми преобразователями. Описан процесс задания кубитов, способ их визуализации, применение квантового преобразования к кубитам и визуализация результатов работы преобразователей в среде Matlab. Разра-ботана модель, которая показывает применение двухкубитного преобразователя контролируемое НЕ (CNOT) с последующей визуализацией результата его работы в системе визуального моделирования Simulink. Сделаны выводы о применимости сред Matlab/Simulink к задачам моделирования квантовых систем.
гильбертово пространство
квантовый преобразователь
кубит
моделирование
1. Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения. – М.: Мир, 1983.
2. Калмычков В. А., Матвеева И. В. Модельные представления в проектировании высоко-производительных квантовых вычислений. – СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012.
3. Birkhoff G., von Neumann J. The logic of quantum mechanics // Annals of Mathematics. – 1936. № 37. – P. 823–843.
4. Deutsch D. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer. – London: Proc. Roy. Soc. Ser. A., 1985. – Vol. 400. – P.97–117.
5. Elementary gates for quantum computation // A. Barenco, C. H. Bennett, R. Cleve et al. // Physi-cal Review. – 1995. – Vol. 52, № 5. – P. 3457–3467.

Введение

Активное вторжение в область нанотехнологий должно сочетать рассмотрение вопросов, связанных с подготовкой вычислительной среды на атомарном уровне, с представлением различных аспектов классических и неклассических алгоритмов, обеспечивающих возможность эффективного использования такой среды. В этом случае в качестве языка спецификаций и средства описания неклассических алгоритмов может быть использован формализм алгебры гильбертова пространства [4], позволяющий представить совместно описание и своеобразную декомпозицию на элементарные операции. Первые предложения по квантовой логике были сделаны Биркхофом и фон Нейманом [3]. Согласно их подходу, ставшему классическим, значение элементарных экспериментальных положений квантовой теории расценивается как определенные подходящие наборы состояний квантовых объектов. Так как эти наборы должны удовлетворить некоторым специальным замкнутым условиям, то в структуре традиционной квантовой логики положения могут быть адекватно интерпретируемы как подпространства гильбертова пространства, связанного с исследуемой физической системой.

В классической теории состояние определяется заданием всех координат и скоростей составных частей системы в определенный момент времени. В квантовой теории квантовое состояние – это полный набор данных (физических величин), определяющих свойства системы. Какие именно данные определяют состояние – зависит от конкретной системы. Так как состояние – совокупный набор данных, то можно сказать, что состояние есть объект типа «вектор» в Гильбертовом пространстве.

Простейшим является пространство двух базовых состояний – квантовый бит (кубит). В квантовой теории информации кубит определяется как единица квантовой информации, аналогично тому, как бит определяется как единица в классической теории информации.

Главным отличием квантового двухуровневого элемента (кубита) от классического бита с двумя булевыми состояниями 0 или 1, принимаемыми с вероятностями либо P(0) = 1, либо P(1) = 1, является способность кубита находиться одновременно сразу в обоих своих базисных состояниях, т. е. образовывать когерентную суперпозицию базисных квантовых состояний, которая в случае чистого (когерентного) квантового состояния описывается одним из двух эквивалентных способов, а именно:

а) вектором состояния (это спинор первого ранга в двумерном гильбертовом пространстве состояний, в котором базисные векторы состояний играют роль единичных ортогональных векторов – ортов), представляемым двухрядной матрицей-столбцом: , , где – комплексные амплитуды, , – вероятности, с которыми спин находился в базисных состояниях и (для записи векторов используется нотация Дирака). Вектор состояния характеризуется тремя независимыми вещественными параметрами (по 2 вещественных числа на и без одного, обусловленного наличием ограничения );

б) матрицей плотности (матрица плотности была введена фон Нейманом [3] для описания статистических концепций в квантовой механике. Данное представление дает возможность избежать введения лишних переменных и экономным способом описать всю доступную информацию о системе):

, , где – знак эрмитова сопряжения.

Если квантовая система описана с помощью матрицы плотности [1], то при переходе к классике у матрицы плотности пропадут недиагональные элементы и .

На физическом уровне кубит может быть представлен, например, как спин электрона, пользуясь его основным свойством – наличием только двух значений проекции спина, которые могут быть экспериментально измерены.

Пусть базисные состояния и представлены в виде двух векторов: и . Тогда для двух векторных бит в общем случае могут быть получены следующие 4 состояния, определяющие ортогональный базис: .

Например, при использовании этой формы записи одно из состояний формируется как .

Набор N кубитов составляет квантовый регистр. Регистр, в общем случае, также подчиняется принципу суперпозиции и находится одновременно во всех своих базовых классических состояниях, число которых . Произвольное состояние регистра записывается в виде . Общее состояние такой системы кубитов описывается тензорным произведением входящих в нее кубитов. Для матриц произведение Кронекера (тензорное) выполняется по правилу: .

Любая логическая операция с кубитами называется квантовым вентилем (преобразователем). По числу кубитов преобразователи делятся на одно- и многокубитные. Преобразователь переводит одно состояние регистра в другое. Физически реализуемые преобразователи соответствуют унитарным операциям с волновой функцией регистра. Из унитарности оператора следует его обратимость. Для демонстрации действия квантового преобразователя на кубиты используют матричную запись унитарного оператора [5].

В теории классических вычислений показано, что любую логическую операцию можно представить как совокупность базовых операций, например, парой NOT и XOR. Аналогично в квантовом случае: любую обратимую унитарную операцию можно представить, например, как один трехкубитный преобразователь Тоффоли (CCNOT) или Фредкина (CSWAP) или одно- и двухкубитный преобразователи (например, NOT и CNOT). Примеры квантовых преобразователей приведены в [2].

Однокубитные состояния могут быть выражены как векторы в пространстве, и в этом представлении есть пространственные вращения:

по оси x: , по оси y: , по оси z: .

Однокубитный преобразователь NOT.

Действие преобразования Адамара (H) на каждый его вектор приводит к новому состоянию, которое фиксирует изменение положения вектора после преобразования:

.

Примерами двухкубитных преобразователей является преобразователи контролируемое НЕ (CNOT) и SWAP, который обеспечивает обмен содержимым между двумя кубитами. Введенные операторы позволяют создавать совокупность кубитов и преобразовывать их с помощью унитарных матриц.

Описание решения

Задание кубитов и визуализация матриц могут быть осуществлены в среде Matlab.

Явное задание первого кубита:

Q1=[1; 0]

Явное задание второго кубита:

Q2=[0; 1]

Визуализация матриц плотности двух кубитов (рис. 1, верхние левые графики):

RD1 =10 00; RD2 =0001

»subplot(1,2,1); bar3(RD1);

»subplot(1,2,2); bar3(RD2);

Применение преобразователя Адамара к обоим кубитам дает следующий результат

HQ1 =0.7071, 0.7071; HQ2 =0.7071, –0.7071

Визуализация результата (рис. 1, верхние правые графики)

RD1_H =0.5000, 0.5000, 0.5000, 0.5000

RD2_H =0.5000, –0.5000, –0.5000, 0.5000

Рисунок 1. Визуализация матриц плотности двух кубитов (верхние левые графики); визуализация результата применение преобразователя Адамара к обоим кубитам (верхние правые графики); визуализация применения контролируемого обмена (нижние левые графики); визуализация применения контролируемого НЕ (нижние правые графики)

Применение контролируемого обмена с визуализацией результата (рис. 1, нижние левые графики)

RD1_H =0.5000, –0.5000, –0.5000, 0.5000

RD2_H =0.5000, 0.5000, 0.5000, 0.5000

»subplot(1,2,1); bar3(RD1_H);

»subplot(1,2,2); bar3(RD2_H);

Применение контролируемого НЕ с визуализацией результата (рис.1, нижние правые графики)

RD1_H =0.5000, –0.5000, –0.5000, 0.5000

RD2_H =0.5000, –0.5000, –0.5000, 0.5000

»subplot(1,2,1); bar3(RD1_H);

»subplot(1,2,2); bar3(RD2_H).

Особое место среди инструментальных приложений занимает система визуального моделирования SIMULINK. Разработка моделей средствами SIMULINK (s-моделей) основана на использовании технологии Drag-and-Drop.

Блоки, включаемые в создаваемую модель, могут быть связаны друг с другом как по информации, так и по управлению. Тип связи зависит от типа блока и от логики работы модели. Данные могут быть скалярными величинами, векторами или матрицами произвольной размерности. S-модель может иметь иерархическую структуру, число уровней иерархии практически неограниченно.

Представление преобразователя CNOT на рис. 2.

Рисунок 2. Преобразователь CNOT, реализованной в пакете Simulink

В блоке total_qubits вводится число кубитов, которое нужно создать. В блоке init формируется исходное состояние. Блок rotate_y(2) выполняет поворот второго кубита по оси y, для того чтобы преобразование CNOT можно было пронаблюдать.

Блоки to_Graph1, to_Graph2, to_Graph3 и to_Graph4 выполняют отображение состояния кубитов до и после преобразования. Блок CNOT выполняет контролируемое НЕ.

Пример работы модели показан на рис. 3. Первые два графика отображают исходные состояния кубитов, а третий и четвёртый – состояния после выполнения преобразования CNOT.

Рисунок 3. Преобразователь CNOT, реализованной в пакете Simulink

В данном случае второй кубит – контролирующий, поэтому с ним никаких изменений не произошло. Первый кубит – контролируемый, он изменил своё состояние.

Заключение

Разработан и апробирован подход моделирования операторов квантовых состояний в среде проектирования и моделирования Matlab и в его инструментальном пакете Simulink на примере работы двухкубитного преобразователя контролируемое НЕ (CNOT). Данный пример демонстрирует возможность применения сред Matlab/Simulink для проектирования систем, описываемых квантовыми состояниями.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы» (Государственный контракт № 14.B37.21.2021 от 11 ноября 2012 г).

Рецензенты:

Водяхо Александр Иванович, д.т.н., проф. кафедры вычислительной техники. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)», г. Санкт-Петербург.

Пузанков Дмитрий Викторович, д.т.н., зав. кафедрой вычислительной техники. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)», г. Санкт-Петербург.


Библиографическая ссылка

Калмычков В.А., Курганская Л.В., Шестова Е.А., Егошин А.В., Шумков Д.С. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В MATLAB // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 1.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=8132 (дата обращения: 11.12.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074