Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,006

ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕДМЕТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В ЗАДАЧАХ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

Шумакова Е.О. 1 Шарафутдинова А.М. 1
1 ФГБОУ ВО Южно-Уральский государственный гуманитарно-педагогический университет
В работе рассмотрены подходы к изучению комплексных чисел в средней общеобразовательной школе и педагогическом университете. Обсуждается вопрос о пропедевтике изучения комплексных чисел в курсе алгебры на этапе основного общего и среднего общего образования. Приведены примеры тем школьного курса математики, в которых целесообразно начать говорить о комплексных числах. Подчеркнута значимость изучения комплексных чисел в педагогическом университете бакалаврами математического профиля на первом курсе для дальнейшего освоения образовательной программы: изучения основ теории групп и колец, дисциплин «Числовые системы» и «Теория функций комплексного переменного». Указано, какими формулами стоит расширить объем изучения темы «Комплексные числа» в профильных классах средней общеобразовательной школы. Приведены примеры задач, связанных с геометрической интерпретацией комплексных чисел. Показано использование математической динамической среды GeoGebra для решения задач с комплексными числами, построения разности радиус-векторов. Исследованы подходы к решению геометрической задачи о вычислении площади треугольника с введением комплексных координат. Показано использование комплексного метода для решения задачи на доказательство. Рассмотренные примеры демонстрируют взаимосвязь таких математических дисциплин, как алгебра и геометрия.
алгебра
геометрия
комплексные числа
предметные результаты
педагогическое образование
1. Мордкович А.Г., Семенов П.В., Денищева Л.О. Алгебра и начала математического анализа 10 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и углубленный уровень) в 2 ч. М.: Мнемозина, 2021. 806 с.
2. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (углубленный уровень). М.: Мнемозина, 2015. 312 с.
3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. М.: Просвещение, 2022. 464 с.
4. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. М.: Физматлит, 2001. 464 с.
5. Воробьева И.А. Линейная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов: сборник задач. Липецк: ЛГПУ имени П.П. Семёнова-Тян-Шанского, 2018. 61 c.
6. Нигматулин Р.М., Вагина М.Ю. Математическое моделирование в учебных проектах бакалавров по профильным математическим дисциплинам // Современные наукоемкие технологии. 2018. № 10. С. 216-220.
7. Нигматулин Р.М., Мартынова Е.В. Использование системы динамической геометрии Geogebra для организации исследовательской деятельности бакалавров педагогического образования в курсе геометрии // Информационные технологии в математике и математическом образовании: материалы VIII Всероссийской научно-методической конференции. Красноярск: КГПУ им. В. П. Астафьева, 2019. С. 193-197.
8. Посицельская Л.Н. Теория функций комплексной переменной в задачах и упражнениях. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 136 с.
9. Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов. М.: МЦНМО, 2004. 160 с.
10. Шумакова Е.О., Миссаль В.В. Применение технологии учебных проектов при изучении профильных математических дисциплин // Современные проблемы науки и образования. 2019. № 6. [Электронный ресурс]. URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=29269 (дата обращения: 17.10.2022).
11. Шумакова Е.О., Шарафутдинова А.М., Ахкамова Ю.А., Алябьева Ю.В. Учебно-исследовательские проекты по профильным математическим дисциплинам // Современные проблемы физико-математических наук: материалы VI Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. Орел, 2020. С. 590-593.
12. Shumakova E.O. Groups of central units of rank 1 of integral group rings of Frobenius metacyclic groups. Siberian Electronic Mathematical Reports. 2021. vol. 18. no. 1. P. 622-639.

Изучение математики в школе начинается с изучения небольшой области чисел, которая постепенно расширяется, и вводятся новые понятия. Знакомство с числами учащиеся начинают с натуральных чисел, позже вводятся отрицательные числа и нуль. Решение простейших практических задач, в которых требуется провести измерения, не обходится без введения понятия дробного числа. Иррациональные числа могут быть введены как длина диагонали квадрата со стороной 1, не являющаяся рациональным числом. Для решения простейших квадратных уравнений с натуральными коэффициентами действительных чисел становится недостаточно, используем новые числа, которые сначала назывались мнимыми, а затем комплексными, для них квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.

Разделом «Комплексные числа» во многих учебно-методических комплексах завершается основная образовательная программа по предмету «Алгебра и начала математического анализа» в 10-11 классах. Выделим основные причины такого подхода: во-первых, комплексные числа показывают связь алгебры, геометрии и тригонометрии; во-вторых, дают возможность увидеть структуру изученных числовых множеств и операций с этими множествами, открывают возможность в решении широкого класса задач алгебраического и геометрического содержания. Кроме того, решение большого количества задач техники и физики сводится к решению квадратного уравнения, у которого отрицательный дискриминант. Такие уравнения не имеют решения на множестве действительных чисел, но, несмотря на это, их решение имеет физический смысл.

Комплексные числа пока не входят в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике, но их включение не исключено. Такие задания проходят апробацию и представлены ФИПИ в перспективной модели на 2022 год по математике профильного уровня, есть большая вероятность, что такие задания появятся на ЕГЭ в ближайшие годы. Целью работы является описание возможностей улучшить формирование предметных результатов по теме комплексные числа в курсе алгебры и геометрии.

Материалы и методы исследования

Для проведения исследования использовались теоретические методы: сравнительно-сопоставительный анализ учебно-методических комплексов по алгебре и началам математического анализа для 10 и 11 классов [1-3], учебных пособий по алгебре для педагогических вузов [4; 5], анализ педагогического опыта в процессе работы со студентами первого курса педагогического вуза в рамках преподавания дисциплин «Вводный курс математики» и «Алгебра», темы «Комплексные числа».

Результаты исследования и их обсуждение

Выполненный анализ позволяет сделать вывод о близком содержании темы «Комплексные числа» в пособиях [1-3]. Набор заданий ограничивается стандартными вычислениями в алгебраической и тригонометрической форме, решении линейных и квадратных уравнений. Наибольший интерес, и в то же время трудность, представляют задачи, связанные с геометрическим изображением комплексных чисел. Изучение темы в конце 11 класса сопряжено с сокращением и без того небольшого количества часов, так как часто необходимо уделить время повторению и подготовке к итоговым экзаменам. Поэтому, сталкиваясь с этой темой в университете, студенты испытывают трудности. Обучающимся в классах физико-математического и технологического профилей для лучшего в дальнейшем усвоения и понимания данного материала можно было бы начать освещать данную тему раньше, чем в 11 классе.

Например, после изучения свойства степени учеников можно познакомить с возведением в степень мнимой единицы. После знакомства с законами сложения векторов стоит рассказать о сложении комплексных чисел по правилу параллелограмма, а также о том, что каждое комплексное число можно задать с помощью радиус-вектора на плоскости, соединив начало координат и точку (, соответствующую комплексному числу .

Для школьников и студентов большой интерес будут представлять задания, выполняемые с использованием электронных образовательных ресурсов. Одной из программ, позволяющих работать с комплексными числами, является математическая динамическая среда GeoGebra. В работах [6; 7] рассмотрено применение GeoGebra в исследовательской деятельности бакалавров по математическим дисциплинам. Школьникам можно предложить построить в GeoGebra радиус-векторы, соответствующие комплексным числам, найти их длины. Покажем пример построения радиус-векторов, соответствующих комплексным числам и , а также использования команды «Вектор(» для получения разности двух векторов (рис. 1).

Рис. 1. Радиус-векторы на плоскости в GeoGebra

Комплексный метод решения планиметрических задач является наименее распространенным, и в школе он совсем не рассматривается. Сопоставление точки с координатами и комплексного числа будем считать комплексной координатой точки . Число назовем комплексно-сопряженным с . При таком подходе можно доказать формулы, используемые в дальнейшем при решении геометрических задач , например:

1. Для точек и число будет являться координатой точки , такой, что . Число будет координатой для точки , где выполняется .

2. Формула для нахождения площади положительно ориентированного треугольника

3. Общее уравнение окружности в комплексных координатах c центром и радиусом имеет вид: , если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности определяется следующим образом: .

4. Два отрезка и ортогональны тогда и только тогда, когда число является чисто мнимым.

5. Формула для отыскания комплексной координаты точки , делящей отрезок (, ) в заданном отношении(

6. Формула для нахождения расстояния между двумя точками и

Покажем использование этого подхода при решении геометрических задач.

Задача 1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом проведена медиана Точка принадлежит данной медиане, и известно, что . Найдите площадь треугольника , если

Решение: из треугольника по теореме Пифагора найдем

. Тогда

Введем прямоугольную систему координат, в которой прямая


Библиографическая ссылка

Шумакова Е.О., Шарафутдинова А.М. ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕДМЕТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В ЗАДАЧАХ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ // Современные проблемы науки и образования. – 2022. – № 5. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=32153 (дата обращения: 27.02.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674