В теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению рассматривается [1,2] нелинейная система 
(1) где 
непрерывная ограниченная матрица в промежутке
и векторная функция
непрерывна по 
в 
и непрерывна дифференцируема по 
в области
.Рассматриваем систему (1),гденепрерывная неограниченная матрица, определенная в . Необходимые сведения содержатся в [3].
Tеорема. Пусть система (1) удовлетворяет следующим условиям: 1) система 
(2) обобщенно-правильная относительно некоторого 
; 2) все показатели Ляпунова относительно системы (2) отрицательны, функция непрерывна по в и непрерывна дифференцируема по в области и удовлетворяет неравенству 
, где 
и 
–функция на , с нулевым показателем Ляпунова относительно . Тогда нулевое решение системы (1) экспоненциально устойчиво.
Доказательство. Пусть
наибольший обобщенный показатель системы (2). Возьмем 
, что 
и выполним преобразование: 
. Тогда из (1) получим 
(3), где 
,
. Здесь 
непрерывна по в и непрерывна дифференцируема по
в области
.Система 
(4)обобщенно-правильная. Уравнение (3) эквивалентно интегральному уравнению 
(5), где 
- матрица Коши системы (4). В силу выбора 
все обобщенные показатели системы (4) отрицательные, поэтому существует 
и 
в.Вдля матрицы Коши имеет место оценка 
,
, 
. Имеем 
где 
. Оценивая решений (5), по схеме как в [2] получим, что нулевое решение системы (1) экспоненциально устойчиво по Ляпунову. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Ляпунов А.М. //Собрание сочинений. В 6-ти т. 1956.Т.2. М.-Л.473 с.2.
2. Демидович Б.П.//Лекции по математической теории устойчивости.1967. 472 с.
3. Алдибеков Т.М.//Дифференциальные уравнения. 2006. Т.42. №6. С.859.
Библиографическая ссылка
Алдибеков Т.М. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ // Современные проблемы науки и образования. – 2008. – № 3. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=770 (дата обращения: 16.10.2024).