Рассмотрим роботизированную платформу, предназначенную для защиты технологических объектов, а также человека-оператора от низкочастотных воздействий со стороны основания. При этом поставим обратную робототехническую задачу: при любых случайных воздействиях со стороны подвижного основания построить такой закон управления приводным механизмом, при котором объект (платформа) является неподвижным в инерциальной системе координат. При этом необходимо рассмотреть вопросы выбора схем и конструкций приводов и типа датчиков, а также синтеза системы управления.
В качестве привода будем рассматривать электромеханический исполнительный механизм (рис.1), который является наиболее простым по своему конструктивному исполнению и эксплуатационным характеристикам.[1] Кроме того, он обеспечивает большие относительные перемещения, порядка десятка сантиметров и возможность эксплуатации в неблагоприятных средах. Частотный диапазон работы определяется, главным образом, частотным диапазоном используемого электродвигателя. В качестве датчиков обратных связей используем акселерометры, установленные на объекте и основании, и датчик относительного перемещения.[2]
Рис. 1. Система с электромеханическим исполнительным механизмом с шарико-винтовой парой: 1 — электродвигатель; 2 — шарико-винтовая пара; 3 — объект виброзащиты; 4 — датчик тока; 5 — датчик скорости; 6 — датчик положения; 7 — регулятор;
8 — усилитель мощности.
Построим математическую модель привода. В винтовой шариковой паре модель передачи скоростей и момента описывается уравнениями:
; (1)
где 
- шаг резьбы, 
- число заходов резьбы, 
- скорость вращения якоря двигателя, 
- перемещение основания[3]
Рассмотрим двухфазный шаговый электродвигатель с активным неявнополюсным ротором. Примем за начало отсчета угла 
положение, при котором ось полюса ротора совпадает с осью фазы 1. При этом
; 
; 
; 
; 
; 
Запишем уравнения напряжений и момента
; (2)
; (3)
; (4)
; (5)
где 
- момент нагрузки, 
- момент инерции ротора двигателя, 
- ток, сопротивление и напряжение 1-й фазы двигателя, 
- ток, сопротивление и напряжение 2-й фазы двигателя, - угол между осью полюсов и вектором н. с., 
- число пар полюсов, 
- максимальное потокосцепление возбужденного ротора с одной фазой статора, 
- коэффициент взаимоиндукции, 
- угловая скорость
Из уравнений 1- 5 получена система уравнений
,
,
, (6)
,
Упростим уравнения (6), приняв угол близким к нулю (при этом 
, а 
), а затем приведем их к виду, характерному для уравнений, описывающих систему в пространстве состояний, приняв
, 
,
,
, (7)
.
Введем 4 переменные состояния: 
, 
, 
и 
. Система уравнений (7) примет вид
,
,
, (8)
.
или в векторно-матричной форме
;
(9)
,
где 
- вектор состояния, 
- вектор возмущающего воздействия, 
и 
- матрицы коэффициентов системы, 
- вектор входных сигналов, 
- коэффициент входных сигналов, 
- вектор-строка входных сигналов.
Исследование динамических свойств исполнительного механизма при дискретном входном сигнале
Работа шагового двигателя осуществляется в результате подачи на вход импульсов напряжения. В связи с этим переведём первое уравнение системы уравнений 9 в дискретную форму. В результате получим
;
(12)
,
где 
; 
;
(13)
В матричном уравнении (12) символы 
, 
, 
и 
обозначают аналоги матриц 
, 
, C и D для дискретной системы, а символ 
введён для обозначения периода дискретизации. Ввиду большой сложности математических выкладок представляется нецелесообразным выводить общий вид матриц , , и . Удобнее рассчитывать матрицы , , и в числовом виде для каждой конкретной четверки матриц , , C и D.
Перейдём к передаточной функции, описывающей влияние напряжений на якоре 
на скорость поступательного движения механизма 
(14)
где 
- переходная матрица состояния.
Из уравнения (14) может быть выражена передаточная функция, описывающая влияние напряжений на якоре 
на угловую скорость вращения вала двигателя 
(15)
Исходя из требований, предъявляемых к системе, и рекомендаций по расчёту винтовой шариковой передачи, составим таблицу исходных технических данных для расчёта винтовой шариковой передачи (табл.1).
В качестве примера рассмотрим шаговый электродвигатель FL20STH, имеющий следующие технические характеристики (табл. 2).
Таблица 1
Исходные технические данные для расчета винтовой шариковой передачи
|
№ п/п |
Наименование характеристики и обозначение |
Единица измерения |
Значение |
|
1. |
Шаг резьбы |
— |
2 |
|
2. |
Число заходов резьбы, n |
— |
5 |
Таблица 2
Технические данные шагового двигателя FL20STH
|
№ п/п |
Наименование характеристики и обозначение |
Единица измерения |
Значение |
|
1. |
Мощность электродвигателя номинальная, P |
Вт |
|
|
2. |
Напряжение якоря номинальное, Uном |
В |
|
|
3. |
Момент нагрузки, Мном |
кг×м |
18·10-4 |
|
4. |
Момент инерции ротора, J |
кг×м2 |
9·10-7 |
|
5. |
Число пар полюсов, p |
|
4 |
|
6. |
Максимальное потокосцепление возбужденного ротора с одной фазой статора, ψm |
|
5·10-4 |
|
7. |
Сопротивление фазы двигателя, r1, r2 |
Ом |
5,6 |
|
8. |
Индуктивность якоря, L |
Гн |
0,42 |
После проведения соответствующих вычислений получаем передаточную функцию
(16)
Для нашей системы (12) найдем управление
(17)
которое минимизирует[4]
(18)
Введем во второе уравнение системы (12) управление u. Сделано это для ограничения величины используемого управления, т.к. в противном случае можно добиться сколь угодно маленького значения J с помощью достаточно больших u. Система (12) примет вид
;
(19)
,
Как известно
, (20)
где 
– передаточная функция замкнутой системы от возмущения ω к выходу y, т.е. минимизация J эквивалентна задаче H∞-оптимизации.[5]
Преобразуем предварительно 
(21)
Предположим для простоты выкладок, что 
, тогда смешанное произведение отсутствует
(22)
где
(23)
Таким образом задача записывается так
, 
, 
, 
(24)
, где 
(25)
Если неравенство
(26)
имеет решение P>0, то J≤γ2.
Умножим неравенство (20) слева и справа на Q=P-1
(27)
и сделаем замену 
(28)
Преобразуем члены, зависящие от Y
(29)
причем равенство достигается при 
.
Неравенство (23) выполняется при некоторых Q>0, Y тогда и только тогда, когда выполняется неравенство относительно Q>0
(30)
В свою очередь он имеет положительно-определенное решение Q>0, если такое решение имеет уравнение Рикатти, полученное заменой неравенства на равенство. По этому решению восстанавливаем соответствующий стабилизирующий регулятор
(31)
Матрицы , и D уравнения (12) для такой системы будут следующими:
, 
, 
Перейдя к дискретной задаче, приняв период дискретизации 
с, получим следующие матрицы , , уравнения (12):
,
,
,
, 
Установим следующие значения весовых коэффициентов:
, 
После выполнения процедуры нахождения коэффициентов обратных связей оптимального регулятора была получена матрица коэффициентов обратных связей
K = [0,0984; 0; 0,0001; 0,0001]
Рис. 2. Структурная схема системы виброзащиты с электромеханическим исполнительным механизмом: ШД – шаговый двигатель, ШВП – шарико-винтовая передача.
Выводы
Перспективным будет применение шагового двигателя. Позиционирование шаговым двигателем выполняется без проскальзывания и перерегулирования, также отсутствует зона нечувствительности. Отметим, что выбор или разработка электродвигателя для применения в подобных система требует специального исследования и поиска оптимальных решений с учётом развития техники.
Исследования реакции на внешнее возмущение показали высокую эффективность выбранной схемы электромеханического привода и алгоритма управления, а также пути дальнейших исследований и усовершенствований системы.
Рецензены:
Погонин А.А., д.т.н., профессор кафедры технологии машиностроения ФГБОУ ВПО Белгородского государственного технологического университета, г. Белгород;
Пелипенко Н.А., д.т.н., профессор Белгородского государственного национального исследовательского университета, г. Белгород.
Библиографическая ссылка
Черкашин Н.Н., Гапоненко Е.В., Мамаев Ю.А., Малышев Д.И. СИНТЕЗ ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА РОБОТИЗИРОВАННОЙ ПЛАТФОРМЫ НА ОСНОВЕ H∞-ОПТИМИЗАЦИИ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=16586 (дата обращения: 11.10.2024).