В настоящее время в основном усилиями российских ученых создана теория минимаксного (гарантированного) оценивания, результаты которой успешно внедрены при обработке телеметрической информации от космических аппаратов, при реализации информационных систем в различного рода управляющих комплексах и на других объектах [1,3,4].
Согласно этой теории в простейшем случае полагается, что модули компонент ошибок линейной модели являются ограниченными четкими числами. Далее показывается, что минимаксная ошибка оценок параметров модели, которые находятся с помощью несмещенного алгоритма оценивания, определяется путем решения соответствующей четкой задачи линейного программирования. В этой же теории рассматриваются более сложные модели ошибок, которые приводят к различным задачам нелинейного математического программирования относительно параметров алгоритма оценивания.
Ниже рассматривается нечеткий аналог различных задач минимаксного оценивания, в которых предполагается, что ошибки возмущений являются нечеткими переменными. Это позволяет синтезировать нечеткий алгоритм робастного оценивания, который на наш взгляд более адекватно учитывает возмущения на промышленно-действующих системах.
1.предварительные сведения [6-8]
Ниже рассматриваются некоторые положения теории нечетких множеств, которые далее будут использованы для разработки общей модели нечетких возмущений и затем для синтеза простейшего алгоритма нечеткого оценивания, реализуемого в виде нечеткой задачи линейного программирования.
1.1. Нечеткое число определяется
как отображение
,
где
–
функция принадлежностей. Из-за отсутствия взаимной однозначности выделяются
«левая»
и
«правая»
ветви
относительно
,
каждая из которых определяет уже взаимно однозначное отображение. В теории
нечетких множеств используется эквивалентная уровневая форма представления
нечеткого числа, задаваемая в виде обратного отображения
.Для
отображения
выделяются
«нижняя»
и
«верхняя»
ветви.
Таким
образом, для нечетного числа используется
цепочка эквивалентных представлений:
Относительно должны
выполняться следующие свойства:
(i)
функция
полунепрерывна
сверху;
(ii)
функция
монотонно
возрастает;
(iii)
функция
монотонно
убывает.
(iv)
Кроме этого для должно
выполняться условие
.
Если
имеет
треугольную форму, то перечисленные свойства выполняются для остроугольного
треугольника, поэтому не каждый тупоугольный
треугольник может изображать нечеткое число.
Обычно применяется
обозначение:
Арифметические
операции («+», «-», «х», «÷») для нечетких чисел хн и
ун определяется соотношением:
(1)
Операции
сравнения «≥», «≤» следует из
определения [8]: имеем нечеткие числатакие, что
тогда
если
:
Совокупность нечетких чисел образует банахово пространство [4].
В теории нечетких множеств помимо общего определения нечеткого числа, которое приведено выше, часто в теоретических исследованиях используются треугольные нечеткие числа [6]. Они имеют функцию принадлежностей «r» в виде треугольника с острыми углами в его основании. Этому соответствует тройка чисел а1<а2<а3, где основание supp r =[а1, а3], а координата высоты (ядро) core r=а2. Для нечеткого числа N(x), х∈R1 с треугольной формой принято обозначение N(x)=(а1/а2/а3). Различают следующие типы N(x): если а1>0, то N(x)>0; если а1≥0, то N(x)≥0; если а3<0, то N(x)<0; если а3≤0, то N(x)≤0.
1.2. Нечеткая функция определяется
как отображение
,
где
-
совокупность функций принадлежностей
.
Это отображение параметризуется относительно r
и
может быть представлено в виде [8]:
По аналогии с (1) для нечеткой функции вводится
критерий:
Имеют место следующие утверждения:
¾
нечеткая
функция монотонно
возрастает (убывает), если для любых
и
выполняется:
¾
нечеткая
функция непрерывна
для
,
если
непрерывна;
1.3. Нечеткая производная интеграл [6,8].
Арифметическая операция «сложения» задается в соответствии с принципом
обобщения по (1), а операция «вычитания» путем введения «обратного» элемента в
соответствующем нечетком векторном пространстве. Предельный переход, который
появляется при вычислении нечеткой производной, определяется в смысле сходимости
по метрике в нечетком векторном пространстве:
-
нечеткая функция дифференцируема,
если
дифференцируема;
производная от нечеткой функции
равна
-
нечеткая функция интегрируема
по Риману, если
интегрируема;
интеграл от нечеткой функции
равен
Приведенные утверждения показывают, что нетрудно сконструировать нечеткие аналоги основных структур классического математического анализа: максимум (минимум) нечеткой функции, нечеткие точки перегиба, нечеткие дифференциалы, касательные и т.д.
ЗАМЕЧАНИЕ [6]. В теории нечетких дифференциальных уравнений введенную выше нечеткую производную принято называть GVD-Goetschel/Voxman derivative. Помимо этой производной существуют другие типы нечетких производных:
¾ производная SD-Seikkala derivative;
¾ производная DPD-Dubois/Prade derivative;
¾ производная PRD-Puri/Ralescu derivative;
¾ производная KFMD-Kandel/Friedman/Ming derivative;
¾ другие более абстрактные производные.
Все эти перечисленные
нечеткие производные отличаются между собой используемой метрикой и применяются
для разрешения нечеткой начальной задачи, а также для решения простейших
нечетких дифференциальных уравнений в частных производных. Взаимосвязь перечисленных
нечетких производных следует из следующих утверждений для нечетких производных :
¾ если
;
¾ если
;
¾ если
;
¾ если
.
Далее будем использовать . Для простоты обозначений верхний
индекс GV
будем опускать и соответствующую нечеткую производную будем обозначать
.
1.4. Нечеткие случайные величины [7]. Тройка () определяет нечеткое вероятностное
пространство, где
-пространство элементарных нечетких
случайных событий, Вн- борелевская нечеткая алгебра; Рн- вероятностная
мера на борелевской нечеткой алгебре. Пространство
–совокупность нечетких случайных
событий с функцией принадлежностей ri∈[0,1],
которые могут появиться в результате нечеткого эксперимента Эн.
Здесь wнi
– неразложимый нечеткий исход Эн. Нечеткая алгебра
, где
-нечеткое случайное событие (
), Т,S-нормы
в Ан, «-» нечеткое отрицание. В нечеткой алгебре Ан
операции не фиксируются, а перечисляются лишь их свойства, поэтому существует
бесчисленное число нечетких алгебр {Ан}. Задавая операции Т, S,
«-» по заде для
из {Ан} выделяют
«борелевскую» нечеткую алгебру
. Отображение Р:А→R1
со свойствами (i)
0≤Р(Анi)≤1;
(ii)
(iii)
.
Имеет место совокупность формул нечетких вероятностей.
Нечеткая случайная
величина определяется путем отображения
. Функция распределения
определяется в виде:
Математическое ожидание
определяется как:
, где
-нечеткое случайное событие;
-нечеткая вероятность появления Анi.
Очевидно, что
является нечетким множеством.
В совокупности {} с заданными операциями «сложения» и
«умножения» на число «к» [8] вводится метрика Хаусдорфа (х):
Здесь
приняты обозначения:
- верхняя и нижняя полуметрики
Хаусдорфа соответственно;
- верхняя и нижняя ветви соответственно
уровнего представления
функции принадлежностей нечеткого
множества
- ковариация между
и
. Непосредственно из определения
следует:
- дисперсия нечеткой случайной величины
, которая является четким числом.
Расчеты показывают, что в пространстве
имеем :
– которое является четким числом.
1.5. Нечеткие линейные системы [5]. Нечеткая система линейных уравнений (nxn) имеет вид:
где матрица (n
x
n)
из четких
элементов;
-нечеткие переменные (
).
Две четкие (n x n) линейные системы для всех «i» называются расширенной (2n x 2n) четкой линейной системой, если:
-;
- .
Другими словами и
используя матричное (2n
x
2n)
обозначение имеем:
,
Теорема 2.4.1.
Для существования и единственности решения расширенной системы
необходимо и достаточно, чтобы
, т.е.
-неотрицательная матрица.
Теорема 2.4.2. Для того, чтобы матрица S была не вырождена необходимо и достаточно, чтобы (s1-s2) и (s1+s2) обе матрицы были не вырождены.
Если все компоненты
нечеткого вектора являются нечеткими треугольными
числами, то решение
системы
принято называть «сильным». В противном
случае после соответствующих замен [5] решение
называют «слабым» решением.
2. Нечеткая модель ошибок
Пусть имеем:
Здесь
приняты следующие обозначения: – нечеткий вектор измерений;
– четкая вектор-функция;
-нечеткий вектор параметров;
четкий вектор базисных функций;
– нечеткие векторы ошибок для Yн,
Rн;
– нечеткий вектор ошибок;
– нечеткая случайная составляющая
ошибок;
– нечеткая систематическая составляющая
ошибок; α – вектор мешающих параметров.
Решение (2) относительно Ан
дает вектор нечетких оценок :
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если выполнено:
,
то Ф определяет нечеткий несмещенный
алгоритм оценивания. Найдем выражение для компонент нечеткого вектора
ошибок . Будем полагать, что вектор α мал
относительно α=0. Так как
нечеткая
систематическая ошибка, поэтому тейлоровское приближение относительно α=0
дает:
откуда:
поэтому:
Аналогично
полагая, что зависят от вектора мешающих параметров
, который мал относительно
, будем иметь в результате тейлоровских
приближений:
;
(5)
. (6)
Для
нечеткого вектора оценок имеем:
Полагаем, что алгоритм оценивания не смещен, поэтому:
Таким образом для нечеткой
ошибки получим:
– нечеткий вектор ошибки для (2), (3),
где
– вектор нечеткой случайной ошибки при
измерении (2),
–
вектор нечеткой ошибки при измерении (2);
–
нечеткий вектор ошибки в задании F;
– нечеткий вектор ошибки в задании G.
Рассмотрим характеристики нечеткого случайного вектора
, где E,
D
– операторы математического ожидания и дисперсии соответственно,
– плотность хн. Обычно
рассматривают следующие типы моделей:
1.
Плотность задана;
2.
Плотность неизвестна;
3.
Плотность задана;
4.
Плотность неизвестна;
При модель 1 обычно рассматривается в
традиционной теории вероятностей и математической статистике. Модель 2 при
традиционно реализуется в теории
четкого робастного оценивания. Модели 3, 4 возникают при модификации известных
алгоритмов минимаксного оценивания в их нечеткие аналоги.
Ниже рассматривается простейший алгоритм нечеткого минимаксного оценивания в виде эквивалентного решения задачи четкого линейного программирования.
3. Постановка задачи
Пусть (2) задано в виде простейшей нечеткой линейной модели:
,
(7)
где – нечеткий (нижний индекс «н») вектор
неизвестных параметров;
– заданный четкий вектор базисных
функций, вид которых известен;
– нечеткая ошибка (помеха).
При имеем:
(8)
где – нечеткий вектор измерений модели
процесса (2);
– матрица
, составленная из базисных функций в
моменты времени
– нечеткий вектор ошибок измерений.
Простейшие модели (7), (8).
Пример 1.
– модель (7);
– модель (8).
Пример 2.
– модель (7);
– модель (8).
Пример 3.
–модель (7);
– модель (8).
Задача нечеткого робастного
оценивания состоит в нахождении четких весовых коэффициентов для нечетких измерений
из условия эффективности заданного
критерия (3) и несмещенности алгоритма оценивания.
Конкретизируем (3). Для
этого в отсутствии систематической ошибки задаем ее в виде линейной зависимости:
где – заданные четкие числа. Для линейного
относительно нечетких измерений
алгоритма нахождения нечеткой оценки
параметра
имеем:
где
– четкие весовые коэффициенты нечетких
измерений
. Ищем такой алгоритм оценивания, т.е.
, который был бы несмещенным
. Это приводит после преобразований к
условиям:
, откуда после приравнивания
коэффициентов при
получим:
. (10)
Задается моделью 4 для ошибок:
, (11)
где – модуль (длина) нечеткой переменной
в нечетком вероятностном пространстве;
– заданные четкие числа;
– нечеткий коэффициент корреляции.
Находим max
и max
. Для этого находим
:
Таким образом, для несмещенного алгоритма (10) имеем:
поэтому для математического ожидания Е получим:
откуда:
Для дисперсии D по аналогии имеем:
Элемент дисперсионной матрицы
равен:
поэтому с учетом после преобразования получим [3]:
Определим составной критерий :
тогда после подстановки вычисленных ранее max EХн и max DХн получим:
поэтому задача нечеткого минимаксного оценивания имеет вид:
Эта
задача относительно является задачей нелинейного
программирования и обычно решается численным методом.
В частном случае при имеем:
Ниже будем рассматривать решение (10).
4. Метод решения
Для простоты рассмотрим
решение (10) и покажем, что путем соответствующей замены, она может быть
преобразована к соответствующей задаче линейного программирования [1].
Совокупность элементов в общем случае может не удовлетворять
условию
, которое требуется в типовой задаче
линейного программирования. Совокупность
разбивается на две группы:
положительных и отрицательных величин. Для них вводиться замена переменных:
Эти группы переменных дополняются нулями для получения полных строк:
В результате получим векторное
соотношение и кроме того, |
,
. Таким образом (10) преобразуется к
виду:
при условии:
1.
2.
3.
В [4] доказано, что условие 3 выполняется всегда, поэтому его можно исключить. После очередных замен получим:
Это приводит к стандартной задаче линейного программирования:
ЗАМЕЧАНИЕ.
В (11) рассматривалась модель ошибок, в
которой вводилась переменная Из постановки задачи следует, что
– нечеткая переменная, а из п.2.4.
очевидно, что
также является нечеткой переменной,
поэтому
это расстояние вектора
в нечетком векторном пространстве
случайных переменных до начала координат в смысле введенной нормы в этом
пространстве. Это означает, что |
является четким числом, а задача (13)
это задача четкого линейного программирования, которая решается стандартными
методами, например¸ симплекс-методом.
5. Пример
Пусть в результате решения
четкой задачи линейного программирования при N=2
– число измерений и m=2
– число условий несмещенность алгоритма оценивания (10) было получено где
– четкие числа с функциями
принадлежностей
. Тогда нечеткий алгоритм оценивания
будет иметь вид:
где – текущие нечеткие числа с треугольными
функциями принадлежностей
, которые заданы в форме (п.2.1.):
где – основание нечетких чисел;
– координаты высот нечетких чисел;
.
Найдем функцию принадлежностей оценки
. В соответствии с принципом расширения
для арифметических операций умножения и сложения нечетких чисел получим [7]:
;
,
откуда
.
Из определения треугольного нечеткого числа следует, что для него должно выполняться неравенство:
(14)
поэтому:
.
В результате простейших преобразований получим:
где
. Например, пусть
; тогда
неравенства (15) выполняются, поэтому
приведенные соотношения характеризуют нечеткую «сильную» оценку
, т.к. при этом справедливо (14).
В противном случае, например, из (15) получим: 1≥2, т.е.
неравенство не выполняется. Этому будет соответствовать в (14)
или
, что противоречит определению
треугольного нечеткого числа. После соответствующих замен в (14)
или
получим
или
, которые характеризуют нечеткую
«слабую» оценку
.
Результаты, полученные выше, легко обобщаются на случаи N=3, 4 и т.д. и значительным числом условий несмещенности.
Выводы
1. Разработана нечеткая модель ошибок, которая появляется при измерении выхода объекта, ошибках модельной зависимости и алгоритме оценивания.
2. Сформулирована общая задача по нечеткому минимаксному оцениванию в виде задачи нечеткого нелинейного программирования.
3. В отсутствии информации относительно элементов дисперсионной матрицы в общей модели ошибок производится редукция задачи нечеткого нелинейного программирования к задаче нечеткого линейного программирования.
4. Показано, что для нечеткого вероятностного пространства с метрикой Хаусдорфа, задача нечеткого линейного программирования легко модифицируется в задачу четкого линейного программирования.
5. Рассмотрен простейший пример синтеза «сильного/слабого» нечеткого минимаксного алгоритма оценивания.
Рецензенты:Девеев А.И., д.т.н., профессор, зав. сектором вычислительного Центра Российской Академии наук (ВЦ РАН) им.А.А. Дородницына, г. Москва;
Воронов Е.М., д.т.н., профессор, государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва.
Библиографическая ссылка
Мочалов И.А., Хрисат М.С. НЕЧЕТКОЕ МИНИМАКСНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=16039 (дата обращения: 08.02.2025).