Cвойства бесконечности: а+∞=,∞ а x ∞=∞, ∞+∞=∞, ∞ x ∞=∞, ∞ ∞=∞ и др. упрощают решения многих задач анализа. Однако такой подход, когда , лишает понятие бесконечности всякой определённости и структуры, не допуская его изучения и увеличивая риск появления ошибок в доказательствах утверждений о бесконечном. Галилео Галилей, открыв, что количества натуральных чисел и их квадратов якобы равны, завещал быть осторожными в сравнении бесконечных количеств: «...свойства равенства, а также большей и меньшей величины не имеют места там, где речь идёт о бесконечности, и применимы только к конечным количествам» [1, с. 140-146]). С конца XIX века подобные парадоксы стали объясняться с помощью взаимно однозначного соответствия между множествами А и В. Для конечных множеств А и В проверка сюръективности отображения ψ : A →B , т. е. условия ψ (A) = B, не вызывает затруднений. Аналогичная процедура для отображений бесконечных множеств не является такой тривиальной, более того, выполнимость формулы, например,φ : N→ N на всём множестве N
{1,2,...,n...} натуральных чисел, как правило, требует доказательства, не смотря на очевидность этого на некотором начальном отрезке множества N. В статье сформулированы и доказаны признаки сюръективности инъективных отображений φ: N→ N . Введённые понятия нашли приложения в теории функций и в теории чисел [3, 4].
1. Об отображениях конечных множеств и о понятии С-точной пары натуральных переменных
Три очевидных утверждения об отображениях конечных множеств приведены ниже для сравнения суждений о конечном и бесконечном. Как принято в анализе, биективность множеств А и В обозначается как А~В.
Утверждение 1.1. Конечные множества А и В биективны, т. е. существует инъективное отображение ψ : A →B и ψ (A) = B тогда и только тогда, когда равны количества их элементов: ( A ~В) ⇔ (|A|=|B|).
Утверждение 1.2. Не существует биекции между конечным множеством A и его собственным подмножеством B ⊂ A, другими словами, инъективное отображение φ : A →B является неосуществимым на всем множестве A ⊃ B.
Утверждение 1.3. Пусть А и В - собственные подмножества конечного множества С и A ~В, тогда всякая инъекция φ : A →B может быть продолжена до биекции ψ : C →C, по которой ψ(C)= C.
В статье доказано, что содержание Утверждений 1.2-1.3 сохраняется для отображений бесконечных подмножеств А и В множества N.
Под переменной ниже понимается тройка (x, X, θ), где x - символ переменной, X - множество значений переменной и θ - порядок во множестве Х. Бесконечность множества N натуральных чисел понимается в связи с принципом математической индукции как неограниченная возможность перехода от (n) к (n+1), а фраза «при предельном переходе в F(n)» означает следующее:
. (1.1)
Принцип предельного перехода (1.1) и равномерная направленность множества N мотивируют, почти точно следуя одинаково упорядоченным переменным Г. М. Фихтенгольца [6, с. 643-644], введение понятия С-точной пары. Пусть множества А ⊂N и В⊂ N бесконечны, A ∩ B ⊇Ø и Е A ∪ B ⊆ N.
Определение 1.1. Пара (m, k) натуральных переменных m ∈A и k∈B называется С-точной парой, если для каждых соседних в Е элементов m и k найдётся число С>0 такое, что
|m-k|<C. (1.2)
Условие (1.2) C-точности пары (n, m) имеет следующую эквивалентную, что очевидно, форму записи:
(1.2')
где
2. О признаках сюръективности отображения φ: N→N
Ниже, по умолчанию, рассматриваются инъективные функции φ: N→N. Пусть последовательность ξ {1,n1, n2,...,ni,..} ⊂N , N (ξ)
{ i : ∃ni ∈ ξ) ⊂N и
. Пусть далее, Ni
{1,2,....ni}, Δi+1
Ni+1 |Ni . Последовательность ξ и инъективное отображение φ: N→ N определяют ∀i ∈N (ξ) две последовательности { δi } и { di} неотрицательных целых чисел, где:
δi
{ φ(n)- ni } ≥0, di
| Di | ≥0, Di
Ni |φ (Ni ). (2.1)
Если |
| ≥ 0,
φ (Ni )| Ni ,то очевидно, что
. Действительно,
, если {
,
} = Ø. В иных случаях
. Отображение φ: N→N: определяет также последовательность { φn }
целых чисел, где
. Справедливо следующее
Утверждение 2.1. Если и для некоторой последовательности ξ
, то справедливо неравенство
.
● Если ξ=N, то что очевидно. В общем случае,∃
такое, что δφ =
. Тогда найдётся
. Если
, то вновь
если же
, то
-
-
. Тогда
. Однако, положив всего лишь
, мы получим пару (ξ, N(ξ)) такую, что вновь имеем равенство
Поэтому для всякого инъективного отображения φ: N→N существует последовательность x такая, что
= . ■ (2.2)
Ниже мы формулируем [4, c. 88] непосредственное и очевидное следствие определения множества Di в (2.1) и определения сюръективности отображения φ: φ (N) =N (ср. Утверждение 1.1).
Утверждение 2.2. Необходимое условие сюръективности каждого инъективного отображения φ: N→N имеет следующие две эквивалентные формы:
Ø и Ni ⊂ φ (Ni+j). (2.3)
● Мы докажем, например, что Ø) ⇒ (Ni ⊂ φ (Ni+j) ).Действительно, включение
следует из
Ø и определения Di+1 , значит Di ⊂ φ (Ni+j) . Кроме того, Ni \ Di ⊂ φ (Ni) ⊂ φ (Ni+j) по определению Di. Следовательно, Ni ⊂ φ (Ni+j) . Обратная импликация доказывается аналогично. ■
Ниже фраза «для почти всех i» обозначает «за исключения конечного множества индексов i» и по определению мы пишем « ».
Достаточные признаки сюръективности (а) и антисюръективности (b) функции j, являющиеся следствием Утверждения 2.2 и определения в (2.1) последовательности { di}, даны в терминах di ниже.
Утверждение 2.3. Достаточные условия сюръективности (а) и антисюръективности (b) инъективного отображения φ: N→N имеют, соответственно, вид
(a) , (2.4a)
(b) . (2.4b)
● Каждое число di определяет количество элементов n из подмножества Ni, не имеющих прообраза φ-1 (n) в Ni, поэтому неограниченность последовательности {di }, i ∈ N (ξ), противоречит условию φ (N) =N сюръективности отображения φ. Условие (2.4a) гарантирует существование числа i0 такого, что для отображения φ справедлива следующая цепь импликаций:
. ■
Как показывают примеры, условия (2.4a) и (2.4b) не являются необходимыми, соответственно, для сюръективности и антисюръективности функции φ.
Про антисюръективное инъективное отображение скажем, что оно потенциально не осуществимо на всем множестве N (ср. с Утверждением 1.2).
Теорема 2.1. Последовательности {δi} и {di}, i ∈ N(ξ), определяемые парой (ξ, φ), удовлетворяют [4, c. 86] одному и только одному из трёх следующих условий:
(a) , ∈ N(ξ) : ( δi = 0) ⇔ (di =0) (2.5a)
(b) (∃C1, C2, C2 ≤ C1 ∈ N): ( ∈ N(ξ) (0 < δi < C1) ⇔ (0< di < C2)), (2.5b)
(c) i ∈ N(ξ) (di → ∞) ⇔ (δi → ∞) . (2.5c)
● Если ∀i ∈ N(ξ) δi =0, то ∀i ∈ N(ξ) φ (Ni ) =Ni и, по определению, di =0, и, наоборот, из чего следует (2.5a). Предположим, далее, что 0< δi < C1, тогда di= . В силу последнего условия, очевидно, что неограниченность последовательности { δi} является следствием неограниченности последовательности {di }. В частности, при i ∈ N(ξ) справедлива импликация (di → ∞) ⇒ (δi → ∞) .
Пусть далее ∃C2 ∈ N и ∀i ∈ N(ξ) di < C2 . Теперь мы покажем, что совмещение двух условий: и неограниченность последовател ьности { δi} приводит к противоречию. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что δi → ∞. Из δi → ∞ также следует, что δi-q → ∞) при всех конечных q и, в том числе, при q = C2. Пусть
, тогда ∃n* такое, что ∀i > n* , ki-q > ni. Из этого следует, что для всех j таких, что , i-q ≤ j ≤ i, ki ∉ Di и, так как φ( Ni)=( Ni \ Di) ∪ Di- , то , т. е. все ki ∈Di-. Значит, число di-, равное количеству элементов Di-множества , удовлетворяет следующему неравенству: di- ≥ (i)-(i-q-1)
.
Вместе с нашим предположением, что C2 > di-, мы имеем противоречие C2 ≥ C2+1, которое подтверждает (2.5b) и вместе с ним (2.5c). ■
Следствие Утверждений 2.2-2.3 и Теоремы 2.1 записано ниже.
Утверждение 2.4. Необходимый признак сюръективности инъективного отображения φ: N→N в терминах последовательности { δi } имеет следующую форму:
∀i ∈ N(ξ) 0 ≤ δi ≤ Cξ . (2.6)
Ещё один необходимый признак сюръективности инъекции φ: N→N имеет [3, p. 8] с учётом равенства (2.2) даёт следующее предложение.
Теорема 2.2. Ограниченность последовательности { φn} целых чисел , n ∈ N , является необходимым условием для сюръективности инъективного отображения j: , т. е. из следует, что
(φ (n) :n ) =1. (2.7)
Как показывают примеры, необходимые условия (2.3) и (2.7) сюръективности инъекции φ: N→N являются независимыми и, следовательно, ни одно из этих условий не может быть достаточным.
Последовательность ξ= {1,n1, n2, ...} назовём последовательностью с ограниченным шагом, если ∃С, С>0, такое, что ∀i ∈ N (ξ) ni+1 -ni <C. Утверждение 2.5, доказанное ниже, является, как и Теорема 2.2, совсем не очевидным.
Утверждение 2.5. Инъективное отображение φ*: N→N , определяющее некоторую последовательность ξ* = {1,m1, m2, ...} где mi+1 > mi , с неограниченным шагом является антисюръективным или, другими словами, будет неосуществимо на всём множестве N.
● Пусть, ξ* будет последовательностью с неограниченным шагом, т. е. для отображения φ*, определяющего ξ*, и некоторой последовательности ξ
. (2.8)
Теперь при ξ=N и, следовательно, N (ξ) = N имеем ni = i+1. Значит, для∀i ∈ N \ {1} φ* (i) = mi-1 и в этом случае (см. (2.1)) mi -i, i ∈ N. Поэтому ∀i ∈ N
(mi+1 -(i+1))-(mi -i)= mi+1 - mi-1. Таким образом, в силу условия (2.8) неравенство
С-1 справедливо для i(С) ∈ N. Следовательно,
-1+С. Неограниченность последовательности {δi*} , соответствующей паре (N, φ*), следует из последнего неравенства в силу произвольности в (2.8) числа С. Значит, отображение φ*, определяющее последовательность ξ* из условия теоремы, является в силу (2.6) антисюръективным. ■
Утверждение 2.5 имплицирует следующую теорему.
Теорема 2.3. Пусть A {n} ⊆ N и B
{m} ⊆ N являются бесконечными подмножества множества N. Тогда существует число C ∈ N такое, что пара (n, m) переменных n и m является C-точной парой переменных (1.2).
●В силу Утверждения 2.5 разность между соседними элементами каждого из множеств А и В ограничена. Следовательно, естественно упорядоченная последовательность ξ A ∪ B будет также последовательностью с ограниченным шагом, т. е. разность между любой парой её соседних членов ограничена, в том числе, и между соседними элементами подмножеств А и В. Поэтому, как описано в условии (1.2), пара (n, m), (n, m) ∈A x B, является C-точной парой. ■
Следующее ниже Теорема 2.4 является [3, 4] следствием условий (2.3), (2.4a), (2.4b) и (2.7) и обобщает Утверждение 1.2 на множество N.
Теорема 2.4. Не существует биекции между множеством N натуральных чисел и его собственным подмножеством А ⊂ N.
Легко показать, что содержание доказанных выше предложений сохраняется для инъективных отображений φ: А → А, где А ⊂ N.
3. Приложение понятия С-точной пары в анализе
Понятие С-точной пары используется в доказательстве следующих нетрадиционных для анализа утверждений: сходимость ограниченной числовой последовательности (а)
, где an = sin ln n , предельное равенство lim rn=0 для гармонического ряда
[3, c. 12], эквивалентность ( rn →0) ⇔ ( an → 0) [4, c. 104] для произвольного числового ряда и др.
Пример 3.1. (Парадокс Г. Галилея, см. [1, с. 140-146]). Очевидно, что для отображения φ: N → N заданного формулой φ (n)= n2 , не выполняется ни одно из необходимых условий сюръективности (2.3), (2.6) и (2.7), но справедливо условие (2.4b) антисюръективности и множество Nφ ⊂ N такое, что Nφ ∩ φ (N) = Ø, является бесконечным. Такие отображения φ: N → N можно называть (ср. [3, c. 87, 89]) тотально антисюръективными.
Пример 3.2. Докажем сходимость ограниченной числовой последовательности (а) {an}
, где an= sin ln n.
● Докажем это утверждение от противного. Пусть последовательность (а) является расходящейся. Тогда в силу её ограниченности и леммы Больцано - Вейрштрасса [2, c. 84] найдутся, по крайней мере, два бесконечных подмножества B {m}, A
{k} множества N такие, что
и
, где ε
b-a ≠ 0. Пусть ε (m,k)
sin ln m - sin ln k, т.е.
. Так как
ε (m,k) =
М sin (2-1 (ln m/k) ,
где |М| ≤ 2, то М sin (2-1 (ln m/k) . В последнем предельном равенстве, как следует из Теоремы 2.3, пара (m, k) переменных m ∈ B и k ∈ А является С-точной парой (1.2') и
m = k + q(k) , где |q(k)|<C. (3.1)
Поэтому М
=0 в силу (3.1), что противоречит нашему предположению: ε ≠ 0. ■
Пример 3.3. В этом примере мы доказываем, следуя [3, p. 12], справедливость для гармонического ряда предельного равенства
lim rn=0. (3.2)
Частичные суммы Sm и Sk этого ряда имеют оценки (см. [5, с. 319-320]):
Sm = = ln m + Ce + γm, Sk =
= lnk+Ce + γk , (3.3)
где (см. [5, c. 270]) Ce=0,57721566490... - постоянная Эйлера и γn →0. Пусть , т.е. в силу (3.3)
=
. Очевидно, что остаток rk ряда определяется равенством
. Тогда
. В силу Теоремы 2.3 мы можем считать пару (k,m) в последнем предельном равенстве C-точной парой натуральных переменных и в силу (1.2') положить
Поэтому справедливо равенство (3.2):
=
=0.
Для каждого n n-я частичная сумма Sn ряда есть конечное число, а соответствующий остаток ряда больше любого конечного числа, но при предельном переходе (1.1) всё меняется шаг за шагом наоборот: члены ряда по одному «перебрасываются» из одной суммы (бесконечной) в другую и Sn→ ∞, а rn → 0, о чём формально пишут так: S = lim Sn = ∞ (в данном примере).
Эквивалентность (rn →0) ⇔ ( an → 0) для произвольного числового ряда доказывается [4, c. 104] аналогично.
Пример 3.4. Одна из форм условия Коши фундаментальности числовой последовательности {an} имеет [2, c.99] в анализе следующий вид:
. (3.4)
В условии (3.4) множества B {n} и A
{m} совпадают с множеством N | {1,2,...,n(ε)}. Поэтому существует инъекция φ: A → B и φ(A)=B. Пусть переменные m и n в (3.4) связаны, например,
n ∈ B равенством
m = ψ (n). (3.5)
Выполнимость (осуществимость) этого равенства на почти всём множестве B требуется условием Коши. Для этого отображение ψ: B → A, заданное формулой (3.5), должно удовлетворять необходимым условиям сюръективности (2.3), (2.6) и (2.7) отображения y и заключению Теоремы 2.3. Поэтому, в общем случае, всякая пара (p,q ) переменных p и q, (p,q )∈P x Q ⊆ A x B, необходимо должна быть С-точной парой переменных для осуществимости равенства (3.5) на всём подмножестве Q ⊆ B.
Условие (3.4) имеет (см. [7, p. 355]) эквивалентную, но более конкретную форму записи:
. (3.6)
Равенство (3.5) согласуется с предельным условием (3.6), даже если, например, в (3.5) и (3.6) положить | m -n | < C для некоторого [4, c. 98].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Галилей Г. Избранные труды:- Москва: «Наука», 1964. - Т. 2. -571 с.
- Зорич В.А. Математический анализ. Часть I..-М.:МЦНМО, 2001.-XVI+664 с.
- Sukhotin, A M. Alternative analysis principles: Study. ‑ Tomsk: TPU Press, 2002. ‑ 43 p.
- Сухотин, А. М. Начало высшей математики.- Томск, Изд-во ТПУ, 2004.- 148 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления:- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967.-Т. 2.-664 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления:.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.-Т. 3.-656 с.
- Weisstein, Eric W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics.-London-New York: Chapman & Hall/CRC, 2002.-3450 p.
Библиографическая ссылка
Сухотин А.М. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ С–ТОЧНОЙ ПАРЫ В АНАЛИЗЕ // Современные проблемы науки и образования. 2007. № 5. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=555 (дата обращения: 21.04.2025).