Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

О ТОЧЕЧНОЙ ПОЛНОТЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Василева М.В.
Теория оптимального управления систем с распределенными параметрами находит широкое практическое применение при управлении технологическими процессами, в основе которых лежат явления переноса вещества, импульса и энергии. В данной работе доказана точечная полнота систем уравнений в частных производных гиперболического типа, которые исспользуются для описания объектов с распределенными параметрами.

Теория управления объектами с распределенными параметрами стала разрабатываться уже после того, как были получены основные результаты в теории оптимизации для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и в отличие от последней, имеет гораздо менее завершенный характер. Это связано с трудностью исследования уравнений в частных производных, при наличии сложных граничных и начальных условий, а также с усложнением характера дополнительных ограничений, вызванных конкретными практическими постановками задач.

В настоящее время есть много работ, освещающих те или иные проблемы теории оптимального управления объектами, состояние которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Среди них: оптимальные задачи, вопросы существования и апроксимации оптимальных решений, управляемость, наблюдаемость и идентификация объектов, необходимые и достаточные условия оптимальности процесса и др.

В данной работе исследуется вопрос о точечной полноте систем уравнений в частных производных гиперболического типа.

Понятие точечной полноты впервые было введено L. Weiss’ом, [3], который использовал его при исследовании управляемости систем с запаздыванием. До сих пор доказана точечная полнота линейных систем без запаздывания, при достаточно малом запаздывании [2] и др.

Пусть состояние объекта с распределенными параметрами описывается следующей системой уравнений в частных производных гиперболического типа:

                                   (1)

где x - n вектор, характеризирующий состояние системы,  постоянные матрицы, 

Для того, чтобы однозначно определить решение системы, зададим дополнительные условия типа Гурса на характеристиках  и  системы:

                                                             (2)

и условие согласованности:

Определение: Систему (1) – (2) назовем точечно полной, если для любого n - вектора p,  ¹ 0 и любых  выполняется:

  0

Попробуем найти условия, при которых система (1) – (2) будет точечно полной. Для этого сначала запишем решение системы в более компактном виде. Вводим неизвестную матричную функцию  размерности , для которой предполагаем, что непрерывна по совокупности аргументов вместе с производными по  и . Умножим систему (1) слева на  и проинтегрируем в пределах от 0 до t и от 0 до s:

Применяя формулу интегрирования по частям и замены порядка интегрирования, преобразуем все интегралы в левой и правой части последнего равенства, после чего получаем:

Поскольку функция  неопределенная, потребуем от нее выполнения следующих условий:

          (3)

                                     (4)

 

                                              (5)

где  единичная матрица.

Сопряженная с системой (1) система (3), вместе с дополнительными условиями (4) на прямых  и  и условие (5) в точке  полностью определяют функцию , которую по аналогии с математической физикой можно назвать матричной функцией Римана.

Теперь, учитывая (3) - (5), можем записать решение системы (1) - (2) в следующем компактном виде:

                (6)

Допустим теперь, что система (1) не является точечно полной. Тогда, согласно определению точечной полноты, существует n – вектор  , что для любых  выполняется:

Имея ввиду (6) это условие запишется в виде:

                    (7)

Поскольку функции и  произвольные, для выполнения (7) необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

                                                   (8)

Обозначим теперь через  вектор функцию:

Из формул (3) и (8) следует, что  удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

                    (9)

с дополнительными условиями на прямых  и :

 

 

Поскольку (9) - однородное относительно функции , а начальные условия - нулевые, то следует, что:

 для  и                                (10)

Таким образом показали, что система (1) - (2) будет точечно неполной тогда и только тогда, когда существует n – вектор p, , что выполняется условие (10).

Допустим, что система (1) - (2) точечно неполная. Тогда существует вектор p, ,что выполняется  в . Вычислим  в точке . Поскольку имеет место (10), то:

С другой стороны, согласно (5) имеем:

Выполнение последних двух равенств возможно лишь при условии, что . Это противоречит допущению, что . Таким образом доказали следующую теорему:

Теорема:

Система (1) - (2) точечно полная.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Габасов Р., Ф.Кириллова. Качественная теория оптимальных процессов. Москва, „Наука”, 1971.

2. Зверкин А.М. О точечной полноте систем с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 1973, том IX, №3

3. Weiss, L. On the Controllability of Delay-Differential Systems,. SIAM, J. Control,. vol. 5, No. 4, 1967, PP. 575-587.


Библиографическая ссылка

Василева М.В. О ТОЧЕЧНОЙ ПОЛНОТЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА // Современные проблемы науки и образования. – 2008. – № 3. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=768 (дата обращения: 16.10.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074