Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,813

ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Романов П.Ю. 1
1 ФГБОУ ВО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова»
В статье предлагается методика обучения учащихся решению уравнений с параметрами на основе исследования вида уравнения. Разработанная автором система задач, предъявляемая в строго определенной последовательности, способствует организации деятельности учащихся по выделению алгоритма решения данных уравнений. По мере усложнения квадратных уравнений с параметрами и уравнений, к ним сводимым, алгоритм их решения корректируется и совершенствуется. При этом анализ способов решения уравнений позволяет выделить приемы поиска контрольных значений параметров, существенно облегчающих решение и позволяющих избежать громоздких математических вычислений. Деятельность учащихся при решении постоянно усложняющихся уравнений по своей структуре и содержанию соответствует исследовательской деятельности, формируя исследовательские умения учащихся и подготавливая учащихся к дальнейшему профессиональному образованию.
задачи с параметрами
контрольные значения параметра
исследовательская деятельность
1. Романов П.Ю. Технология воспитания педагога-исследователя в системе непрерывного образования // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. - 2001. - С. 290-294.
2. Романов П.Ю. Управление формированием исследовательских умений обучающихся в системе непрерывного педагогического образования // Государственная служба. – 2002. - № 6 (20). - С. 99-105.
3. Романов П.Ю. Формирование исследовательских умений обучающихся в системе непрерывного педагогического образования : автореф. дис. ... д-ра пед. наук. - Магнитогорск, 2003. - 47 с.
4. Романов П.Ю., Романова Т.Е. Решение задач с параметрами // Математика. Первое сентября. – 2001. - № 12. - С. 13-15.
5. Романов П.Ю., Романова Т.Е. Роль графической интерпретации результатов решения задач с параметрами в организации исследовательской деятельности учащихся // Современные проблемы обучения математике в школе / ред. Е.И. Жилина. – Магнитогорск, 2000. - С. 84-90.
6. Романов П.Ю., Романова Т.Е. Системный подход в обучении учащихся написанию уравнения касательной к графику функции // Систематизация и обобщения при обучении школьников математике / под ред. Е.И. Жилиной. – Магнитогорск, 1998. - С. 36-41.
7. Романов П.Ю., Романова Т.Е. Уравнение касательной к графику функции // Математика. Первое сентября. – 2001. - № 16. - С. 17-20.
8. Романова Т.Е. Решение уравнений и неравенств первой степени. Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля : учебное пособие. - Магнитогорск, 2004. - 63 с.

В современных условиях обучения по новым Госстандартам образования, внедрения компетентностного подхода все большее внимание должно уделяться развитию способностей учащихся, формированию специалиста, готового применять и добывать знания. Отметим, что в педагогической науке разработаны различные подходы к организации процесса формирования умений исследовательской деятельности и его содержанию. Нами предпринята попытка организовать исследовательскую деятельность учащихся в процессе решения задач с параметрами.

Задачи с параметрами уверенно вошли в материалы Государственной итоговой аттестации и Единого государственного экзамена по математике. Их решение вызывает немалые трудности у учащихся, которые могут быть объяснены отсутствием в ныне действующих учебниках четких методических указаний по решению задач данного класса.

Приведем примеры систем заданий по теме «Квадратные уравнения с параметрами».

Изучение данной темы необходимо начать с рассмотрения неполных квадратных уравнений с параметрами, позволяющими осуществлять аналитическую деятельность.

Задание 1. При всех значениях параметра а решить уравнения:

1)

2)

3)

4)

Далее переходим к решению приведенных квадратных уравнений, числовое значение дискриминанта которых представляет собой квадрат целого числа.

Задание 2. При всех значениях параметра а решить уравнение

Ответ: при всех действительных значениях параметра а уравнение имеет корни и

Задание 3. При всех значениях параметра а решить уравнения:

1)

2)

3)

4)

Следующим этапом решения квадратных уравнений с параметром является решение уравнений, дискриминант которых есть полный квадрат некоторого двучлена.

Задание 4. При всех значениях параметра а решить уравнение

Ответ: при всех действительных значениях параметра а уравнение имеет корни и

Анализ решения представленных уравнений позволяет выделить алгоритм решения квадратных уравнений с параметрами данного типа.

Далее учащиеся должны познакомиться с новым для них приемом решения квадратных уравнений – понижения степени. Овладевая им, учащиеся начинают понимать, что при определенных значениях параметра квадратное уравнение приобретает статус линейного.

Задание 5. При всех значениях параметра а решить уравнение

Приравняем к нулю коэффициент при и найдем значение параметра а, при котором квадратное уравнение превращается в линейное:

При исходное уравнение принимает вид откуда

Найдем корни уравнения для всех :

Анализируя значения дискриминанта, получаем контрольное значение параметра Для исходное уравнение имеет корень четной кратности

Если и то

Ответ:

Если при решении задания 5 дискриминант представлял собой полный квадрат двучлена, то уравнение задания 6 не обладает данным преимуществом. Поэтому при его решении необходимо провести полное исследование дискриминанта (квадратного трехчлена).

Задание 6. При всех значениях параметра а решить уравнение

Преобразуем уравнение к стандартному виду и применим к нему прием понижения степени.

Если то и уравнение принимает вид откуда

Если , то

Исследуем дискриминант:

1. Если то уравнение имеет два корня. Получили два новых контрольных значения параметра а:

Если , то уравнение принимает вид , откуда

Если то уравнение принимает вид , откуда .

Если то

2. Если , то уравнение не имеет корней.

Ответы:

и

и решений нет.

Проведенное исследование подводит учащихся к выводу о необходимости определения вида уравнения с параметром и о корректировке алгоритма его решения. Закреплению сформированных исследовательских умений служит задание 7.

Задание 7. При всех значениях параметра а решить уравнения:

1)

2)

3)

4)

Далее переходим к рассмотрению дробно-рациональных уравнений с параметрами, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. При решении уравнений данного вида необходимо с самого начала указывать значения параметра и переменной, при которых уравнение имеет смысл. Знание области допустимых значений переменной и параметра позволяет в дальнейшем исследовать корни уравнения.

Изучение дробно-рациональных уравнений начинаем с уравнений, числитель которых представляет собой квадратный трехчлен в самом «хорошем случае» - его дискриминант является полным квадратом.

Задание 8. При всех значениях параметра а решить уравнение

Укажем область допустимых значений переменной х:

Преобразуем уравнение к стандартному виду и найдем его корни:

Найденные корни должны быть отличны от нуля, то есть или Откуда , .

Найденные значения параметра а представляют собой его контрольные значения. При них исходное уравнение имеет один корень или

Ответ:

;
:

Задание 9. При всех значениях параметра а решить уравнение

Решение данного уравнения требует анализа формы его записи и ограничений на параметр: При этом условии исходное уравнение равносильно уравнению .

Решая его, находим, что или Записываем ответ.

Ответ

;

Далее знакомим учащихся с решением дробно-рациональных уравнений, решение которых сводится к квадратному уравнению с дискриминантом, не являющимся полным квадратом. Учащиеся понимают, что в этом случае корень из дискриминанта не извлекается, и они сталкиваются с необходимостью решать иррациональные уравнения, что довольно трудоемко, особенно для детей, которые по возрастным показателям еще не владеют техникой их решения. В этом случае на помощь может прийти прием, ведущий к цели более коротким и технически простым путем.

Задание 10. При всех значениях параметра а решить уравнение

Запишем ограничения на значения переменной x: После необходимых преобразований перейдем к системе, равносильной исходному уравнению:

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения, равен

Так что для того, чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы Последнее неравенство выполняется для

При остальных значениях параметра а квадратное уравнение решений не имеет, и тем более не имеет решений исходное уравнение.

Итак, при квадратное уравнение имеет два корня

Исключим посторонние корни. Для этого найдем значения параметра а, при которых х будет равняться 5 или -5:

Выполнение данных условий требует решения четырех иррациональных уравнений.

Выйти из затруднительного положения позволяет следующее рассуждение: каждое значение параметра задает свое, соответствующее только этому значению параметра, уравнение. Естественно, что каждое уравнение, в свою очередь, предполагает свой «набор» корней. Значит, справедливо и обратное: определенному значению переменной х соответствует «свое» значение параметра а.

Поэтому вычислим значения квадратного трехчлена в «запрещенных» точках:

Тогда

Итак, если то

Но не является корнем, следовательно, остается корень

Для завершения решения найдем корни уравнения в контрольных точках и если , то ; если , то .

Ответ:

: ;

: ;

решений нет;

.

В свете рассмотренных дробно-рациональных уравнений с параметрами, совместно с учащимися корректируем алгоритм применительно к решению такого вида уравнений.

Составленный алгоритм решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводимых, позволяет выделить приемы нахождения контрольных значений параметра, от знания которых зависит решение уравнения:

1. Нахождение области допустимых значений параметра.

2. Использование приема понижения степени уравнения.

3. Исследование дискриминанта.

4. Исключение посторонних корней уравнения по области допустимых значений переменной (прием подстановки «запрещенных» значений переменной в формулу корней квадратного уравнения).

Рассмотрим решение дробно-рационального уравнения с параметром, сводимого к квадратному, которое сочетает в себе использование всех выделенных приемов нахождения контрольных значений параметра.

Задание 11. При всех значениях параметра а решить уравнение

Областью допустимых значений переменной являются все , параметра – все

При уравнение не имеет смысла, а значит, не имеет решений.

Преобразуем уравнение к виду и найдем его корни, отличные от 2. Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения, равен , .

Естественно, для того чтобы уравнение имело решения, дискриминант должен быть неотрицательным откуда

Получили новые контрольные значения параметра а: и

Если , то . Если .

Составим уравнение, позволяющее найти те значения параметра а, при которых переменная х принимает значение 2:

Видим, что для нахождения контрольных значений параметра а, при которых корни уравнения принимают статус «запрещенных», необходимо решить два иррациональных уравнения. Чтобы избежать этого, воспользуемся рассмотренным выше приемом и найдем новые контрольные значения параметра а, подставив в уравнение «запрещенные» значения переменной x: откуда Систематизируем полученные решения и запишем ответ.

Ответ:

.

Предлагаемая методика позволяет обучить школьников решению целого класса задач с параметрами, а совместная деятельность по анализу уравнения и выделению приема нахождения контрольных значений параметров готовит учащихся к осуществлению исследовательской деятельности в других разделах математики и на последующих этапах профессиональной подготовки.


Библиографическая ссылка

Романов П.Ю. ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ // Современные проблемы науки и образования. – 2016. – № 6.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=25611 (дата обращения: 20.02.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074