Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ВЕБЕР – АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЗИРУЮЩИЙСЯ НА РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МГБ

Ланкин А.М. 1 Ланкин М.В. 1 Наракидзе Н.Д. 1
1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова»
Описан метод измерения вебер–амперной характеристики электротехнических устройств. Метод заключается в том, что на катушку электротехнического устройства подается синусоидальное напряжение с известной амплитудой и частотой, затем измеряются амплитуды гармоник протекающего тока. На основании этих данных решают обратную задачу метода гармонического баланса и определяются коэффициенты аппроксимации выражения, описывающего искомую вебер-амперную характеристику. Проведены исследования влияния степени аппроксимирующего выражения на погрешность результата измерения. Применение разработанного метода позволяет упростить выполнение измерительных операций при сохранении приемлемой точности. В работе использованы пакеты прикладных программ схемотехнического моделирования MicroCap и математического моделирования Maple.
вебер – амперная характеристика
электротехнические устройства
методы измерения
метод гармонического баланса
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: электрические цепи : учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. - М. : Высш. шк., 1978. – 528 с.
2. Испытание магнитных материалов и систем / Е.В. Комаров, А.Д. Покровский, В.Г. Сергеев, А.Я. Шихин. – М. : Энергоатомиздат, 1984. – 376 с.
3. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул : учеб. пособие для вузов. – М. : Высш. шк., 1988. – 239 с.
4. Ланкин М.В. Компенсация температурной погрешности при однообмоточном измерении характеристик магнитных материалов / Широков К.М., Баумбах Й. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки - 2009. - Спецвып.: Мехатроника. Современное состояние и тенденции развития : Всерос. науч. школа для молодежи (г. Новочеркасск, 2-15 ноября 2009 г.). - С. 175-176.
5. Ланкин А.М., Ланкин М.В. Метод измерения вебер-амперной характеристики электротехнических устройств // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 1. - URL: http://www.science-education.ru/115-12186.
6. Ланкин А.М. Решение обратной задачи метода гармонического баланса // Междисциплинарные исследования в области математического моделирования и информатики : материалы IV науч.-практ. Internet-конф. - Ульяновск : SIMJET, 2014. - С. 117-122.
7. Сахавова А.А., Широков К.М., Январёв С.Г. Применение метода косвенного определения вебер-амперных характеристик в автоматизированной системе бессенсорной диагностики электромагнитных механизмов // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 5. - URL: www.science-education.ru/111-10234.

Вебер-амперная характеристика (ВАХ) электротехнического устройства (ЭУ) содержит важную диагностическую информацию, позволяющую судить о работоспособности ЭУ. Нами предложен метод, базирующийся на измерении формы тока и амплитуды питающего ЭУ напряжения. В данном методе определение ВАХ основано на решении обратной задачи метода гармонического баланса (МГБ) [1].

Цель работы: разработка метода измерения ВАХ электротехнических устройств, позволяющего упростить процедуру измерения, при сохранении приемлемой точности.

Материал и методы исследований: методы гармонического баланса, теории измерений, математического моделирования в пакетах Microcap 9, Maple 15.

Результаты и обсуждение

Для получения ВАХ конкретного образца ЭУ необходимо воздействовать на магнитопровод внешним изменяющимся магнитным полем и измерять возникающий в его сечении магнитный поток. В большинстве случаев разборка ЭУ недопустима, поэтому разработан ряд методов получения ВАХ [2], где в качестве источника внешнего магнитного поля используется катушка ЭУ, а поток получают косвенным образом из уравнения цепи.

Недостаток этих методов в том, что в их основе лежит операция интегрирования, кроме того, активное сопротивление катушки изменяется из-за нагрева. Необходимость нивелирования этих факторов инициировало ряд работ, в той или иной степени удачно решающих проблему [4; 7]. Погрешность этих методов 5 – 6%.

На наш взгляд, для получения ВАХ ЭУ необходимо использовать решение обратной задачи метода гармонического баланса (МГБ) [5; 6].

Решение прямой задачи МГБ позволяет определить форму тока i(t), протекающего через элемент цепи с нелинейной индуктивностью (НИ), заданную в виде ряда Фурье:

, (1)

где I (2m+1) – амплитуда (2m+1)-й гармоники тока, w – угловая частота. При этом должна быть известна форма напряжения, приложенного к НИ:

, (2)

где Ua – амплитуда приложенного к нелинейной индуктивности напряжения;

а также ее ВАХ, заданная аппроксимирующим выражением:

, (3)

где ψ – значение магнитного потокосцепления через НИ, k (2m+1) – коэффициенты аппроксимирующего ВАХ выражения, , (n+1) – количество слагаемых в аппроксимирующем выражении, i – сила тока через НИ.

Обратная задача МГБ формируется следующим образом.

Имеется НИ с неизвестной ВАХ, известны законы изменения, приложенного к НИ напряжения (2) и протекающего по ней тока (1). Требуется определить коэффициенты k(2m+1) аппроксимирующего ВАХ выражения (3).

Уравнение цепи с НИ, обладающей активным сопротивлением R, имеет вид:

.

Запишем уравнение цепи с учетом известных законов изменения тока (1) и напряжения (2):

. (4)

Зная степень (2n+1) аппроксимирующего ВАХ выражения, зададим (n+1) значение аргумента функции синуса в выражении (4). Значения аргумента берем из интервала ]0;π/2].

Таким образом, получаем систему из (n+1) линейных уравнений. В полученной системе уравнений известны амплитуда напряжения Ua, амплитуды гармоник тока I(2m+1), значение активного сопротивления R и значение круговой частоты протекающего тока w, так как данные параметры цепи с НИ могут быть измерены в процессе испытания ЭУ.

Решая эту систему уравнений, получаем коэффициенты k(2m+1) аппроксимирующего ВАХ выражения (3):

где – коэффициенты (рассчитываются заранее), зависящие от номера учитываемой гармоники тока (2n+1) и номера коэффициента аппроксимирующего ВАХ выражения (2m+1), (2p+1) максимальная учитываемая гармоника тока.

В таблице 1 приведены значения коэффициентов для аппроксимирующих выражений от третьей до семнадцатой степеней.

Таблица 1

Значения коэффициентов для аппроксимирующих выражений

2p+1

k2m+1

A1

A3

A5

A7

A9

A11

A13

A15

A17

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3

k1

-5,77E-01

-1,15E+00

-

-

-

-

-

-

-

k3

9,40E-02

1,28E-01

-

-

-

-

-

-

-

5

k1

-5,11E-01

-1,43E+00

-2,78E-01

-

-

-

-

-

-

k3

1,53E-01

1,61E-01

-2,51E-01

-

-

-

-

-

-

k5

-6,10E-02

1,10E-02

8,00E-02

-

-

-

-

-

-

7

k1

-4,77E-01

-1,33E+00

-3,59E-01

2,40E+00

-

-

-

-

-

k3

1,73E-01

2,01E-01

-3,86E-01

-1,28E+00

-

-

-

-

-

k5

-6,90E-02

1,40E-02

1,10E-01

9,80E-02

-

-

-

-

-

k7

-4,20E-05

-4,00E-05

7,00E-06

-2,25E-04

-

-

-

-

-

9

k1

-4,21E-01

-1,29E+00

-2,95E-01

2,11E+00

5,31E-01

-

-

-

-

k3

1,51E-01

1,76E-01

-3,43E-01

-1,28E+00

1,26E-01

-

-

-

-

k5

-6,30E-02

1,10E-02

9,10E-02

9,80E-02

4,00E-03

-

-

-

-

k7

-3,90E-05

-3,50E-05

6,00E-06

-2,13E-04

2,10E-05

-

-

-

-

k9

-1,20E-07

2,30E-07

1,40E-07

3,00E-07

2,00E-07

-

-

-

-

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

11

k1

-3,87E-01

-1,21E+00

-2,98E-01

2,40E+00

5,31E-01

3,78E-01

-

-

-

k3

1,43E-01

2,01E-01

-3,86E-01

-1,28E+00

1,26E-01

5,90E-01

-

-

-

k5

-5,70E-02

1,40E-02

1,10E-01

9,80E-02

4,00E-03

2,00E-03

-

-

-

k7

-2,10E-05

-3,10E-05

5,00E-06

-4,12E-04

2,60E-05

1,20E-05

-

-

-

k9

-9,00E-08

1,90E-07

1,70E-07

2,41E-07

8,90E-07

1,40E-07

-

-

-

k11

-4,00E-08

-2,00E-08

-1,20E-08

2,40E-08

4,00E-08

5,10E-08

-

-

-

13

k1

-2,57E-01

-1,11E+00

-1,78E-01

1,49E+00

8,13E-01

-1,82E-01

8,91E-01

-

-

k3

1,03E-01

3,11E-01

-3,16E-01

-2,01E+00

1,16E-01

4,48E-01

3,21E-01

-

-

k5

-6,00E-02

1,12E-02

1,44E-01

9,71E-02

3,21E-03

1,90E-03

7,30E-02

-

-

k7

-1,11E-05

-4,54E-05

4,65E-06

-5,05E-04

1,62E-05

3,40E-05

7,80E-06

-

-

k9

-9,11E-08

2,17E-07

1,90E-07

1,99E-07

7,81E-07

2,04E-07

1,10E-07

-

-

k11

-4,67E-08

-2,90E-08

-2,10E-08

3,17E-08

3,95E-08

4,98E-08

4,20E-07

-

-

k13

-2,30E-09

1,30E-08

4,70E-08

7,30E-10

5,30E-10

8,90E-11

9,30E-11

-

-

15

k1

-3,07E-01

-9,55E-01

-1,53E-01

1,28E+00

6,99E-01

-1,57E-01

7,66E-01

1,14E+00

-

k3

8,86E-02

2,67E-01

-2,72E-01

-1,73E+00

9,98E-02

3,85E-01

2,76E-01

4,76E-02

-

k5

-5,16E-02

9,63E-03

1,24E-01

8,35E-02

2,76E-03

1,63E-03

6,28E-02

7,29E-02

-

k7

-9,55E-06

-3,90E-05

4,00E-06

-4,34E-04

1,39E-05

2,92E-05

6,71E-06

-3,88E-05

-

k9

-7,83E-08

1,87E-07

1,63E-07

1,71E-07

6,72E-07

1,75E-07

9,46E-08

2,07E-06

-

k11

-4,02E-08

-2,49E-08

-1,81E-08

2,73E-08

3,40E-08

4,28E-08

3,61E-07

7,72E-08

-

k13

-1,98E-09

1,12E-08

4,04E-08

6,28E-10

4,56E-10

7,65E-11

8,00E-11

1,05E-07

-

k15

4,21E-08

5,50E-08

1,15E-07

-3,02E-08

-3,84E-08

-4,96E-08

-4,20E-07

1,32E-07

-

17

k1

-2,70E-01

-8,40E-01

-1,35E-01

1,13E+00

6,15E-01

-1,38E-01

6,74E-01

1,00E+00

1,26E+00

k3

7,80E-02

2,35E-01

-2,39E-01

-1,52E+00

8,78E-02

3,39E-01

2,43E-01

4,19E-02

8,59E-02

k5

-4,54E-02

8,47E-03

1,09E-01

7,35E-02

2,43E-03

1,43E-03

5,53E-02

6,42E-02

7,51E-02

k7

-8,40E-06

-3,43E-05

3,52E-06

-3,82E-04

1,22E-05

2,57E-05

5,90E-06

-3,41E-05

-2,91E-05

k9

-6,89E-08

1,65E-07

1,43E-07

1,50E-07

5,91E-07

1,54E-07

8,32E-08

1,82E-06

2,04E-06

k11

-3,54E-08

-2,19E-08

-1,59E-08

2,40E-08

2,99E-08

3,77E-08

3,18E-07

6,79E-08

8,22E-08

k13

-1,74E-09

9,86E-09

3,56E-08

5,53E-10

4,01E-10

6,73E-11

7,04E-11

9,24E-08

1,03E-07

k15

3,70E-08

4,84E-08

1,01E-07

-2,66E-08

-3,38E-08

-4,36E-08

-3,70E-07

1,16E-07

1,45E-07

k17

8,62E-08

9,88E-08

1,90E-07

-6,10E-08

-7,73E-08

-9,93E-08

-8,40E-07

1,59E-07

1,87E-07

Продемонстрируем работу метода измерения ВАХ ЭУ, проведя вычислительный эксперимент. Используем в качестве модели ЭУ схему, построенную при помощи пакета MicroCap (рис. 1).

Для демонстрации в модель закладывается ВАХ магнитопровода материала 3100B, у которого заданы два варианта зазора 0,4 и 0,9 мм, что приводит к разному наклону ВАХ.

Рис. 1. Модель ЭУ.

Модель ЭУ содержит последовательно соединенные НИ L с количеством витков 95, и активное сопротивление R, равное 0,15 и 0,1 Ом, для указанных выше зазоров соответственно. К ЭУ подключен источник синусоидального напряжения V частотой 50 Гц и амплитудой Ua, равной 1,65 и 1,7 В, для указанных выше зазоров соответственно.

На рисунках 2 и 3 показаны напряжение и ток для выбранных зазоров.

Рис. 2. Напряжение и ток при зазоре 0,4 мм.

Рис. 3. Напряжение и ток при зазоре 0,9 мм.

Полученные ВАХ ЭУ для различных зазоров и учитываемых (номера указаны в скобках) гармоник тока представлены на рисунке 4.

Рис. 4. ВАХ ЭУ при различных значениях зазора магнитопровода.

Рассчитаны погрешности измерения ВАХ при учете различного количества гармоник тока, результаты приведены на рисунке 5 и в таблице 2.

Рис. 5. Зависимость погрешности измерения от номера максимальной учитываемой гармоники тока.

Таблица 2

Погрешности определения ВАХ

Максимальная учитываемая гармоника тока

3

5

7

9

11

13

15

17

Погрешность,

%

ВАХ 1

i

5,3

2,8

1,3

1,4

1,1

0,9

0,9

0,8

ψ

4,5

2,4

2,8

2,4

2,1

1,8

1,6

1,5

ВАХ 2

i

6,2

5,9

5,6

4,8

4,3

4,1

4,0

3,6

ψ

2,1

1,3

0,9

0,9

0,8

0,8

0,8

0,9

Для определения требуемого количества гармоник тока, используемых для получения уравнения аппроксимации ВАХ, используем известный подход [3].

Будем последовательно увеличивать количество гармоник тока и контролировать изменение остаточной дисперсии:

,

где n – количество точек, в которых измерялись образцовые значения потока , q – количество используемых гармоник тока, - полученные значения потокосцепления.

Момент прекращения добавления гармоник тока определен путем проверки гипотезы об отсутствии различия остаточных дисперсий и . Для этого использован критерий Фишера, в соответствии с которым расчетное значение определяется по формуле:

,

где Fкр – критическое значение критерия Фишера для числа степеней свободы и .

Результаты для уровня значимости α = 5% представлены в таблице 3.

Таблица 3

Выбор степени полинома для различных ВАХ

 

2p+1

p

f1

f2

ВАХ 1

3

0,091

2

18

16

-

-

5

0,022

3

18

15

4,09

2,39

7

0,0081

4

18

14

2,75

2,44

9

0,0031

5

18

13

2,67

2,51

11

0,0012

6

18

12

3,00

2,6

13

0,00072

7

18

11

1,43

2,71

ВАХ 2

3

0,063

2

18

16

-

-

5

0,021

3

18

15

3,00

2,39

7

0,0084

4

18

14

2,50

2,44

9

0,0058

5

18

13

1,45

2,51

Исходя из полученных результатов можно сказать, что для первой ВАХ требуется использовать пять нечетных гармоник тока, а для второй ВАХ три.

Вывод

Подводя итог, можно утверждать, что предложенный метод измерения вебер-амперной характеристики, основанный на решении обратной задачи МГБ, позволяет получить характеристику ЭУ с приемлемой точностью.

Статья подготовлена с использованием оборудования ЦКП «Диагностика и энергоэффективное электрооборудование» ЮРГПУ(НПИ).

Рецензенты:

Нагай В.И., д.т.н., профессор кафедры «Электрические станции и электроэнергетические системы», ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск.

Горбатенко Н.И., д.т.н., профессор кафедры «Информационные и измерительные системы и технологии», ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) им. М.И. Платова, г. Новочеркасск.


Библиографическая ссылка

Ланкин А.М., Ланкин М.В., Наракидзе Н.Д. МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ВЕБЕР – АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЗИРУЮЩИЙСЯ НА РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МГБ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 4. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=13942 (дата обращения: 21.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074