Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ С–ТОЧНОЙ ПАРЫ В АНАЛИЗЕ

Сухотин А.М.
В статье введено понятие С-точной пары натуральных переменных: пара (m, k) переменных m ∈A и k ∈B называется С-точной парой, если для каждых соседних в Е A ∪ B ⊆ N элементов m и k найдётся число С>0 такое, что |m-k|

Cвойства бесконечности: а+∞=,∞ а x ∞=∞, ∞+∞=∞, ∞ x ∞=∞, ∞ =∞ и др. упрощают решения многих задач анализа. Однако такой подход, когда f, лишает понятие бесконечности всякой определённости и структуры, не допуская его изучения и увеличивая риск появления ошибок в доказательствах утверждений о бесконечном. Галилео Галилей, открыв, что количества натуральных чисел и их квадратов якобы равны, завещал быть осторожными в сравнении бесконечных количеств: «...свойства равенства, а также большей и меньшей величины не имеют места там, где речь идёт о бесконечности, и применимы только к конечным количествам» [1, с. 140-146]). С конца XIX века подобные парадоксы стали объясняться с помощью взаимно однозначного соответствия между множествами А и В. Для конечных множеств А и В проверка сюръективности отображения ψ : A →B , т. е. условия ψ (A) = B, не вызывает затруднений. Аналогичная процедура для отображений бесконечных множеств не является такой тривиальной, более того, выполнимость формулы, например,φ : N→ N  на всём множестве  N f {1,2,...,n...} натуральных чисел, как правило, требует доказательства, не смотря на очевидность этого на некотором начальном отрезке множества N. В статье сформулированы и доказаны признаки сюръективности инъективных отображений φ: N→ N . Введённые понятия нашли приложения в теории функций и в теории чисел [3, 4].

1. Об отображениях конечных множеств и о понятии С-точной пары натуральных переменных

Три очевидных утверждения об отображениях конечных множеств приведены ниже для сравнения суждений о конечном и бесконечном. Как принято в анализе, биективность множеств А и В обозначается как А~В.

Утверждение 1.1. Конечные множества А и В биективны, т. е. существует инъективное отображение ψ : A →B и  ψ (A) = B тогда и только тогда, когда равны количества их элементов: ( A ~В) ⇔ (|A|=|B|).

Утверждение 1.2. Не существует биекции между конечным множеством и его собственным подмножеством A, другими словами, инъективное отображение φ : A →B является неосуществимым на всем множестве A  B.

Утверждение 1.3. Пусть А и В - собственные подмножества конечного множества С и A ~В, тогда всякая инъекция φ : A →B может быть продолжена до биекции ψ : C →C, по которой ψ(C)= C.

В статье доказано, что содержание Утверждений 1.2-1.3 сохраняется для отображений бесконечных подмножеств А и В множества N.

Под переменной ниже понимается тройка (x, X, θ), где x - символ переменной, X - множество значений переменной и θ - порядок во множестве Х. Бесконечность множества N натуральных чисел понимается в связи с принципом математической индукции как неограниченная возможность перехода от (n) к (n+1), а фраза «при предельном переходе в F(n)» означает следующее:

ff.         (1.1)

Принцип предельного перехода (1.1) и равномерная направленность множества N мотивируют, почти точно следуя одинаково упорядоченным переменным Г. М. Фихтенгольца [6, с. 643-644], введение понятия С-точной пары. Пусть множества АN и  ВN  бесконечны, B ⊇Ø   и Е f  N.

Определение 1.1. Пара (m, k) натуральных переменных m A и kB называется С-точной парой, если для каждых соседних в Е элементов m и k найдётся число С>0 такое, что

|m-k|<C.                                              (1.2)

Условие (1.2) C-точности пары (n, m) имеет следующую эквивалентную, что очевидно, форму записи:

f           (1.2')

где f

2. О признаках сюръективности отображения φ: N→N

Ниже, по умолчанию, рассматриваются инъективные функции φ: N→N. Пусть последовательность ξf {1,n1, n2,...,ni,..} ⊂N , N (ξ)f { i : n ξ) ⊂N и f. Пусть далее, Ni f{1,2,....ni}, Δi+1 f Ni+1 |Ni . Последовательность ξ и инъективное отображение φ: N→ N определяют ∀N (ξ) две последовательности { δi } и { di} неотрицательных целых чисел, где:

δi f f{ φ(n)- ni } ≥0, di  f | Di | ≥0, Di fNi (Ni ).                       (2.1)

Если ff | f| ≥ 0,  f f φ (Ni )| Ni ,то очевидно, что f. Действительно, f, если { f, f} = Ø. В иных случаях  f. Отображение φ: N→N:  определяет также последовательность { φn } f целых чисел, где f. Справедливо следующее

Утверждение 2.1. Если f и для некоторой последовательности ξ f, то справедливо неравенство f.

● Если ξ=N, то f что очевидно. В общем случае,∃f  такое, что δφ = f. Тогда найдётся f. Если f, то вновь  f если же а, то а-  а-f. Тогда f. Однако, положив всего лишь f, мы получим пару (ξ, N(ξ)) такую, что вновь имеем равенство f Поэтому для всякого инъективного отображения φ: N→N существует последовательность x такая, что

f= . ■                                           (2.2)


Ниже мы формулируем [4, c. 88] непосредственное и очевидное следствие определения множества Di  в (2.1) и определения сюръективности отображения φ: φ (N) =N  (ср. Утверждение 1.1).

Утверждение 2.2. Необходимое условие сюръективности каждого инъективного отображения φ: N→N имеет следующие две эквивалентные формы:

fØ и Ni ⊂ φ (Ni+j).       (2.3)

● Мы докажем, например, что  fØ) ⇒ (Ni ⊂ φ (Ni+j) ).Действительно, включение f следует из f Ø и определения Di+1 , значит Di ⊂ φ (Ni+j) . Кроме того, Ni \ Di ⊂ φ (Ni ⊂ φ (Ni+jпо определению Di. Следовательно, Ni ⊂ φ (Ni+j) . Обратная импликация доказывается аналогично. ■

Ниже фраза «для почти всех i» обозначает «за исключения конечного множества индексов i» и по определению мы пишем «f ».

Достаточные признаки сюръективности (а) и антисюръективности (b) функции j, являющиеся следствием Утверждения 2.2 и определения в (2.1) последовательности { di}, даны в терминах di ниже.

Утверждение 2.3. Достаточные условия сюръективности (а) и антисюръективности (b) инъективного отображения φ: N→N  имеют, соответственно, вид

(a) ,     f                              (2.4a)

(b) .                 f            (2.4b)

● Каждое число di определяет количество элементов n из подмножества Ni, не имеющих прообраза φ-1 (n) в Ni, поэтому неограниченность последовательности {di }, i N (ξ), противоречит условию φ (N) =N сюръективности отображения φ. Условие (2.4a) гарантирует существование числа i0 такого, что для отображения φ справедлива следующая цепь импликаций:

f. ■

Как показывают примеры, условия (2.4a) и (2.4b) не являются необходимыми, соответственно, для сюръективности и антисюръективности функции φ.

Про антисюръективное инъективное отображение скажем, что оно потенциально не осуществимо на всем множестве N (ср. с Утверждением 1.2).

Теорема 2.1. Последовательностиi} и {di}, i   N(ξ), определяемые парой (ξ, φ), удовлетворяют [4, c. 86] одному и только одному из трёх следующих условий:

(a) ,        f ∈ N(ξ) : ( δ= 0) ⇔ (di =0)             (2.5a)

(b) (∃C1, C2, C2 ≤ C1 ∈ N): (f ∈ N(ξ) (0 < δi < C1 ⇔ (0< di < C2)), (2.5b)

 (c) i   N(ξ) (di → ∞) ⇔ (δ→ ∞) .   (2.5c)

Если i ∈ N(ξ) δi =0, то  i ∈ N(ξ) φ (Ni ) =Ni и, по определению, di =0, и, наоборот, из чего следует (2.5a). Предположим, далее, что 0< δi < C1, тогда di= f. В силу последнего условия, очевидно, что неограниченность последовательности { δi} является следствием неограниченности последовательности {di  }. В частности, при i ∈ N(ξ) справедлива импликация (di  → ∞) ⇒ i  → ∞) .

Пусть далее ∃C2 N  и i ∈ N(ξ) di < C2 . Теперь мы покажем, что совмещение двух условий: f и неограниченность последовател ьности { δi} приводит к противоречию. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что  δi  → ∞. Из δi  → ∞  также следует, что δi-q  → ∞)  при всех конечных q и, в том числе, при q = C2. Пусть f, тогда ∃n*  такое, что i > n* , ki-q > ni. Из этого следует, что для всех j таких, что , i-q ≤ j ≤ i, ki  Di и, так как φ( Ni)=( Ni \ Di) ∪ Di- , то , т. е. все ki Di-. Значит, число di-, равное количеству элементов Di-множества , удовлетворяет следующему неравенству: di(i)-(i-q-1)  f.

Вместе с нашим предположением, что C2 > di-,   мы имеем противоречие C2 ≥ C2+1, которое подтверждает (2.5b) и вместе с ним (2.5c). ■

Следствие Утверждений 2.2-2.3 и Теоремы 2.1 записано ниже.

Утверждение 2.4. Необходимый признак сюръективности инъективного отображения φ: N→N  в терминах последовательности {  δi  } имеет следующую форму:

f  ∈ N(ξ) 0 ≤ δ ≤ Cξ .              (2.6)

Ещё один необходимый признак сюръективности инъекции φ: N→N   имеет [3, p. 8] с учётом равенства (2.2) даёт следующее предложение.

Теорема 2.2. Ограниченность последовательности { φn} целых чисел f, n N , является необходимым условием для сюръективности инъективного отображения j: , т. е. из  следует, что

f(φ (n) :n ) =1.        (2.7)

Как показывают примеры, необходимые условия (2.3) и (2.7) сюръективности инъекции φ: N→N  являются независимыми и, следовательно, ни одно из этих условий не может быть достаточным.

Последовательность ξ{1,n1, n2, ...} назовём последовательностью с ограниченным шагом, если ∃С, С>0, такое, что   ∈ N (ξ) ni+1 -ni  <C. Утверждение 2.5, доказанное ниже, является, как и Теорема 2.2, совсем не очевидным.

Утверждение 2.5. Инъективное отображение φ*: N→N  , определяющее некоторую последовательность ξ* = {1,m1, m2, ...} где mi+1 > mi , с неограниченным шагом является антисюръективным или, другими словами, будет неосуществимо на всём множестве N.

● Пусть, ξ* будет последовательностью с неограниченным шагом, т. е. для отображения φ*, определяющего ξ*, и некоторой последовательности ξ

f.                                     (2.8)

Теперь при ξ=N и, следовательно, N (ξ) = N имеем ni = i+1. Значит, для ∈ N \ {1}  φ* (i) = mi-1 и в этом случае (см. (2.1)) fmi  -i, N. Поэтому  ∈ f (mi+1 -(i+1))-(mi -i)= mi+1 - mi-1. Таким образом, в силу условия (2.8) неравенство fС-1 справедливо для i(С) ∈  N. Следовательно, f-1+С. Неограниченность последовательностиi*} , соответствующей паре (N, φ*), следует из последнего неравенства в силу произвольности в (2.8) числа С. Значит, отображение φ*, определяющее последовательность  ξ*  из условия теоремы, является в силу (2.6) антисюръективным.

Утверждение 2.5 имплицирует следующую теорему.

Теорема 2.3. Пусть A f{n} ⊆ N и B f{m} ⊆ N  являются бесконечными подмножества множества N. Тогда существует число C ∈  N такое, что пара (n, m) переменных n и m является C-точной парой переменных (1.2).

●В силу Утверждения 2.5 разность между соседними элементами каждого из множеств А и В ограничена. Следовательно, естественно упорядоченная последовательность ξ f B будет также последовательностью с ограниченным шагом, т. е. разность между любой парой её соседних членов ограничена, в том числе, и между соседними элементами подмножеств А и В. Поэтому, как описано в условии (1.2), пара (n, m), (n, m) ∈A x B, является C-точной парой. ■

Следующее ниже Теорема 2.4 является [3, 4] следствием условий (2.3), (2.4a), (2.4b) и (2.7) и обобщает Утверждение 1.2 на множество N.

Теорема 2.4. Не существует биекции между множеством N натуральных чисел и его собственным подмножеством А   N.

Легко показать, что содержание доказанных выше предложений сохраняется для инъективных отображений φ: А → А, где А   N.

3. Приложение понятия С-точной пары в анализе

Понятие С-точной пары используется в доказательстве следующих нетрадиционных для анализа утверждений: сходимость ограниченной числовой последовательности (а) f f f, где an  = sin ln n , предельное равенство lim rn=0 для гармонического ряда f [3, c. 12], эквивалентность ( rn0)  ⇔ ( an → 0) [4, c. 104] для произвольного числового ряда и др.

Пример 3.1. (Парадокс Г. Галилея, см. [1, с. 140-146]). Очевидно, что для отображения φ: N → N   заданного формулой φ (n)= n2 , не выполняется ни одно из необходимых условий сюръективности (2.3), (2.6) и (2.7), но справедливо условие (2.4b) антисюръективности и множество Nφ   N такое, что Nφ ∩ φ (N) = Ø, является бесконечным. Такие отображения φ: N → N можно называть (ср. [3, c. 87, 89]) тотально антисюръективными.

Пример 3.2. Докажем сходимость ограниченной числовой последовательности (а) f {an} f, где an= sin ln n.

● Докажем это утверждение от противного. Пусть последовательность (а) является расходящейся. Тогда в силу её ограниченности и леммы Больцано - Вейрштрасса [2, c. 84] найдутся, по крайней мере, два бесконечных подмножества B f {m}, A f{k} множества N такие, что f и f, где ε f b-a ≠ 0. Пусть ε (m,k) fsin ln m - sin ln k, т.е.f . Так как

ε (m,k) = f f  М sin (2-1 (ln m/k) ,

где |М| ≤ 2, то f М sin (2-1 (ln m/k) . В последнем предельном равенстве, как следует из Теоремы 2.3, пара (m, k) переменных B и k  А является С-точной парой (1.2') и

m = k + q(k) , где |q(k)|<C.                             (3.1)

Поэтому f  М f =0 в силу (3.1), что противоречит нашему предположению: ε ≠ 0. ■

Пример 3.3. В этом примере мы доказываем, следуя [3, p. 12], справедливость для гармонического ряда f предельного равенства

lim rn=0.                                             (3.2)

Частичные суммы Sm и  Sk этого ряда имеют оценки (см. [5, с. 319-320]):

Sm = f= ln m + Ce + γm, Sk =f= lnk+Ce + γk ,                                    (3.3)


где (см. [5, c. 270]) Ce=0,57721566490... - постоянная Эйлера и γ0. Пусть fff, т.е. в силу (3.3)f =f . Очевидно, что остаток rk ряда определяется равенством f. Тогда f f. В силу Теоремы 2.3 мы можем считать пару (k,m)  в последнем предельном равенстве C-точной парой натуральных переменных и в силу (1.2') положить f Поэтому справедливо равенство (3.2):

ff= f=0.

Для каждого n n частичная сумма Sn ряда f есть конечное число, а соответствующий остаток ряда больше любого конечного числа, но при предельном переходе (1.1) всё меняется шаг за шагом наоборот: члены ряда по одному «перебрасываются» из одной суммы (бесконечной) в другую и Sn→ ∞, а rn → 0, о чём формально пишут так: S = lim Sn = ∞ (в данном примере).

Эквивалентность (rn →0) ⇔ ( an → 0) для произвольного числового ряда доказывается [4, c. 104] аналогично.

Пример 3.4. Одна из форм условия Коши фундаментальности числовой последовательности {an} f имеет [2, c.99] в анализе следующий вид:

ff.            (3.4)

В условии (3.4) множества B f {n} и A f{m} совпадают с множеством N | {1,2,...,n(ε)}. Поэтому существует инъекция φ: A → B и φ(A)=B. Пусть переменные m и n в (3.4) связаны, например, f B равенством

m = ψ (n).                         (3.5)


Выполнимость (осуществимость) этого равенства на почти всём множестве B требуется условием Коши. Для этого отображение ψ: B → A, заданное формулой (3.5), должно удовлетворять необходимым условиям сюръективности (2.3), (2.6) и (2.7) отображения y и заключению Теоремы 2.3. Поэтому, в общем случае, всякая пара (p,q ) переменных p и q, (p,q )∈P x Q  A x B, необходимо должна быть С-точной парой переменных для осуществимости равенства (3.5) на всём подмножестве B.

Условие (3.4) имеет (см. [7, p. 355]) эквивалентную, но более конкретную форму записи:

f.                                 (3.6)

Равенство (3.5) согласуется с предельным условием (3.6), даже если, например, в (3.5) и (3.6) положить | m -n | < C для некоторого  [4, c. 98].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Галилей Г. Избранные труды:- Москва: «Наука», 1964. - Т. 2. -571 с.
  2. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I..-М.:МЦНМО, 2001.-XVI+664 с.
  3. Sukhotin, A M. Alternative analysis principles: Study. ‑ Tomsk: TPU Press, 2002. ‑ 43 p.
  4. Сухотин, А. М. Начало высшей математики.- Томск, Изд-во ТПУ, 2004.- 148 с.
  5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления:- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967.-Т. 2.-664 с.
  6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления:.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.-Т. 3.-656 с.
  7. Weisstein, Eric W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics.-London-New York: Chapman & Hall/CRC, 2002.-3450 p.

Библиографическая ссылка

Сухотин А.М. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ С–ТОЧНОЙ ПАРЫ В АНАЛИЗЕ // Современные проблемы науки и образования. – 2007. – № 5. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=555 (дата обращения: 02.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074