Специфические свойства асбеста - волокнистое строение, слюды - мелкочешуйчатое строение, способность их расщепляться, первых - на тончайшие волокна, вторых - на тонкие пластины, тем самым увеличивать поверхность и приобретать свойства «парусности» - обуславливает основной метод разделения асбестовых руд и мелкочешуйчатых слюдоcодержащих сланцев - сухой гравитационный [4].
Разделение асбеста, слюды и зерен пустой породы основано на различии в скоростях витания и осуществляется пересечением под определенным углом равномерно распределенного потока струи воздуха. Скорость витания зависит от физических свойств транспортируемых продуктов, их плотности, состояния поверхности (гладкая, рваная), размеров, формы и петрографического состава частиц, образования вихреобразных воздушных потоков в зоне разделения; взаимного трения и столкновения частиц между собой и со стенками аппарата, неравномерности распределения скоростей воздушных потоков в камере и т.д. [3].
На рис. 1 представлены возможные варианты воздействия воздушного потока на частицу.
Рис. 1. Схема действия сил на частицу:
а) в восходящем потоке воздуха; б) в горизонтальном потоке воздуха.
Если частица движется в неподвижной воздушной среде (рис. 1а), то на нее действует сила тяжести (
) и сила сопротивления воздуха 
.
Принимая линейную зависимость силы от скорости движения частицы (согласно закону Стокса), векторную силу сопротивления можно представить в виде 
, где μ - коэффициент пропорциональности, 
- вектор скорости частицы. При этом масса шарообразной частицы 
, где 
- плотность материала частицы, d - её диаметр. Коэффициент пропорциональности в выражении силы сопротивления можно выразить по формуле [5]: 
, где 
- кинематический коэффициент вязкости воздуха, 
- его плотность. В частности, при нормальной температуре и атмосферном давлении 
(м2/с), 
(кг/м3), поэтому 
(кг/с).
Движение частицы в неподвижной воздушной среде под действием указанных сил в декартовых координатах описывается системой дифференциальных уравнений:
(1)
(ось х - горизонтальна, у - направлена вертикально вниз, рис. 1).
Первое уравнение интегрируем методом разделения переменных: 
. Следовательно, 
.
Интегрируя функции в левой и правой части полученного равенства, получим: 
где С1 - константа интегрирования, определяемая из начальных условий на проекцию скорости: 
при 
. Если при этом частица в начальный момент времени имела скорость 
и составляла угол β с осью x, то 
.
Выразив 
из уравнения (2) с учетом начальных условий, получим 
откуда 
.
(2)
Данное уравнение также интегрируем методом разделения переменных: 
. После интегрирования получаем выражение 
где С2 - константа интегрирования, определяемая из начальных условий на координату: x=x0 при t=0. Таким образом, 
, и следовательно абсцисса частицы меняется согласно зависимости:
(3)
Для упрощений расчетов можно определить величины коэффициентов, входящих в полученные зависимости, в соответствии с приведенными выше значениями параметров: 
, 
.
Аналогично приведенным вычислениям проводим интегрирование второго уравнения системы (1): 
. Далее делим переменные и интегрируем: 
, где С3 - константа интегрирования, определяемая из начальных условий на проекцию скорости: 
при t=0. При этом если частица в начальный момент времени имела скорость VB, составляющую угол β с осью x, то 
.
С учетом начальных условий получим 
, откуда
(4)
Разделяя переменные, интегрируем уравнение (4) и получаем результат:
,
где С4 - константа интегрирования, определяемая из начальных условий на координату: 
при t=0. Ее значение 
. Таким образом,
(5)
что при отсутствии слагаемого, содержащего mg, совершенно аналогично выражению (3).
В случае если воздушная среда движется горизонтально с постоянной линейной скоростью U = const, сила сопротивления 
зависит от относительной скорости частицы 
, а ее проекция на ось х равна
.
Первое уравнение системы (1) будет содержать уже переносную скорость U:
(1`)
и становится линейным неоднородным. Его общее решение складывается из решения однородной его части 
и частного решения неоднородного уравнения 
. Таким образом, решение уравнения имеет вид 
, в котором С5 и С6 определяются из начальных условий: 
при t=0. После подстановки начальных условий в общее решение выразим произвольные постоянные C5 и C6 в виде: 
, 
Следовательно, если частица движется в потоке воздуха, движущегося с постоянной горизонтальной скоростью U, то ее абсцисса изменяется в соответствии с зависимостью:
(2`)
Представленные закономерности, описывающие поведение частиц в воздушной среде, были использованы при составлении математической модели движения частиц во фрикционных сепараторах [1; 2]. В результате имитационного моделирования движения асбестосодержащих частиц было установлено, что использование потока с постоянной горизонтальной скоростью (рис. 1б) позволяет повысить степень извлечения асбеста, в сравнении с разделением частиц в неподвижной воздушной среде (рис. 1а).
Использование таких решений позволило разработать и усовершенствовать новую модель разделительного аппарата.
Рецензенты:
- Ошкордин О.В., д.т.н., профессор, проректор по связям с общественностью и международным отношениям Уральского государственного экономического университета Министерства образования и науки РФ, г. Екатеринбург.
- Кожушко Г.Г., д.т.н., профессор, зав. кафедрой подъемно-транспортных машин и роботов ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина» Министерства образования и науки РФ, г. Екатеринбург.
Библиографическая ссылка
Ляпцев С.А., Потапов В.Я. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ РУДНЫХ ЧАСТИЦ В ВОЗДУШНОМ ПОТОКЕ РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ // Современные проблемы науки и образования. – 2012. – № 1. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=5493 (дата обращения: 01.06.2023).