Сетевое издание

Современные проблемы науки и образования

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

Далее переходим к рассмотрению дробно-рациональных уравнений с параметрами, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. При решении уравнений данного вида необходимо с самого начала указывать значения параметра и переменной, при которых уравнение имеет смысл. Знание области допустимых значений переменной и параметра позволяет в дальнейшем исследовать корни уравнения.

Изучение дробно-рациональных уравнений начинаем с уравнений, числитель которых представляет собой квадратный трехчлен в самом «хорошем случае» - его дискриминант является полным квадратом.

Задание 8. При всех значениях параметра а решить уравнение

Укажем область допустимых значений переменной х:

Преобразуем уравнение к стандартному виду и найдем его корни:

Найденные корни должны быть отличны от нуля, то есть или Откуда , .

Найденные значения параметра а представляют собой его контрольные значения. При них исходное уравнение имеет один корень или

Ответ:

;
:

Задание 9. При всех значениях параметра а решить уравнение

Решение данного уравнения требует анализа формы его записи и ограничений на параметр: При этом условии исходное уравнение равносильно уравнению .

Решая его, находим, что или Записываем ответ.

Ответ

;

Далее знакомим учащихся с решением дробно-рациональных уравнений, решение которых сводится к квадратному уравнению с дискриминантом, не являющимся полным квадратом. Учащиеся понимают, что в этом случае корень из дискриминанта не извлекается, и они сталкиваются с необходимостью решать иррациональные уравнения, что довольно трудоемко, особенно для детей, которые по возрастным показателям еще не владеют техникой их решения. В этом случае на помощь может прийти прием, ведущий к цели более коротким и технически простым путем.

Задание 10. При всех значениях параметра а решить уравнение

Запишем ограничения на значения переменной x: После необходимых преобразований перейдем к системе, равносильной исходному уравнению:

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения, равен

Так что для того, чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы Последнее неравенство выполняется для

При остальных значениях параметра а квадратное уравнение решений не имеет, и тем более не имеет решений исходное уравнение.

Итак, при квадратное уравнение имеет два корня

Исключим посторонние корни. Для этого найдем значения параметра а, при которых х будет равняться 5 или -5:

Выполнение данных условий требует решения четырех иррациональных уравнений.

Выйти из затруднительного положения позволяет следующее рассуждение: каждое значение параметра задает свое, соответствующее только этому значению параметра, уравнение. Естественно, что каждое уравнение, в свою очередь, предполагает свой «набор» корней. Значит, справедливо и обратное: определенному значению переменной х соответствует «свое» значение параметра а.

Поэтому вычислим значения квадратного трехчлена в «запрещенных» точках:

Тогда

Итак, если то

Но не является корнем, следовательно, остается корень

Для завершения решения найдем корни уравнения в контрольных точках и если , то ; если , то .

Ответ:

: ;

: ;

решений нет;

.

В свете рассмотренных дробно-рациональных уравнений с параметрами, совместно с учащимися корректируем алгоритм применительно к решению такого вида уравнений.

Составленный алгоритм решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводимых, позволяет выделить приемы нахождения контрольных значений параметра, от знания которых зависит решение уравнения:

1. Нахождение области допустимых значений параметра.

2. Использование приема понижения степени уравнения.

3. Исследование дискриминанта.

4. Исключение посторонних корней уравнения по области допустимых значений переменной (прием подстановки «запрещенных» значений переменной в формулу корней квадратного уравнения).

Рассмотрим решение дробно-рационального уравнения с параметром, сводимого к квадратному, которое сочетает в себе использование всех выделенных приемов нахождения контрольных значений параметра.

Задание 11. При всех значениях параметра а решить уравнение

Областью допустимых значений переменной являются все , параметра – все

При уравнение не имеет смысла, а значит, не имеет решений.

Преобразуем уравнение к виду и найдем его корни, отличные от 2. Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения, равен , .

Естественно, для того чтобы уравнение имело решения, дискриминант должен быть неотрицательным откуда

Получили новые контрольные значения параметра а: и

Если , то . Если .

Составим уравнение, позволяющее найти те значения параметра а, при которых переменная х принимает значение 2:

Видим, что для нахождения контрольных значений параметра а, при которых корни уравнения принимают статус «запрещенных», необходимо решить два иррациональных уравнения. Чтобы избежать этого, воспользуемся рассмотренным выше приемом и найдем новые контрольные значения параметра а, подставив в уравнение «запрещенные» значения переменной x: откуда Систематизируем полученные решения и запишем ответ.

Ответ:

.

Предлагаемая методика позволяет обучить школьников решению целого класса задач с параметрами, а совместная деятельность по анализу уравнения и выделению приема нахождения контрольных значений параметров готовит учащихся к осуществлению исследовательской деятельности в других разделах математики и на последующих этапах профессиональной подготовки.