Сетевое издание

Современные проблемы науки и образования

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Ковпак И.О. 1

---

1 Институт математики и информатики ГБОУ ВПО «Московский городской педагогический университет»

Рассматривается актуальная проблема методики преподавания математики – поиск эффективных путей преподавания содержательно-методической линии «Анализ данных» в курсе математики 5–6 классов. Главной целью изучения стохастического материала в 5–6 классах является формирование первоначальных вероятностно-статистических представлений. Одним из важных организационных средств их формирования являются статистические исследования на уроках математики в 5–6 классах. На основе выводов исследований российских и зарубежных педагогов и психологов, посвящённых формированию вероятностно-статистического мышления, делается вывод о критериях сформированности первоначальных вероятностно-статистических представлений и предлагается система задач по курсу математики 5–6 классов, включающая статистические исследования, которые можно проводить при изучении темы «Круговые диаграммы». Предлагаемые упражнения отвечают требованиям ФГОС и имеют следующие особенности: 1) для них создан операционализированный перечень планируемых результатов; 2) составлены задания двух уровней сложности (базовый и повышенный); 3) упражнения имеют интересное для учащихся 5–6 классов содержание; 4) задания различаются по форме ответа, используемым средствам, форме проведения работы.

Статья в формате PDF

160 KB

анализ данных

система упражнений

статистическое исследование

образовательный стандарт

методика преподавания математики

стохастика

1. Болотюк В. А. Формирование вероятностно-статистических представлений у учащихся в курсе алгебры основной школы: дис. ... канд. пед. наук. – Омск, 2002. – 176 с.

2. Бычкова JI.O. Формирование вероятностно-статистических представлений учащихся при обучении математике в средней школе: дис. … канд. пед. наук. – М., 1991. – 135 с.

3. Евдокимова Л.В. Формирование комбинаторного мышления у младших школьников и подростков: автореф. дис. ... канд. психол. наук. – М., 2006. – 29 с.

4. Платонов К.К. Краткий словарь системы психологических понятий: учеб. пособие для учеб. заведений профтехобразования. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1984. – 174 с.

5. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Основная школа / [сост. Е. С. Савинов]. – М.: Просвещение, 2011. – 342 с.

6. Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5–9 классы: проект. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 67 с.

7. Селютин, В.Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: дис. ... д-ра пед. наук. – Орёл, 2002. – 344 с.

8. Ткачева М.В., Василькова Е.Н, Чуваева Т.В. О готовности учащихся к изучению стохастики // Математика в школе. – 2003. – № 9. – С. 56-61.

Одной из приоритетных задач математического образования является развитие вероятностно-статистического мышления учащихся. Функционирование личности в современном обществе не представляется возможным без некоторой вероятностно-статистической подготовки. На страницах газет человек сталкивается с информацией, представленной в виде диаграмм, графиков, с такими понятиями, как средние показатели, тенденция увеличения или уменьшения, шансы, прогноз, возможность, корреляция, опрос общественного мнения. От степени понимания этих и других терминов зависит уровень восприятия человеком информации и, впоследствии, сделанные им выводы.

Понятие «вероятностное мышление» в 1945 г. ввёл советский психолог, доктор психологических наук Б.М. Теплов. Оно обозначает вид мышления, «в структуру которого входят суждения о степени вероятности ожидаемых событий» [4, c.17]. Наряду с указанным понятием, педагоги и психологи употребляют его синонимы «вероятностно-статистическое» и «статистическое» мышление.

Значительное место в отечественной и зарубежной педагогике и психологии принадлежит исследованиям, посвященным поиску эффективных путей формирования вероятностно-статистического мышления. Одним из наиболее значительных в этой области является исследование доктора педагогических наук В.Д. Селютина. По мнению В.Д. Селютина, формирование первоначальных вероятностно-статистических представлений (автор называет их статистическими представлениями) лежит в основе формирования вероятностно-статистического мышления.

Серия экспериментов, проведённых Женевской психологической школой под руководством Ж. Пиаже, и исследования в области межполушарной асимметрии мозга показали, что формировать первые интуитивные представления у детей следует начинать уже в начальной школе, а наиболее благоприятным для начала оперирования комбинаторными и вероятностными понятиями является возраст 10–13 лет, что примерно соответствует 5–7 классам российской школы.

В то же время, подчёркивает Л.В. Евдокимова, вне специально организованного обучения комбинаторные операции «сохраняют все ограничения, свойственные житейским представлениям» [3,с.10]. Теория, разработанная Ж. Пиаже, не даёт ответа на вопрос о механизмах перехода учащихся с предыдущей на последующую стадию развития мышления и роли обучения в организации этого процесса.

В связи с этим возникает вопрос о поиске путей построения эффективной методики формирования вероятностно-статистических представлений на различных этапах школьного математического образования.

При рассмотрении значительного числа случайных явлений наблюдаются определённые закономерности, называемые статистическими. В их основе лежат сложные взаимодействия причин, как вытекающих из сущности явлений, так и обусловленных случайным стечением обстоятельств. Таким образом, действует известный закон больших чисел: «совокупное действие случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая» [7, с. 58].

Важность наглядной демонстрации учащимся действия закона больших чисел подчёркивали многие отечественные педагоги и методисты. Л.О. Бычкова считает формирование представлений о статистической устойчивости одним из важнейших компонентов статистического стиля мышления: «центральное место занимают <…> представления, связанные с различными экспериментальными проявлениями закона больших чисел. На основе этих представлений естественным образом осуществляется переход к восприятию вероятностных понятий» [2, c. 62].

Необходимость постепенного формирования представлений о законе больших чисел отмечает и М.В. Ткачёва: «дети готовы воспринять это понятие сразу после изучения обыкновенных дробей в 5 классе. Но путь до осознания закона больших чиселдолжен быть долгим <…> К. осознанному восприятию закономерностей в массовых явлениях большинство детей готово лишь к 14-15 годам» [8].

В.А. Болотюк в своём диссертационном исследовании также подробно раскрывает вопросы формирования вероятностно-статистических представлений (ВСП) в курсе алгебры основной школы как процесс поэтапного обучения комбинаторному, вероятностному и статистическому содержанию на уровне, доступном учащимся подросткового возраста [1, с. 63].

В.А. Болотюк выделяет следующие этапы в формировании ВСП:

1. Формирование элементарных ВСП;
2. Систематизация и обобщение элементарных ВСП;
3. Обучение формальному курсу теории вероятностей и математической статистики [1, с. 45].

Основным условием эффективности первого и второго этапов формирования ВСП и В.А. Болотюк, и В.Д. Селютин считают реализацию обучения элементам теории вероятностей и статистики в рамках теории поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина. В.А. Болотюк и В.Д. Селютин подробно рассматривают средства, позволяющие оптимизировать процесс обучения стохастическому материалу.

Под средствами обучения В.А. Болотюк понимает «совокупность объектов любой природы, для которой характерно, что каждый их них: 1) представляет, полностью или частично заменяет изучаемый факт, понятие; 2) даёт новую информацию об изучаемом понятии» [1, с. 76].

В качестве главного средства формирования ВСП в обучении математике В.А. Болотюк выдвигает разработанную им разноуровневую систему сюжетно-практических задач, а в качестве вспомогательных средств на основе общей классификации средств обучения выделяет следующие специальные средства:

• приборы и модели (фишки, карточки, таблицы случайных чисел, генераторы случайного, графы, блок-схемы);
• печатные средства (учебники, учебные и справочные пособия);
• экранные средства (диапозитивы, кинофильмы);
• контрольно-обучающие устройства и ТСО (компьютеры, калькуляторы, педагогические программные средства).

В.Д. Селютин в своём исследовании уделяет большое внимание организационным средствам формирования ВСП.

Важными организационными средствами формирования первоначальных ВСП являются стохастические игры и эксперименты. Но работа по формированию первоначальных ВСП не должна ограничиваться только проведением игр и экспериментов, считает В.Д. Селютин, так как в реальности часто имеют место случайные явления, не зависящие от наших действий, возникающие под влиянием большого числа неочевидных для детей факторов. Поэтому одним из важных средств формирования ВСП являются статистические исследования – «изучение явлений из окружающей школьников действительности посредством сбора статистической информации и простейшей её математической обработки, позволяющей сделать выводы об этих явлениях» [7, с. 101].

На необходимость организации целена­правленного наблюдения школьников 5–6 классов за массовыми явлениями окружающей действительности указывает и М.В. Ткачёва: «желательно обучать детей 5–6 классов само­стоятельному целенаправленному сбору информации о явлениях окружающей их жизни, подсчёту дан­ных в небольших (объемом до 30 единиц) выбор­ках, систематизации этих данных по различным признакам» [8]. М.В. Ткачёва обращает внимание на то, что организованное наблюдение учащимися неравномерных распределений величин в различных явлениях природы и тех­ники способствует формированию умения распознавать величины, имеющие нормальное распределение.

В.Д. Селютин выделяет в проведении статистического исследования этапы, во многом сходные с этапами статистического эксперимента:

1. наблюдение явления;
2. учет, запись наблюдаемых фактов;
3. систематизация и оформление полученных сведений;
4. представление полученных сведений в виде геометрических образов и (или) вычисление некоторых обобщающих характеристик;
5. заключение о результатах исследования.

Рассмотрим систему задач, включающую статистические исследования, которые можно проводить при изучении темы «Круговые диаграммы» курса математики 5–6 классов. Предлагаемые упражнения отвечают требованиям ФГОС [5], [6] и имеют следующие особенности:

• создан операционализированный перечень планируемых результатов освоения стохастической линии в 5–6 классах, задающий основные требования к уровню овладения ими;
• к каждому планируемому результату соответствует ряд умений, характеризующих достижение выпускником данного результата;
• содержание заданий является интересным для учащихся 5–6 классов и соответствует их возрастным особенностям;
• составлены задачи двух уровней сложности (базовый и повышенный);
• упражнения различаются по форме ответа, используемым средствам, форме проведения работы.

№ 15.1. Задача базового уровня

В социологическом исследовании приняли участие 200 пятиклассников. На вопрос «Как ты считаешь, заменит ли в будущем электронная книга бумажную?» Большинство опрошенных школьников так не считают (67%), только 33% респондентов ответили - «да».

а) Заполни таблицу (таблица 1):

Таблица 1

б) Построй круговую диаграмму по полученной таблице.

в) Посчитай, сколько ребят думает, что электронная книга сможет заменить бумажную книгу и сколько придерживается противоположного мнения, и заполни таблицу (таблица 2):

Таблица 2

№ 15.2. Задача повышенного уровня

Результаты соцопроса (см. задачу 8.1.) также показали, что в качестве причин, почему электронная книга не сможет совсем заменить бумажную, ребята называют следующие:

1. «бумажная книга – это лучшее изобретение человека» – 5 % (1-я категория);
2. «бумажную книгу удобнее читать» – 40 % (2-я категория);
3. «от долгого чтения с компьютера устают глаза» – 25 % (3-я категория);
4. «я привык к книге, она для меня друг» – 30 %. (4-я категория).

а) Заполни таблицу (таблица 3):

Таблица 3

б) Построй круговую диаграмму по полученной таблице.

в) Воспользуйся ответом пункта в) предыдущей задачи (число школьников, ответивших на вопрос отрицательно) и посчитай количество человек в каждой из четырёх полученных категорий.

г) Заполни таблицу (таблица 4):

Таблица 4

№ 15.3. Задача базового уровня

а) Проведи аналогичный опрос среди своих друзей и знакомых.

б) Заполни таблицу (таблица 5):

Таблица 5

в) Построй круговую диаграмму по полученной таблице.

№ 15.4. Задача повышенного уровня

а) Проведи опрос среди своих друзей и знакомых на тему: «Есть ли у тебя домашние животные?». Возьми список фамилий и рядом с каждой фамилией поставь прочерк, если животных нет, или запиши название животного.

б) Заполни таблицу:

• Посчитай, сколько различных животных в списке и запиши их названия в 1-ю строку таблицы;
• Во 2-ю - запиши, у скольких человек есть дома такое животное, например: кошка – 5 чел., собака – 6 чел., рыбки – 2 чел., попугай – 1 чел. и т.д.;
• Посчитай и запиши в 3-ю строку, округлив до целых, сколько процентов составляет каждое число из 2-й строки от общего числа опрошенных;
• Посчитай, сколько каждое число из 3-й строки составляет градусов, если 360о составляют 100 %, и впиши эти числа соответственно в 4-ю строку таблицы (таблица 6).

Таблица 6

в) Построй круговую диаграмму по полученной таблице.

Подводя итоги, можно отметить, что

1. основой для формирования ВСП является вероятностное прогнозирование, которое осуществляется за счёт работы когнитивных структур, сформировавшихся с помощью механизмов научения и обусловленное отражением объективной действительности;
2. формирование ВСП происходит главным образом в процессе решения совокупности сюжетно-практических задач с вероятностно-статистическим содержанием и проходит три этапа, среди которых основным является первый, закладывающий в сознание учащихся эмпирическую базу для последующего изучения материала на более высоком уровне;
3. статистическое исследование является одним из важнейших организационных средств формирования ВСП;
4. критерием сформированности первоначальных ВСП можно считать достижение определенного уровня умений и навыков, связанных с усвоением элементов наглядной и описательной статистики и основных вероятностных понятий, а также умения формулировать правильные выводы об изучаемом явлении стохастической природы и принимать решения на их основе.

Рецензенты:

Мордкович А. Г., д.п.н., профессор кафедры математического анализа и методики преподавания математики Института математики и информатики ГБОУ ВПО МГПУ, г. Москва.

Короткова Л.М., д.п.н., профессор, Институт математики и информатики ГБОУ ВПО МГПУ, г. Москва.

Библиографическая ссылка