Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КЛАССОВ, СВЯЗАННАЯ С РЕШЕНИЕМ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Далингер В.А. 1
1 ФГБОУ ВО «Омский государственный педагогический университет»
В статье рассматривается одна из важнейших проблем современного периода школьного образования – организация учебно-исследовательской работы учащихся профильных математических классов по математике, отмечается ее развивающая функция, связанная в первую очередь с формированием универсальных учебных действий (УУД), таких как личностные, регулятивные, познавательные (логические УУД, общеучебные УУД, формирование межпредметных понятий, математическое моделирование); проводится экскурс в историю развития теории конических сечений (этот материал может быть использован на вводном занятии математического кружка, посвященном изучению кривых второго порядка); предложен ряд задач по теории конических сечений, которые могут послужить материалом для проведения учебно-исследовательской работы (рассмотрены задачи, в которых объектом исследования является эллипс, описывается способ построения эллипса с помощью циркуля и линейки, отличный от уже известных, и дается логическое обоснование этого способа); рассматриваются и другие планиметрические задачи, в которых затронуты вопросы, связанные с понятием «эллипс», они могут быть предложены школьникам, обучающимся в профильных математических классах. Большое внимание уделено вписанным и описанным в эллипс геометрическим фигурам и дана сравнительная характеристика площадей этих фигур. Материал, приведенный в статье, окажет существенную помощь учителю математики в организации учебно-поисковой работы учащихся математических классов по геометрии. Такая деятельность учащихся классов математического профиля продемонстрирует их способности и сформированные исследовательские умения; эта учебно-поисковая работа школьников формирует качества их творческой деятельности и напрямую связана с развитием познавательного интереса как к различным видам математической деятельности, так и к различным аспектам содержания математики.
история развития теории конических сечений
геометрические построения циркулем и линейкой
эллипс
охватывающий эллипс
геометрическое место точек
1. Бородина У.Н. Исследовательская деятельность учащихся на уроках математики – условие развития школьников//Актуальные вопросы современной науки и образования: материалы I Международной научно-практической конференции. М.: Изд-во «Перо», 2016. С.5-7.
2. Курило М.С. Системно-деятельностный подход при обучении математике на примере организации учебно-исследовательской деятельности учащихся // Педагогика и современность.2015. №5(19). С.22-25.
3. Фишман Б.Е., Эйрих Н.В. Сценарное представление исследовательско-учебной деятельности учащихся на примере темы «линейная функция» // Математика в школе. 2017. №7. Электронное приложение на СД – диске.
4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964. 872 с.
5. Далингер В.А., Грибова Е.Н. Фейерверк замечательных кривых: учебное пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1998 . 87 с.
6. Болтянский В.Г. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы // Квант. 1975. №12. С. 5–12.
7. Далингер В.А, Громов В.А., Симонженков С.Д. По эллипсной орбите: некоторые задачи про эллипс для профильных математических классов // Актуальные проблемы математического образования в школе и вузе: материалы Х международной научно-практической конференции. (г. Барнаул, 24-25 октября 2019) / Под науч. ред. И.В. Кисельникова, И.Г. Кулешовой. Барнаул: Изд-во АлтГПУ, 2019. С. 138-145.
8. Далингер В.А. Некоторые задачи про эллипс, ориентированные на учащихся математических классов // Познание и деятельность: от прошлого к настоящему: материалы I Всероссийской междисциплинарной научной конференции (Омск, 5 декабря 2019 года) / Отв. ред. И.П. Геращенко. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2019. С. 392-399.
9. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: учебник для университетов. М.: Наука, 1988. 224 с.
10. Далингер В.А., Симонженков С.Д. О вписывании квадрата в некоторые криволинейные плоские фигуры // Ежемесячный международный научный журнал «International Science Project». 2019. № 23 (Часть 1). С.15-17.
11. Далингер В.А. О площадях ромбов, вписанных в эллипс или описанных вокруг него // Евразийский союз ученых (ЕСУ): Ежемесячный научный журнал. 2019. № 4(61). С. 17-20.
12. Елезарова Н.Г., Понарядова Р.С. О систематизации геометрических знаний учащихся (на примере решения задачи разными способами) // Математика в школе. 2018. №5. С.11-15.
13. Крачковский С.М. Многовариантное визуально-графическое представление математических задач // Математика в школе. 2013. №1. С. 51-63.
14. Крачковский С.М. Изменяем визуальный образ геометрических объектов // Математика в школе. 2015. №8. С. 32-36.
15. Потоскуев Е.В. О принципе наглядности в геометрии // Математика в школе. 2017. №5. С. 18-26.
16. Потоскуев Е.В. О содружестве наглядности и логики рассуждений при решении геометрических задач // Математика в школе. 2018. №3. С. 40-48.

Основными проблемами школьного образования в настоящее время являются немотивированность учебно-познавательной деятельности учащихся, их слабое стремление к познанию, отсутствие познавательного интереса и др. Сейчас идет активный поиск выходов из создавшегося положения.

Образовательная теория и школьная практика показывают, что многие проблемы могут быть решены не столько за счет корректировки содержания обучения, сколько за счет использования активных методов обучения, таких как метод проектов, мозговой штурм, кейс-метод и т. д.

Анализ школьной практики и передовых технологий обучения показывает, что значимой является организация учебно-исследовательской работы учащихся, в ходе которой школьники овладевают навыками и способами умственной деятельности, систематической самостоятельной поисковой деятельности.

Учебно-исследовательская деятельность учащихся по математике выполняет как обучающую, так и развивающую функцию, и это есть результат того, что настоящая деятельность воспитывает у обучающихся осознанное отношение к своему труду, формирует качество творческой деятельности и напрямую связана с развитием познавательного интереса как к различным видам математической деятельности, так и к различным аспектам содержания математики.

По организации учебно-исследовательской деятельности учащихся по математике читатель найдет материал в работах [1–3].

Подходящей темой для организации учебно-исследовательской работы учащихся является тема «Конические сечения». В данной статье мы ставим задачу провести исторический экскурс в развитие темы «Конические сечения» (этот материал может быть использован на вводном занятии математического кружка, посвященном изучению кривых второго порядка), а также предложить ряд задач по теории конических сечений, которые могут послужить материалом для проведения учебно-исследовательской работы (предложены задачи, в которых объектом исследования является эллипс).

Материалы и методы исследования

Ученые-математики Древней Греции активно занимались исследованиями задач, которые впоследствии стали называться знаменитыми задачами древности: об удвоении куба, о трисекции угла, о квадратуре круга. Работа с ними вывела ученых на проблему, связанную с изучением линий, отличных от прямых и окружностей: эллипс, парабола, гипербола.

Менехм (IV в. до н.э.) предложил для решения этих задач конические сечения – это такие кривые, которые получаются сечением конуса плоскостью, перпендикулярной одной из образующих (получаются три различные кривые в зависимости от того, какой конус сечется плоскостью – остроугольный, прямоугольный или тупоугольный). Позднее Аполлоний (III в. до н.э.) назвал их эллипсом, параболой, гиперболой. Он проводил сечения в произвольном конусе плоскостью под любым углом к оси конуса.

Основателем современного учения о кривых по праву считают великого немецкого художника и ученого А. Дюрера (1471–1528 гг.). В его сочинениях изложены основания геометрии и теории перспективы; подробно рассмотрено учение о правильных многогранниках; предложены решения знаменитых задач древности (скорее всего следует сказать – показана невозможность их решения с помощью циркуля и линейки); дана теория кривых линий.

Одно сечение конуса плоскостью называется эллипсом (эта фигура получается в тех случаях, когда секущая плоскость расположена под разными углами к оси конуса). На рисунке 1 приведено такое сечение.

Ссылаясь на книгу Эрика Т. Белла «Математика – царица и служанка наук», можно отметить, что круг и окружность нас привлекают с первого взгляда своей простотой, но при пристальном изучении различных кривых можно прийти к выводу, что идеальная пустота круга и окружности уступает тем сведениям, которые щедро дарит эллипс.

Среди древних греков, изучавших кривые второго порядка, были Менехм и Аполлоний Пергский. Их исследования показали, что после окружности эллипс является простейшей фигурой. Ученые прилагали усилия, дабы дать эллипсу определения: одни шли путем составления соответствующей формулы, задающей эллипс, другие же за основу определения брали существенное свойство эллипса.

-b

Рис. 1. Эллипс

На рисунке 1 показан способ построения эллипса, основанный на его главном свойстве: расстояние от точек эллипса до его двух фокусов есть величина постоянная.

На рисунке 2 показан способ построения эллипса с помощью двух кнопок, на которые надета петля из нитки; двигая карандаш вокруг кнопок, натянув при этом нитку, можно изобразить эллипс.

В реальной жизни мы увидим эллипс в том случае, если стакан с водой наклонить, в результате чего поверхность воды примет форму эллипса [4, 5].

Рис. 2. Построение эллипса с помощью нитки и карандаша

У эллипса есть замечательное оптическое свойство [6]: если из одного фокуса эллипса направить луч света, то он, отражаясь от эллипса, попадет в другой его фокус.

Если вращать эллипс вокруг прямой, проходящей через его фокусы, то получим эллипсоид. Если покрыть его изнутри зеркальным слоем, то эта зеркальная поверхность обладает интересными свойствами:

1) если точечный источник света поместить в одном из фокусов эллипсоида, то лучи, отразившись от стенок эллипсоида, пройдут через его второй фокус;

2) если в одном из фокусов эллипсоида поместить точечный источник света и произвести «мгновенную» вспышку, то через некоторое время после многократных отражений от идеальной зеркальной поверхности эллипсоида все лучи практически сконцентрируются вдоль его большой оси [7, 8].

Результаты исследования и их обсуждение

Существуют способы построения точек эллипса с помощью циркуля и линейки. Например, в справочнике [4] на страницах 60, 61 описаны два способа. Еще один способ – авторский – предлагается в данной статье. Решается следующая задача.

Задача 1. На плоскости заданы точка О и два отрезка с длинами , b; > b. Построить точки эллипса с этими полуосями и центром О.

y
Для решения проведем через точку О две взаимно перпендикулярные прямые, одну из них назовем горизонтальной, другую – вертикальной. На ней отложим отрезок OB = b вверх, вниз отложим отрезок OB1 = – b. Берем произвольно точку N между O и B1, построим окружность с центром в этой точке радиуса – b. Она пересекает горизонталь в двух точках; выберем ту из них, которая лежит правее O. Обозначим ее через M. Проведем прямую NM. Опишем окружность с центром M радиуса «b». Она пересекает прямую в двух точках. Пусть P – та из них, которая лежит «северо-восточнее». Это и будет искомая точка эллипса.

Меняя N, получим новые точки эллипса.

Рисунок 3а поясняет описанное построение. Рисунок 3б служит для его обоснования, приводимого ниже.

Пусть t – параметр, меняющийся на отрезке [0, ] и служащий для задания координат точек N, M, P. Положим N (0; –t), тогда M(; 0).

Запишем уравнение прямой NM в виде

(1)

и уравнение окружности

Для нахождения точки P объединим эти уравнения в систему и решим ее.

Систему сведем к квадратному уравнению:

.

Опуская детали, укажем его корни:

.

а) б)

Рис. 3. Построение точек эллипса

Так как абсцисса точки P должна быть больше абсциссы точки M, то подходит только первый корень:

. (2)

Тогда из равенства (1) имеем:

(3)

Нетрудно проверить, что удовлетворяют уравнению эллипса:

, так что точка P ему принадлежит при любом

.

Заметим, что при t=0 точка P совпадает с правой вершиной A (, 0) эллипса, а при t= – b она переходит в верхнюю границу B (0, b). Таким образом, по формулам (2) и (3) получено параметрическое задание дуги AB эллипса. Расставляя в этих формулах в правых частях нужные знаки, получим параметрические задания остальных дуг.

Правые части равенств (2), (3) можно переписать соответственно в виде:

, .

Здесь дробь заключена между 0 и 1, поэтому она является синусом некоторого угла .

Тогда равенства (2), (3) запишутся в виде:

Получим известное параметрическое задание эллипса.

В заключение предлагаем читателям, любителям алгебры, решить следующую задачу.

Запишите систему уравнений, в которой первое уравнение – это уравнение окружности с центром M, радиуса «b», второе уравнение – уравнение эллипса. Докажите, что одним из решений системы является пара ().

Задача 2. Требуется ответить на проблемный вопрос: «Можно ли эллипс, площадь которого равна, вписать в квадрат, сторона которого равна 1?

Решение. Контекст задачи подсказывает, что мы должны найти полуоси a и b того эллипса, который мы хотим вписать (положим полуось a > полуоси b). Не будем рассматривать случаи, когда a = и b =.

В основу решения этой задачи положим координатный метод, для чего введем систему координат, такую, какая показана на рисунке 4 (сторона СD квадрата касается дуги эллипса AB в точке K, и это касание происходит в первой четверти плоскости).

Координаты точки касания K мы найдем, решив систему:

, (4)

Выразив из первого уравнения переменную мы получим квадратное уравнение:

Рис. 4. Рисунок к задаче 2

или (5)

Раз мы имеем одну точку касания в первой четверти плоскости, то понятно, что это квадратное уравнение должно иметь один корень, а как известно, это возможно в случае, когда его дискриминант равен нулю.

Дискриминант этого уравнения:

Из этого следует, что:

. (6)

При нулевом дискриминанте корнем уравнения (5) является

Найдена абсцисса точки касания, равная согласно (5) Ее ордината = .

При площадь эллипса:

На поставленный в задаче 1 вопрос можно ответить утвердительно.

Введем понятие «прямоугольник, охватывающий эллипс»: если у эллипса полуоси a и b, то такой эллипс оказывается вписанным в прямоугольник , и такой прямоугольник мы и назовем охватывающим. Два прямоугольника подобны, если отношения их сходственных сторон равны:

.

Задача 3. С помощью циркуля и линейки в заданный эллипс, полуоси которого a и b, вписать прямоугольник, подобный прямоугольнику, охватывающему эллипс.

Решение. У прямоугольника, охватывающего эллипс, проведем диагонали и обозначим точки пересечения этих диагоналей с эллипсом. Этот эллипс и окажется искомым.

Аргументируем построение такого эллипса. На рисунке 5 изображена система координат, в которой построен квадрат, а в него вписан эллипс. Проведены диагонали квадрата, вертикальная и горизонтальная оси симметрии.

Рассмотрим диагональ, идущую на «северо-восток». Решим систему

x

Рис. 5. Рисунок к задаче 3

Одно из решений задает точку в первой четверти плоскости (на рисунке 5 она отмечена). Мы показали построение лишь одной вершины прямоугольника, а читателю предлагаем осуществить построение и узнать координаты трех других вершин прямоугольника.

В построенной задаче 3 в прямоугольник впишем эллипс, который назовем «подобный охватывающему». Эти построения мы продолжим дальше. При этом у всех эллипсов удалим внутренние точки. Получим плоскую фигуру – своеобразный «ковер».

Задача 4. Какова площадь такого «ковра»?

Решение. Обозначим – полуоси эллипса на n-ом шаге процесса.

Согласно задаче 3 , ; .

Площадь «ковра» получается, если из суммы площадей всех прямоугольников вычесть сумму всех эллипсов:

Так как то по формуле суммы всех членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем имеем:

= 2ab(4 –

Введем обозначение D = 4 – .

Площадь полученного «ковра» D. (7)

Задача 5. Доказать следующее оптимальное свойство эллипса: лучи света, исходящие из одного фокуса F1, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус F2 [8].

Решение читатель может найти в учебнике [9] на страницах 167–168 и в наших работах [7, 8].

Заключение

Как показывает практика, предложенные задачи вызывают у учащихся математических классов интерес, их решение формирует у них умения исследовательского характера.

Материал по данной теме читатель найдет в наших работах [10, 11], в статьях журнала «Математика в школе» [12–14] и в работах Е.В. Потоскуева [15, 16].


Библиографическая ссылка

Далингер В.А. УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КЛАССОВ, СВЯЗАННАЯ С РЕШЕНИЕМ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ // Современные проблемы науки и образования. – 2020. – № 2. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=29660 (дата обращения: 23.05.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074