Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ И СИСТЕМ ЗАЗЕМЛЕНИЯ

Нестеров Р.Е. 1 Канев Ф.Ю. 1 Макенова Н.А. 1
1 Национальный исследовательский Томский политехнический университет
В статье рассматривается построение математической модели линии электропередач, позволяющей получить распределение токов и напряжений в линии в установившемся и переходном режимах. При этом особое внимание уделяется вычислению взаимных емкостей проводов, определяющих утечки энергии между проводниками и землей. Также приводится модель, позволяющая вычислить напряженность и потенциал электростатического и магнитного полей, генерируемых протекающими токами. Еще одной моделью, проводимой в статье, является математической модель стержневого заземлителя, с помощью которой находятся токи, стекающие в грунт и вычисляется шаговое напряжение. Для всех указанных моделей описывается их программная реализация и отмечается возможность использования полученных приложений в учебном процессе.
магнитное поле линии
электростатическое поле линии
стержневой заземлитель
Линия электропередач
1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. – М.: Высшая школа, 1978. – 231 с.
2. Носов Г.В., Канев Ф.Ю. Основы электротехники. – Томск: Изд-во ТПУ, 2010. – 144 с.
3. Пособие к «Инструкции по устройству молниезащиты зданий и сооружений». – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 18 с.
4. Ристхейн Э. Введение в энерготехнику. – Таллин: Elektriajam, 2008. – 213 с.
5. Теоретические основы электротехники. Том II. Нелинейные цепи и основы электромагнитного поля / Под ред. П. А. Ионкина. – М.: Высшая школа, 1976. – 383 с.
С целью повышения эффективности передачи энергии и увеличения надежности срабатывания релейных защит необходимым является расчет распределения токов и напряжений в линиях электропередач в переходном и установившемся режимах и вычисление электростатического и магнитного полей линии. Нужно отметить, что вычисление параметров линии в установившемся режиме возможно на основе аналитических методов, в то время как выполнение анализа переходных процессов целесообразно с использованием численных алгоритмов [1, 5].
 
Для проведения исследований по данной тематике была написана серия компьютерных приложений, в одном из которых проводится моделирование линии в установившемся режиме, второе позволяет рассчитывать переходные процессы. В обоих случаях предусмотрена возможность варьировать параметры линии и нагрузки, задавать напряжение или ток на входе. В результате вычислений установившегося режима пользователь получает наглядное представление о распределении токов, напряжений и мощности в линиях с потерями и без потерь. В переходном режиме определяется изменение формы импульса при его распространении в линии.

Еще две программы из разработанного набора приложений предназначены для моделирования электростатического и магнитного полей, генерируемых протекающими в проводах токами [2]. В результате работы приложений на экран выводится картина поля, сформированная линиями равного потенциала и силовыми линиями. Также программы позволяют вычислить напряженность поля и его потенциал в любой точке пространства, окружающего линию.

В настоящее время проблемам техники безопасности уделяется все большее внимание. Для защиты жилых построек предусматриваются молниеотводы, представляющие собой молниеприемник (металлический стержень), токоотводящий шнур и заземлитель [3]. Заземлитель может быть простым металлическим стержнем (чаще всего стальным) или сложным комплексом элементов специальной формы. Для заземления электрооборудования в жилых зданиях и сооружениях используют «горизонтальные» и «вертикальные» заземлители, в обоих случаях электроды располагают в грунте на нужной глубине, чтобы они не были повреждены при работе машин. Глубинные вертикальные электроды наиболее экономичны, достигают хорошо проводящих слоев грунта [4]. Нами предложена простая и удобная в использовании программа численного моделирования стержневого заземлителя для бытовых и промышленных нужд. Программа написана на языке Visual C++ и построена как однодокументное приложение на основе приведенных в статье математических моделей.

Моделирование установившегося и переходного режимов линии электропередач

При расчете переходных процессов в длинных линиях, вызванных прохождением импульсов напряжения и тока, в модели используется частотный (спектральный) метод [5]. При этом спектральную функцию можно определить при помощи прямого преобразования Фурье

(1)

а функцию времени при помощи обратного преобразования Фурье

(2)

Для применения метода необходимо задать нулевые начальные условия и использовать абсолютно интегрируемую функцию f(t). В этом случае спектральную функцию F() искомого напряжения или тока можно найти символическим методом, а затем по (2) определить соответствующую функцию времени.

В данной работе в переходном режиме рассматривается прохождение вдоль линии синусоидального импульса от источника напряжения с длительностью :

                            (3)

который подключается к однофазной линии в момент времени t = 0 (здесь к  целое число, выбираемое из интервала от 1 до 10). Для импульса заданного уравнением (3) по соотношению (1) находим спектральную функцию

, (4)

В результате на основании обратного преобразования Фурье (2) можно определить напряжение и ток в линии как функции координат и времени:

(5)

 
Если зафиксировать координату х от 0 до l (l – длина линии), то по формулам (3 ¸ 5) вычисляется изменение во времени тока и напряжения в данной точке линии. При этом учитывается возможное многократное прохождение волн вдоль линии и их отражение от нагрузки и начала линии.
 
На основе рассмотренной вычислительной схемы была написана программа, моделирующая распространение импульса в линии, входными данными для которой являются первичные параметры линии и параметры нагрузки. Пользователю также предоставляется возможность задать параметры импульса: амплитуду напряжения и число полуволн, формирующих импульс. Результаты вычислений приводятся на рис. 1, где представлено изменение формы импульса напряжения при распространении в линии при наличии искажений. Подобные результаты возможно получить и для линии без искажений и для линии без потерь. Сравнение данных позволяет сделать выводы о влиянии характеристик линии на процесс распространения импульсов.

Рис. 1. Распространение импульса в линии

Моделирование электростатического и магнитного полей линии

Еще одной важной задачей, возникающей при проектировании линий электропередач,  является вычисление напряженности электрического и магнитного полей, возникающих при протекании токов в линии.  Математическая модель была разработана на основе уравнений Максвелла, а также с использованием методов зеркальных изображений и наложения [1, 2]. Все программные модули были оформлены как лабораторные работы, предназначенные для использования в учебном процессе или выполнения студенческих исследовательских работ. Полный пакет включал три программы. С использованием одной из них возможно определить распределение скалярного потенциала магнитного поля линии и по полученному распределению построить силовые линии, рассчитать индуктивности проводов и силы, действующие на них.

Следующая программа, входящая в пакет моделирует электростатическое поле линии электропередач. С ее использованием строятся линии равного потенциала, по которым, для получения полной картины поля,  достраиваются линии напряженности.

Еще одна модель предназначена для проведения  исследования зависимости между зарядами (токами) и потенциалами системы проводящих тел, расчета  потенциальных и емкостных коэффициенты, частичных емкостей определения зависимости  частичных емкостей от геометрии системы. Геометрия решаемой задачи иллюстрируется на рис. 2.

Рис. 2. Геометрия линии электропередач при наличии взаимных емкостей проводов

 

Исследования, проведенные с использованием данной модели, позволили сделать следующие выводы:

1.    Собственные частичные емкости проводов зависят от расстояния между проводом и “землей”. С увеличением расстояния до “земли” емкости уменьшаются по экспоненциальному закону.

2.    Взаимные частичные емкости проводов зависят не только от расстояния между проводами, но и от геометрии линии. В частности, на значительном удалении от поверхности “земли” минимум взаимной емкости между проводами 1 и 2 достигается, когда третий провод расположен на линии, соединяющей провода 1 и 2. Если система трех проводов расположена на малом расстоянии от “земли”, симметрия задачи нарушается и минимум смещается в направлении от поверхности “земли”.

Таким образом, методы компьютерного моделирования позволяют достаточно полно описать многопроводную линию, получить значительный объем информации об электромагнитном поле, наведенном токами, протекающими в проводах. Кроме этого приложения удобны для использования, с их помощью возможно наглядное представление электростатического и магнитного полей.

Построение модели стержневого заземлителя

Для расчета электрического поля сферического заземлителя диаметром d и с током I0, расположенного на глубине h, возможно использовать метод зеркальных изображений и наложения [3]. На месте зеркального изображения помещается электрод с тем же током I0 (схематически изображение заземлителя показано на рис. 3), где  и , причем 0 < r < ∞ и –∞ < Z ≤ 0. Плотность тока в земле от уединенного шара без учета влияния поверхности земли будет равна при r1 > d/2.

. (6)

тогда согласно закону Ома напряженность электрического поля составит

, (7)

и потенциал

. (8)

где  – удельная проводимость среды, зависящая от физических свойств проводящего материала и температуры. При условии, что φ1 = 0 при r1 → ∞, C1 = 0.

Плотность тока, напряженность и потенциал от изображения заземлителя находятся как

;      ;                                 (9)

Результирующее поле с учетом влияния поверхности земли будет характеризоваться геометрической суммой векторов напряженности E1 и E2, а также суммой потенциалов от каждого из шаров в отдельности

.                                       (10)

Все приведенные выше формулы описывали сферический заземлитель [4], тогда как интерес представляет вычисление поля стержня. Для выполнения подобных расчетов стержневой заземлитель можно представить в виде совокупности сферических заземлителей (рис. 4), с каждого из которых стекает ток

, (11)

тогда в некоторой точке N можем записать следующее выражение:

, (12)

из которого потенциал определяется как:

, (13)

Рис. 3. Стержневой заземлитель как набор сферических заземлителей, где 0 < Z0 < l

 

На основе приведенного выше математического аппарата была построена программа расчета электростатического поля стержневого заземлителя, которая позволяет определить при заданных значениях проводимости грунта γ, токе заземлителя I0, его длине l и диаметре d сопротивление заземлителя RЗ и распределение потенциала в грунте, также возможным является расчет потенциал на поверхности земли и шагового напряжения. В качестве примера было вычислено распределение напряжения на поверхности для стержня длиной 3 м и диаметром 0,2 м при токе I0 = 20 А (рис. 4). Полученные результаты показали, что значение потенциала уменьшается с увеличением расстояния до стержня и также зависит от диаметра и сопротивления заземлителя.

Рис. 4. Изменение напряжения на поверхности земли при увеличении диаметра стержня (l = 3 м, I0 = 20 A). Диаметр стержня/сопротивление, м/Ом: 1) 0,2/16,4; 2) 0,4/13,5; 3) 0,6/11,5; 4) 0,8/10,0; 5) 1,0/9,0

Заключение

В статье описана модель линии электропередач, работающей в переходном и установившемся режимах, модель электростатического и магнитного полей, генерируемых токами в линии, а также модель стержневого заземлителя. С использованием моделей показано, что

1.             Собственные частичные емкости проводов зависят от расстояния между проводом и “землей”. С увеличением расстояния до “земли” емкости уменьшаются по экспоненциальному закону.

2.             Взаимные частичные емкости проводов зависят не только от расстояния между проводами, но и от геометрии линии.

3.             С увеличением длины стержня заземлителя или его диаметра наблюдается уменьшение напряжение на поверхности земли и шагового напряжения. Шаговое напряжение возрастает при увеличении тока стекающего в заземлителя.

Рецензенты:

Курец В.И., д.т.н., профессор кафедры ЭСиЭ ЭНИН НИ ТПУ, Национальный исследовательский университет, г. Томск;

Исаев Ю.Н., д.ф.-м.н., профессор кафедры ЭСиЭ ЭНИН НИ ТПУ, Национальный исследовательский университет, г. Томск.


Библиографическая ссылка

Нестеров Р.Е., Канев Ф.Ю., Макенова Н.А. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ И СИСТЕМ ЗАЗЕМЛЕНИЯ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1-1. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=19248 (дата обращения: 23.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074