Постановка задачи. Среди задач об осесимметричном деформировании упругих оболочек вращения аналитическое решение допускают лишь простейшие – обычно относящиеся к оболочкам правильной формы [4]. Зачастую необходимо применение численных методов: конечно-разностных (и связанных с ними) или вариационных (методы Ритца, Бубнова-Галеркина, конечных элементов (МКЭ), вариационно-разностные). Наиболее распространенными являются вариационные методы, основанные на вариационном принципе Лагранже, в первую очередь – МКЭ [1]. Обычно они связаны с определением трех кинематических переменных: продольного и поперечного перемещений ,
и угла поворота
. Возможно осуществить некоторое преобразование уравнений, при котором вместо
,
определяются радиальное и осевое перемещения
,
. Это дает ряд преимуществ, в том числе: более простое описание геометрии, менее строгие требования к гладкости дуги меридиана, аддитивность переменных в нелинейной задаче и др. Порядок системы, однако, при этом не изменяется. В то же время в статически-определимых задачах, когда несамоуравновешенная нагрузка априорно известна, удается выразить осевой усилие через известные величины, получить системы 4-го порядка относительно
,
и отдельно формулу для
(подобный прием используется при выводе уравнений Мейснера [4]).Полученная система, как и исходная система уравнений, обладает всеми необходимыми свойствами, чтобы сформулировать эквивалентный ей вариационный принцип. Любой вариационный метод, основанный на нем, приводит к разрешающей алгебраической системе меньшей размерности, что позволяет существенно уменьшить вычислительные затраты. Такой подход применим фактически к любому корректному варианту теории оболочек: классическому (типа Лява [4]), с учетом сдвига (типа Тимошенко) [2], [3] поперечного обжатия и перекрестных слагаемых в соотношениях упругости, для оболочек сложной внутренней структуры [5], анизотропных и т.д. Конкретная реализация ниже осуществлена на примере простейших уравнений типа Тимошенко.
Вывод вариационного уравнения
Запишем в наиболее общем матричном виде уравнения осесимметричного деформирования оболочки вращения, согласующиеся с любым вариантом теории:
(1)
Здесь – радиус и меридиональная координата;
– векторы обобщенных усилий, перемещений и деформаций;
– векторы распределенных нагрузок и навязанных деформаций (вызванных, например, начальными напряжениями);
– матрица жесткости;
– матрица присоединенной жесткости (при наличии упругого подвеса);
– некоторые геометрические матрицы. Символ
означает транспонирование. Будем считать, что на краях заданы нулевые кинематические граничные условия или для некоторых компонент в общем случае – ненулевые граничные условия:
(2)
Системе (1) совместно с граничными условиями (2) соответствует вариационный принцип Лагранжа, который формулируется следующим образом. Среди всех векторов , удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, решением задачи является тот, который доставляет функционалу
минимальное значение:
(3)
где
(4)
– (5)
удельная внутренняя энергия, удельная работа распределенной нагрузки, работа краевых сил. Слагаемое в формуле для
является постоянным и может быть исключено из рассмотрения. Выражение под знаком интеграла в (3) может быть переписано в виде:
где
(6)
Конкретизируем вид матриц для простейших уравнений типа Тимошенко. Предварительно введем обозначения для недостающих геометрических, а также физических характеристик: – осевая координата;
– угол между ортами
и
;
– радиусы меридиональной и широтной кривизн;
– толщина;
– модуль Юнга;
– коэффициент Пуассона. Будем считать, что заданы продольная, поперечная и моментная распределенные нагрузки
, полная осевая сила
на краю
и, возможно, другие краевые усилия. Неизвестными являются меридиональные и окружные растягивающие усилия
и изгибающие моменты
, соответствующие им деформации растяжения
и изгиба
, перерезывающее усилие
, сдвиг
, перемещения
, поворот
. Они подчиняются известным уравнениям [2], для которых матрицы и векторы, входящие в (1), равны
(7)
(8)
Традиционное вариационное уравнение вытекает из (3), где использованы формулы (5), (6) и, согласно (7), вычислено
(9)
Для построения уравнений пониженной размерности введем осевые и меридиональные усилия, перемещения и внешние распределенные нагрузки:
(10)
Это позволяет записать два уравнения равновесия:
а из третьего уравнения
и условия вычислить осевое усилие
(11)
в простейшем случае, при
Далее, свяжем новые перемещения с компонентами деформаций:
Наконец, соотношения упругости перепишем в виде
Подставив в уравнения равновесия и в выражения для производных от перемещений все выписанные формулы, получим систему уравнений относительно двух усилий и двух перемещений:
(12)
и отдельно формулу для перемещения (для определенности будем считать, что
), выраженного через них
(13)
где обозначено
(14)
Система (12) записывается в виде (1) при
(15)
Следовательно, ей соответствует вариационный принцип (3), в котором использованы формулы (5), (6), и, согласно (15), вычислено
(16)
Обсуждение результатов и выводы
Таким образом, задача об осесимметричном деформировании оболочки вращения свелась к модифицированному вариационному уравнению, имеющему ту же структуру, что и традиционное, но пониженную размерность. Отметим условный характер присущих ему понятий: внутренняя энергия, упругий подвес и т.д. – которые в данном случае являются характеристиками уравнений, но не исходной конструкции как таковой. Подчеркнем, что например, при использовании традиционного метода конечных элементов с переменными исключение узловых значений
не позволяет прийти к модифицированным конечно-элементным уравнениям. Наконец, укажем ряд дополнительных преимуществ полученного модифицированного уравнения, кроме тех, которые связаны с выбором переменных в неподвижных осях (они указаны в начале статьи) и пониженной размерности. К ним относится значительно лучшая обусловленность матриц и возможность непрерывного перехода к теории типа Лява, связанная с тем фактом, что все компоненты матриц остаются конечными при
(кроме тех точек, где
).
Рецензенты:
Картузов Е.И., д.т.н., профессор кафедры теоретической механики Санкт-Петербургского Государственного морского технического университета, г. Санкт-Петербург;
Сорокин С.В., д.т.н., профессор кафедры сопротивления материалов Санкт-Петербургского Государственного морского технического университета, г. Санкт-Петербург.
Библиографическая ссылка
Терентьев А.В. АНАЛИЗ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ // Современные проблемы науки и образования. 2015. № 2-1. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=20760 (дата обращения: 10.05.2025).