Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

МЕЖДИСЦИПЛИНАРНАЯ ИНТЕГРАЦИЯ КУРСОВ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» И «ГЕОМЕТРИЯ» КАК ФАКТОР ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ МАТЕМАТИКИ

Кушнир Т.И. 1
1 ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный университет»
Статья посвящена проблеме обучения студентов бакалавров математическим дисциплинам во взаимосвязи математического анализа и геометрии, в частности дифференциальной геометрии и топологии и многомерной геометрии, которые изучаются студентами в разделах математики. В ней рассматриваются примеры, показывающие проникновение разделов математического анализа, в частности дифференциального исчисления, в курс геометрии. Показаны основные формы использования разделов математики, их интеграция. Рассматривается вариант реализации междисциплинарной интеграции, раскрывается необходимость активного включения задач из курса математического анализа в курс геометрии и топологии, что позволяет повысить качество подготовки студентов. Показано, что формирование целостного научного мировоззрения у студентов должно быть направлено не только на вооружение их научным пониманием окружающей действительности, но и на превращение этих знаний во внутренние убеждения каждого студента.
мировоззрение
междисциплинарная интеграция
качество подготовки
1. Громыко Н. В. Метапредметный подход как ядро российского образования. URL: http://uch.znate.ru/docs/1733/index-4587.htm
2. Демисенова С.В., Кушнир Т.И. Профессиональная направленность заданий при обучении математике // Наука и образование в XXI веке: сб. науч. трудов по материалам Междунар. науч.-практ. конф. 31 октября 2014 г.: в 17 частях. Часть 11; Тамбов: ООО «Консалтинговая компания Юком», 2014. 164 с. – С. 88–89
3. Кушнир Т.И. Формирование фундаментальных понятий математического анализа у студентов вуза // Педагогика в глобализирующемся пространстве науки: Матер. V Всеросс. науч.- практ. конф. – Тобольск, ТГСПА им. Д.И. Менделеева, 2011. – 191 с. – С. 85–87.
4. Кутумова А.А., Кушнир Т.И. Научно-исследовательская деятельность студентов как фактор повышения качества подготовки бакалавров профессионального обучения // Фундаментальные исследования» № 11-8, 2014. – С. 1803–1807
5. ФГОС ВПО по направлениям бакалавриата. URL: http://fgosvo.ru/fgosvpo/7/6/1/5 (дата обращения 12.10.2014).

Ярким отражением математизации наук, т. е. процесса проникновения идей и методов математики в самые различные области знания, стала междисциплинарная интеграция математики и естественных, технических, экономических и других наук.

Как и у каждой науки, у математики славное прошлое и замечательное будущее. Научные исследования в области физики, химии, биологии, экологии, социологии, экономики, психологии и многих других наук не обходятся без применения математических методов. Поэтому большое значение для будущего специалиста в той или иной сфере деятельности имеет наличие у него исследовательской компетентности в области приложения математики.

Между школьной и высшей математикой имеется большая пропасть. К сожалению, в настоящее время в российском образовании все обучение математике и его содержание в первую очередь нацелено на подготовку к ЕГЭ. Цели обучения математике разнообразны. В них представлены такие направления, как развитие и воспитание личности учащегося в соответствии с потребностями общества, умение применять математические методы для практических нужд, подготовка для продолжения обучения в магистратуре и аспирантуре, в том числе по педагогическим и по физико-математическим специальностям. Взгляды на содержание обучения у разных педагогов могут сильно отличаться.

Изучение в вузе курса математики является важнейшим средством в решении проблемы формирования целостного научного мировоззрения молодых специалистов. Научное мировоззрение является системой взглядов на природу и общественные явления, основанной на данных науки. Работа преподавателей по формированию целостного научного мировоззрения у студентов должна быть направлена как на вооружение их научным пониманием окружающей действительности, так и на превращение этих знаний во внутренние убеждения каждого студента. Математика в процессе обучения студентов несет значительную мировоззренческую нагрузку: абстрактность математики и ее дедуктивный метод исследования позволяют один и тот же математический результат, одни и те же математические понятия применять к изучению самых разнообразных по своему конкретному содержанию явлений [1].

Рассмотрим вузовскую математику. Студенты математических специальностей изучают математику, подразделяя ее на алгебру, геометрию и математический анализ.

В течение всей своей трехвековой истории математический анализ занимал в математике ведущее положение. Его методами решали труднейшие практические задачи, он был объектом бесчисленных теоретических исследований. Именно средствами математического анализа строятся математические модели и производятся операции над этими моделями (дифференциальное и интегральное исчисление).

Попытки ввести начальные сведения из математического анализа в практику школьного математического образования предпринимаются издавна и ведутся с возрастающей настойчивостью. Часто бывает очень трудно разъяснить смысл вводимых понятий и операций и формализовать представление о рассматриваемом понятии, например о бесконечно малых величинах или понятии предела, с которым невозможно связать никакой регулярный алгоритм его вычисления. Понятие предела принципиально неалгоритмично, но оно оказывается основным в математическом анализе и широко используется при вычислениях.

В конце XVIII – начале XIX вв. возникла новая область научных знаний – дифференциальная геометрия, которая обосновывает приложение анализа к геометрии. Основателями этой области стали Л. Эйлер и его предшественники. Эйлер рассматривал выделение вопросов дифференциальной геометрии с двух точек зрения: первая связана с формированием математического анализа и рассмотрением его приложений к геометрии, а вторая – с решением задач картографии и геодезии (т.е. с потребностями практики). Основные результаты, полученные Эйлером в этой области, можно разделить на три группы:

1) результаты по теории кривых на плоскости;

2) результаты по теории кривых в пространстве;

3) результаты по теории поверхностей [2].

Ученики и последователи Эйлера стали прекрасными преподавателями математики, организаторами математического образования в России, авторами руководств по различным вопросам математики (в том числе и по приложениям дифференциального исчисления к геометрии), в которых были реализованы его основные методические идеи.

Первая из них – идея сближения содержания математического образования с современной математикой. Начиная с Л. Эйлера, в учебные курсы математики оперативно стали включаться новейшие достижения науки. Многие из его классических математических сочинений, например по приложению дифференциального исчисления к геометрии, были написаны столь доходчиво и живо, что в течение длительного времени использовались в качестве учебных руководств для университетов. Заложенная им традиция патронажа математики как науки над соответствующим учебным курсом обеспечивала научно-содержательные условия эффективного развития математического образования.

Вначале дифференциальная геометрия была составной частью учебного курса «Математический анализ». В настоящее время это отдельная дисциплина, которая читается студентам направлений подготовки «Математика» и «Математика и компьютерные науки».

Одним из разделов геометрии является многомерная геометрия, которая позволяет от геометрии плоскости и трехмерного пространства перейти к п-мерной евклидовой геометрии. Поэтому важно включать разделы многомерной геометрии в перечень курсов по выбору для подготовки квалифицированных специалистов-бакалавров по направлению «Математика».

Вторая идея – вычленение в математическом образовании основных дисциплин – арифметики, геометрии, тригонометрии, алгебры, математического анализа. Это привело к доминированию тенденции разумной минимизации количества математических дисциплин и избавлению от полиструктурности учебных математических курсов. В русле этой идеи идет их постепенное очищение от чужеродного материала.

Третья идея – построение учебных курсов по математике на основе прогрессивных для того времени таких дидактических принципов, как системность, научность, доступность изложения материала, учет возрастных особенностей учащихся.

Рассмотрим учебные планы направления подготовки «Математика». В этих планах присутствуют связные дисциплины: математический анализ и геометрия. В целях этих дисциплин просматривается «формирование систематических знаний в области математического анализа (дифференциальной геометрии и топологии), о его месте и роли в системе математических наук, приложениях в естественных науках» [5].

Компетенции, формируемые в результате изучения этих дисциплин:

1) общекультурные (ОК):

а) фундаментальная подготовка в области фундаментальной математики и компьютерных наук, готовность к использованию полученных знаний в профессиональной деятельности (ОК-11);

б) способность к анализу и синтезу информации, полученной из любых источников (ОК-14);

2) профессиональные (ПК):

а) глубокое понимание сути точности фундаментального знания (ПК-13);

б) выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16) [5].

Как видим, обе дисциплины ориентируют на учебно-воспитательный и научно-методический виды профессиональной деятельности, их изучение способствует решению типовых задач профессиональной деятельности.

Дифференциальная геометрия изучает линии и поверхности в трехмерном пространстве методами дифференциального и интегрального исчисления, т.е. с использованием таких понятий, как «производная», «дифференциал», «интеграл». Другими словами, основой дифференциальной геометрии являются:

1) аналитическая геометрия;

2) линейная (векторная) алгебра;

3) математический анализ.

Поэтому преподавателю, читающему дисциплину «Математический анализ», важно знать структуру дисциплины, умело выделяя в разделах основные, базовые понятия.

Преподавание дифференциальной геометрии и топологии создает базу для изучения алгебры, геометрии и математического анализа, предполагает достаточно хорошее освоение классических результатов вышеперечисленных предметов. В то же время нельзя изучить дифференциальную геометрию, не изучив математический анализ, который является основой всей вузовской математики.

Организуя учебные занятия по дисциплинам профиля, нужно учитывать их порядок, последовательность, отражать научно-методические основы дисциплины. Аудиторная работа включает лекции, практические занятия, самостоятельную работу, творческие индивидуальные задания.

Рассмотрим пример. Хорошо прослеживается связь между математическими дисциплинами при изучении раздела «Дифференциальное и интегральное исчисление», который является основой всей математики. Этот раздел изучается не только студентами-педагогами, но и в большей степени он необходим студентам технических вузов и прикладных направлений подготовки.

В курсе математического анализа решаются геометрические задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин. В обязательной программе это не выделяется ни в алгебре, ни в геометрии, хотя его большая роль в формировании ряда личностных качеств студента и его мировоззрения неоспорима. Этот курс углубляет знания студентов по математике, способствует повышению качества их математической подготовки, ярче и глубже отражает достижения и проблемы современной математики, содействует профессиональной ориентации студентов в области математики. При этом необходимо дать будущему учителю возможность познакомиться с интереснейшими задачами и их решениями по истории математики, помочь в приобретении навыков решения геометрических задач не только с применением производной, но и методами элементарной математики.

Покажем на конкретном примере связь между указанными дисциплинами. Рассмотрим вариант лекции [3]. В курсе математического анализа изучаются частные производные и их геометрический смысл. Показывается, что касательная плоскость имеет уравнение вида: . Если уравнение поверхности задано в виде , то уравнение касательной плоскости примет вид: . Нормаль к поверхности имеет вид: , а если уравнение поверхности задано в виде, то .

В дифференциальной же геометрии пространственную кривую можно задать и параметрическими уравнениями или векторным уравнением . Это уравнение задает как вектор-функцию скалярного аргумента , т.е. Соответствующую кривую называют годографом вектора .

Уравнения касательной к кривой в точке имеют вид: , где — производные функций в точке .

Как видим, между математическим анализом и геометрией есть много общего. И студентам необходимо показывать эту связь как можно чаще.

Покажем еще на одном примере. Рассмотрим дугу кривой без кратных и особых точек, заданную параметрическими уравнениями: и . Если в каждой точке провести касательную, то вследствие того, что дуга искривлена, эта касательная с перемещением точки касания будет вращаться. Степень искривленности (или кривизну) в различных точках можно выразить некоторым числом.

Кривизной кривой в точке М назовем предел, к которому стремится средняя кривизна дуги ММ1, когда точка М1 вдоль по кривой стремится к М.

Кривизна окружности есть величина, обратная радиусу окружности , так как .

Формула для вычисления кривизны кривой: . Если кривая задана явным уравнением , тогда , если же полярным уравнением, то ее кривизна: . Радиус кривизны вычисляется по формуле: .

Так, в курсе математического анализа рассматриваются кривые, исследуются графики функций на выпуклость, которая определяется с помощью второй производной. Поэтому предполагается, что студенты должны знать основные понятия. В этом случае сразу можно подвести студентов к тому, что есть такое понятие, как «кривизна кривой (изгиб)».

В дифференциальной геометрии рассматривается в пространстве линия , отнесенная к натуральному параметру s. Линия имеет уравнение: .

В каждой точке М линии определены три взаимно-перпендикулярные прямые: касательная, главная нормаль и бинормаль. При движении точки М по линии эти три прямые вращаются с некоторой скоростью, зависящей от самой линии . Скорость вращения касательной называется кривизной линии в точке М и обозначается , а скорость вращения бинормали называется кручением линии в точке М и обозначается .

В векторной форме кривизна вычисляется по формуле: . Кручение .

Практические занятия в учебном процессе имеют, наверное, большее значение, чем лекции. Основная цель этих занятий – отработка теоретического материала, формирование умений по применению теоретических знаний на практике. Они являются наиболее активной формой общения с преподавателем. На этих занятиях закрепляется изученный на лекциях материал, решаются конкретные задачи. В начале практических занятий рекомендуется проведение небольшой проверочной работы, например математического диктанта по знанию основных определений, теоретических фактов, формул, необходимых на данном занятии.

Большое значение имеет и самостоятельная деятельность студентов, формы которой необходимо продумать заранее и нацеливать на ее выполнение с первых занятий.

Задачи, показывающие связь между математическим анализом и геометрией, приучают студентов логически рассуждать, развивают умения анализировать, синтезировать, конкретизировать, обобщать, т.е. способствуют развитию логического мышления и пространственных представлений у обучаемых, строгости суждения, графической культуры. Эти задачи заставляют студентов обстоятельнее и глубже разобраться в известных им сведениях как по математическому анализу, так и по геометрии, а также побуждают дать им практическое применение.

Самостоятельным творческим исследованием является написание курсовых работ. Работа со специальной литературой позволяет развивать творческий потенциал, познавательный интерес, интеллектуальную инициативу, умение самостоятельно ориентироваться в обширной научной литературе. Это также способствует освоению студентами логики и методологии научного поиска, что является обязательным компонентом общенаучной и инструментальной компетенций.

Например, рассмотрим тему курсовой работы «Элементы многомерной геометрии».

Цель данной работы: рассмотреть подробно аксиоматику Вейля многомерного евклидова пространства на базе линейной алгебры.

План

1. Рассмотреть основные факты линейной алгебры.

2. Дать построение многомерного евклидова пространства.

3. Изучить плоскости произвольных размерностей в многомерном евклидовом пространстве.

Также предлагается литература для написания курсовой работы.

Даже по указанной теме можно проследить связь между математическими дисциплинами.

По аналогичной теме может быть предложена и выпускная квалификационная работа.

Рецензенты:

Егорова Г.И., д.п.н., профессор, заведующая кафедрой химии и химической технологии федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» филиал в г. Тобольске, г. Тобольск.

Маллабоев У., д.ф.-м.н., профессор кафедры физики, математики и методик преподавания федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Тюменский государственный университет» филиал в г. Тобольске, г. Тобольск.


Библиографическая ссылка

Кушнир Т.И. МЕЖДИСЦИПЛИНАРНАЯ ИНТЕГРАЦИЯ КУРСОВ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» И «ГЕОМЕТРИЯ» КАК ФАКТОР ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ МАТЕМАТИКИ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 4. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=21068 (дата обращения: 17.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074