Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

О СУЩНОСТИ ОБОБЩЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Арюткина С.В. 1
1 Арзамасский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
В статье рассматриваются различные аспекты процесса обобщения, описываются философские, психолого-педагогические и научно-методические основы этого процесса применительно к обучению математике. Проведен теоретико-методологический анализ существующих подходов к определению понятия обобщения с позиций их применимости к выявлению сущности обобщения математической задачи. Выявляется специфика имеющихся трактовок, а также базисные положения, определяющие закономерности процесса обобщения как психологической, педагогической и методической категории. Устанавливаются некоторые подходы к обобщению математических теорий. Они во многом определяют сущность обобщения математической задачи как абстрагирования от некоторых свойств ее содержания. Кроме того, в статье подчеркиваются возможности и перспективы использования для развития у учащихся понимания обобщенных математических задач.
обобщение математических задач
математическое развитие школьников
методика математики
1. Возрастная и педагогическая психология / под ред. А.В. Петровского. – М. : Просвещение, 1973. – 288 с.
2. Лернер И.Я. Качества знаний учащихся. Какими они должны быть? – М. : Знание, 1978. – 48 с.
3. Методика и технология обучения математике / под ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М. : Дрофа, 2005. – 416 с.
4. Паламарчук В.Ф. Школа учит мыслить. – М. : Просвещение, 1979. – 144 с.
5. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М. : Наука, 1975. – 464 с.
6. Психологический словарь / под ред. В.П. Зинченко, Б.Г. Мещерякова. – М. : Педагогика-Пресс, 1999. – 440 с.
7. Ситаров В.А. Дидактика. – М. : Издательский центр «Академия», 2008. – 416 с.
8. Темербекова А.А. Методика преподавания математики. – М. : Владос, 2003. – 176 с.
9. Философский словарь / под ред. И.Т. Фролова. - М. : Политиздат, 1986. - 590 с.
10. Черкасов Р.С. К вопросу о роли обобщений в преподавании геометрии // Математика в школе. – 1996. - № 4. – С. 23-26.
В современной методике обучения математике все более актуальными становятся проблемы, связанные с формированием и развитием у школьников обобщенных структур мышления и деятельности (общеучебных, универсальных учебных действий, обобщенных приемов математической деятельности и др.). А потому необходимо рассматривать возможности, методы, приемы и средства, соответствующие указанным целям, для поиска и создания которых следует, прежде всего, определить теоретические основы процесса обобщения не только математического материала, но и одного из основных средств обучения математике - математических задач.

Особенности обобщения математических фактов, положений и задач учащимися во многом изначально определяются сущностью процесса обобщения, которая раскрывается в философской, психологической и педагогической науках.

Современное общефилософское понимание категории обобщения связано с интерпретацией его либо как логического приема, с помощью которого выявляются общие свойства и признаки предметов (в случае обобщения любых свойств результат будет носить характер абстрактно-общего; если же обобщаются существенные свойства, то - конкретно-общего); либо как логического процесса перехода от единичного к общему, от менее общего к более общему знанию, а также результата этого процесса (в формальной логике - переход от видового к родовому понятию). При этом подчеркивается, что обобщение тесно связано с абстрагированием и индукцией [9].

Применительно к обобщению математической задачи следует, возможно, опираться на его представление как некоего процесса, опирающегося на результат определенного абстрагирования от ее конкретного содержания, поскольку оно направлено, скорее, не на выявление общих свойств и признаков, а на развитие задачи, переход от частной задачной ситуации к более общей.

В психологической науке обобщение трактуется как одна основных характеристик познавательных процессов, состоящая в выделении и фиксации относительно устойчивых, инвариантных свойств предметов и их отношений. При этом принято говорить об эмпирическом обобщении, функция которого состоит в упорядочении многообразия предметов (в их классификации), оно характерно для начальных этапов познания, в его основе лежит действие сравнения; а также о теоретическом обобщении, основанном на анализе эмпирических данных; оперируя теоретическим понятием, человек соотносит в единое целое частные особенности объекта, детализирует знание о нем, при таком восхождении от абстрактного к конкретному происходит мысленное воспроизведение объекта; такой тип обобщения соответствует теоретическому этапу развития науки (оно характерно подростковому, юношескому возрасту) [6; с. 226]. Применительно к формированию знаний и понятий обобщение принято считать следующим за абстрагированием элементом обучения [1, с. 200]. Таким образом, в процессе обучения школьников необходимо учитывать, что процесс обобщения понятий, фактов и задачных ситуаций основывается на результатах абстрагирования от некоторых свойств рассматриваемых объектов.

В теории обучения философские и психологические взгляды на возможности обобщения в процессе обучения школьников отдельным учебным предметам развиваются и конкретизируются в различных аспектах. Так, В.Ф. Паламарчук, считая развитие мышления учащихся одной из главных задач обучения, подчеркивает необходимость формирования умения обобщать знания, методы и приемы работы для того, чтобы мышление школьника приобрело такое качество, как системность [4; 90 с.]. При этом автор подчеркивает, что объектом обобщения могут быть свойства предметов, факты, события, явления, качества, признаки, отношения, связи, процессы, которые имеют определенное сходство (т.е. сравнимые понятия) и хорошо известны учащимся [там же, с. 66].

Придерживаясь точки зрения на виды обобщений, близкой к В.В. Давыдову, она также различает два вида обобщений: эмпирическое (заключающееся в сравнении внешних признаков с целью выделения общего признака) и теоретическое (более сложное по сравнению с первым, осуществляющееся на основе движения об абстрактного к конкретному) [там же, с. 68-69]. Кроме того, вслед за Ю.А. Самариным, автор различает обобщения по степени абстрагирования: частичные, поурочные, тематические, итоговые и межпредметные.

Важно отметить, что, по мнению В.Ф. Паламарчук, для формирования у школьников умения обобщать знания, методы и приемы работы, для развития такого важного качества мышления школьника, как системность, необходимо использовать обобщающие проблемные задания (в том числе и задания на обобщения), которые, кроме всего указанного, особенно способствуют воспитанию проблемного видения мира [там же, с. 67].

И.Я. Лернер, описывая основные качества формируемых у школьников знаний, рассматривает взаимосвязанно их конкретность и обобщенность. «Обобщенность знания предполагает способность подвести конкретное знание под обобщенное, а конкретность знания имеет в виду показать конкретное как проявление обобщенного» [2; с. 31]. Автор подчеркивает, что всякое обобщение, производимое человеком, содержит в скрытом для постороннего виде систему конкретных знаний и образов, при этом важно, чтобы для самой личности эта система была ясной. Кроме того, И.Я. Лернер акцентирует внимание на необходимости целенаправленных мер по постепенному обобщению связей для формирования у учащихся систематичности знаний (систематичность знаний понимается при этом как осознание состава некоторой совокупности знаний, их иерархии и последовательности) [там же, с. 18-21].

В.А. Ситаров, рассматривая вопросы, связанные с развитием мышления школьников и особенностями их интеллектуального развития в процессе обучения, опирается на определение мышления как обобщенного отражения человеком действительности в ее существенных связях и отношениях, а среди его основных компонент называет такие мыслительные операции, как анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, классификацию и систематизацию. Обобщение характеризуется им как процесс, позволяющий объединять процессы или явления по их существенным признакам и свойствам, которые были выделены при абстрагировании от других [7; с. 99-101].

Дидактические основы реализации процесса обобщения как элемента математического развития школьников детализировались и конкретизировались в работах многих методистов (Д. Пойа, Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой, В.В. Орлова, В.П. Радченко, В.В. Крылова, В.Е. Ярмолюка, В.И. Снегуровой, И.А. Иванова, А.А. Темербековой, Р.С. Черкасова и др.). Так, А.А. Темербекова в связи с необходимостью развития математического мышления школьников (его основных мыслительных операций) рассматривает обобщение как мысленное выделение общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов на основе выделенной общности, а также существенных свойств объекта в результате анализа их в виде общего понятия для целого класса объектов (научно-теоретическое обобщение) [8, с. 46].

Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова, В.В. Орлов, В.П. Радченко, В.В. Крылов, В.Е. Ярмолюк, В.И. Снегурова, И.А. Иванов, описывая методы психологии, используемые в обучении математике, придерживаются точки зрения С.Л. Рубинштейна, трактующего процесс мышления как анализирование и синтезирование того, что выделяется анализом; а затем абстракция и обобщение, являющиеся производными от них. Под обобщением при этом понимают мысленное выделение, фиксирование каких-либо свойств, принадлежащих только данному множеству объектов и объединяющих эти объекты воедино [3, с. 147].

Д. Пойа в работе «Математика и правдоподобные рассуждения» характеризует процесс обобщения как переход от рассмотрения данного множества предметов к рассмотрению большего множества, содержащего данное. Например, ... когда переходим от рассмотрения треугольников к рассмотрению многоугольников с произвольным числом сторон. ... Или когда переходим от изучения тригонометрических функций острого угла к изучению тригонометрических функций произвольного угла. Можно заметить, что в этих двух примерах обобщение осуществляется в двух характерно различных направлениях. В первом примере, в переходе от треугольников к многоугольникам с n сторонами, постоянная заменяется переменной, фиксированное число 3 произвольным числом n (ограниченным только неравенством n ≥ 3). Во втором примере, в переходе от острых углов к произвольным углам α, отбрасывается ограничение, именно ограничение 0° < α < 90° [5, с. 34]. Такие направления характерны как в целом для процесса обобщения в математике, так и для обобщения некоторых математических задачных ситуаций (например, когда треугольник в ходе решения необходимо «достроить» до определенного многоугольника; или когда в некоторой «недоопределенной» ситуации величина одного из измерений может принимать различные значения).

Р.С. Черкасов применительно к развитию творческого математического мышления учащихся подчеркивает особое значение его интуитивно-образных компонентов, для которых необходимо использовать в процессе обучения математике специально ориентированные задачи, прежде всего задачи на обобщение, т.е. на его виды, характерные для преподавания математики (обобщение посредством перехода от конкретных высказываний к предложениям, содержащим переменные; введения новых правил, понятий, операций, законов; анализа смысла некоторых выражений, возникающих в ходе развития науки; перенесения закономерностей, действительных для одной области, на новые предметные области; индукции - от суждений, имеющих частное значение, к общим закономерностям; объединения двух или нескольких закономерностей в одну более общую закономерность) [10]. Для развития указанных видов обобщения автор предлагает использовать специальные группы заданий (планиметрических и стереометрических), включающие задачи различного уровня трудности, которые могут быть использованы не только на уроках математики, но и во внеурочной деятельности по развитию творческого математического мышления и пространственных представлений учащихся. Выделенные автором направления обобщения геометрического материала во многом могут определять и процесс обобщения математической (в большей степени, геометрической) задачи.

В целом можно заметить, что и в психологической, и в педагогической, и в методической трактовках понятия обобщения имеется общефилософское его понимание как процесса, опирающегося на результат определенного абстрагирования от некоторого конкретного содержания. А потому и под обобщением математической задачи следует понимать процесс, связанный с абстрагированием от определенных элементов содержания математической ситуации, описанной в ней. В современной методике обучения математике определены и возможные направления этого процесса обобщения (введение переменных; введение новых понятий; перенесение закономерностей, действительных для одной области, на новые предметные области; индукция - от суждений, имеющих частное значение, к общим закономерностям и др.), многие из которых могут быть использованы в качестве основы определения стратегии обобщения математической задачи и последующего построения окрестностей обобщенных задач.

Статья подготовлена по результатам научных исследований в рамках Федерального задания Минобрнауки России, регистрационный номер 01201458168 «Видовое многообразие задачных конструкций продуктивного обучения математике».

Рецензенты:

Фролов И.В., д.п.н., профессор, заведующий кафедрой физики, теории и методики обучения физике Арзамасского филиала ННГУ, г. Арзамас.

Зайкин М.И., д.п.н., профессор, заведующий кафедрой математики, теории и методики обучения математике Арзамасского филиала ННГУ, г. Арзамас.


Библиографическая ссылка

Арюткина С.В. О СУЩНОСТИ ОБОБЩЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 4. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=13862 (дата обращения: 17.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074