В современных условиях обучения по новым Госстандартам образования, внедрения компетентностного подхода все большее внимание должно уделяться развитию способностей учащихся, формированию специалиста, готового применять и добывать знания. Отметим, что в педагогической науке разработаны различные подходы к организации процесса формирования умений исследовательской деятельности и его содержанию. Нами предпринята попытка организовать исследовательскую деятельность учащихся в процессе решения задач с параметрами.
Задачи с параметрами уверенно вошли в материалы Государственной итоговой аттестации и Единого государственного экзамена по математике. Их решение вызывает немалые трудности у учащихся, которые могут быть объяснены отсутствием в ныне действующих учебниках четких методических указаний по решению задач данного класса.
Приведем примеры систем заданий по теме «Квадратные уравнения с параметрами».
Изучение данной темы необходимо начать с рассмотрения неполных квадратных уравнений с параметрами, позволяющими осуществлять аналитическую деятельность.
Задание 1. При всех значениях параметра а решить уравнения:
1) 
2) 
3) 
4) 
Далее переходим к решению приведенных квадратных уравнений, числовое значение дискриминанта которых представляет собой квадрат целого числа.
Задание 2. При всех значениях параметра а решить уравнение 
Ответ: при всех действительных значениях параметра а уравнение имеет корни 
и 
Задание 3. При всех значениях параметра а решить уравнения:
1) 
2) 
3) 
4) 
Следующим этапом решения квадратных уравнений с параметром является решение уравнений, дискриминант которых есть полный квадрат некоторого двучлена.
Задание 4. При всех значениях параметра а решить уравнение 
Ответ: при всех действительных значениях параметра а уравнение имеет корни 
и 
Анализ решения представленных уравнений позволяет выделить алгоритм решения квадратных уравнений с параметрами данного типа.
Далее учащиеся должны познакомиться с новым для них приемом решения квадратных уравнений – понижения степени. Овладевая им, учащиеся начинают понимать, что при определенных значениях параметра квадратное уравнение приобретает статус линейного.
Задание 5. При всех значениях параметра а решить уравнение 
Приравняем к нулю коэффициент при 
и найдем значение параметра а, при котором квадратное уравнение превращается в линейное: 
При 
исходное уравнение принимает вид 
откуда 
Найдем корни уравнения 
для всех 
:
Анализируя значения дискриминанта, получаем контрольное значение параметра 
Для 
исходное уравнение имеет корень четной кратности
Если 
и 
то 
Ответ: 
Если при решении задания 5 дискриминант представлял собой полный квадрат двучлена, то уравнение задания 6 не обладает данным преимуществом. Поэтому при его решении необходимо провести полное исследование дискриминанта (квадратного трехчлена).
Задание 6. При всех значениях параметра а решить уравнение 
Преобразуем уравнение к стандартному виду 
и применим к нему прием понижения степени.
Если 
то 
и уравнение принимает вид 
откуда 
Если 
, то 
Исследуем дискриминант:
1. Если 
то уравнение имеет два корня. Получили два новых контрольных значения параметра а:
Если 
, то уравнение принимает вид 
, откуда 
Если 
то уравнение принимает вид 
, откуда 
.
Если то 
2. Если 
, то уравнение не имеет корней.
Ответы: 
и 
и 
решений нет.
Проведенное исследование подводит учащихся к выводу о необходимости определения вида уравнения с параметром и о корректировке алгоритма его решения. Закреплению сформированных исследовательских умений служит задание 7.
Задание 7. При всех значениях параметра а решить уравнения:
1) 
2) 
3) 
4) 
Далее переходим к рассмотрению дробно-рациональных уравнений с параметрами, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. При решении уравнений данного вида необходимо с самого начала указывать значения параметра и переменной, при которых уравнение имеет смысл. Знание области допустимых значений переменной и параметра позволяет в дальнейшем исследовать корни уравнения.
Изучение дробно-рациональных уравнений начинаем с уравнений, числитель которых представляет собой квадратный трехчлен в самом «хорошем случае» - его дискриминант является полным квадратом.
Задание 8. При всех значениях параметра а решить уравнение
Укажем область допустимых значений переменной х: 
Преобразуем уравнение к стандартному виду 
и найдем его корни:
Найденные корни должны быть отличны от нуля, то есть 
или 
Откуда 
, 
.
Найденные значения параметра а представляют собой его контрольные значения. При них исходное уравнение имеет один корень
или 
Ответ: 
;
: 
Задание 9. При всех значениях параметра а решить уравнение 
Решение данного уравнения требует анализа формы его записи и ограничений на параметр: 
При этом условии исходное уравнение равносильно уравнению 
.
Решая его, находим, что 
или 
Записываем ответ.
Ответ 
;
Далее знакомим учащихся с решением дробно-рациональных уравнений, решение которых сводится к квадратному уравнению с дискриминантом, не являющимся полным квадратом. Учащиеся понимают, что в этом случае корень из дискриминанта не извлекается, и они сталкиваются с необходимостью решать иррациональные уравнения, что довольно трудоемко, особенно для детей, которые по возрастным показателям еще не владеют техникой их решения. В этом случае на помощь может прийти прием, ведущий к цели более коротким и технически простым путем.
Задание 10. При всех значениях параметра а решить уравнение
Запишем ограничения на значения переменной x: 
После необходимых преобразований перейдем к системе, равносильной исходному уравнению: 
Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения, равен
Так что для того, чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы 
Последнее неравенство выполняется для 
При остальных значениях параметра а квадратное уравнение решений не имеет, и тем более не имеет решений исходное уравнение.
Итак, при 
квадратное уравнение имеет два корня
Исключим посторонние корни. Для этого найдем значения параметра а, при которых х будет равняться 5 или -5:
Выполнение данных условий требует решения четырех иррациональных уравнений.
Выйти из затруднительного положения позволяет следующее рассуждение: каждое значение параметра задает свое, соответствующее только этому значению параметра, уравнение. Естественно, что каждое уравнение, в свою очередь, предполагает свой «набор» корней. Значит, справедливо и обратное: определенному значению переменной х соответствует «свое» значение параметра а.
Поэтому вычислим значения квадратного трехчлена в «запрещенных» точках: 
Тогда 
Итак, если 
то 
Но 
не является корнем, следовательно, остается корень 
Для завершения решения найдем корни уравнения в контрольных точках 
и 
если , то 
; если 
, то 
.
Ответ: 
: ;
: ;
решений нет;
.
В свете рассмотренных дробно-рациональных уравнений с параметрами, совместно с учащимися корректируем алгоритм применительно к решению такого вида уравнений.
Составленный алгоритм решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводимых, позволяет выделить приемы нахождения контрольных значений параметра, от знания которых зависит решение уравнения:
1. Нахождение области допустимых значений параметра.
2. Использование приема понижения степени уравнения.
3. Исследование дискриминанта.
4. Исключение посторонних корней уравнения по области допустимых значений переменной (прием подстановки «запрещенных» значений переменной в формулу корней квадратного уравнения).
Рассмотрим решение дробно-рационального уравнения с параметром, сводимого к квадратному, которое сочетает в себе использование всех выделенных приемов нахождения контрольных значений параметра.
Задание 11. При всех значениях параметра а решить уравнение 
Областью допустимых значений переменной являются все 
, параметра – все 
При 
уравнение не имеет смысла, а значит, не имеет решений.
Преобразуем уравнение к виду 
и найдем его корни, отличные от 2. Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения, равен 
, 
.
Естественно, для того чтобы уравнение имело решения, дискриминант должен быть неотрицательным 
откуда 
Получили новые контрольные значения параметра а: 
и 
Если , то 
. Если 
.
Составим уравнение, позволяющее найти те значения параметра а, при которых переменная х принимает значение 2:
Видим, что для нахождения контрольных значений параметра а, при которых корни уравнения принимают статус «запрещенных», необходимо решить два иррациональных уравнения. Чтобы избежать этого, воспользуемся рассмотренным выше приемом и найдем новые контрольные значения параметра а, подставив в уравнение «запрещенные» значения переменной x: 
откуда 
Систематизируем полученные решения и запишем ответ.
Ответ: 
.
Предлагаемая методика позволяет обучить школьников решению целого класса задач с параметрами, а совместная деятельность по анализу уравнения и выделению приема нахождения контрольных значений параметров готовит учащихся к осуществлению исследовательской деятельности в других разделах математики и на последующих этапах профессиональной подготовки.
Библиографическая ссылка
Романов П.Ю. ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ // Современные проблемы науки и образования. 2016. № 6. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=25611 (дата обращения: 06.11.2025).