Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

О ПЕРСПЕКТИВНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ И СРЕДСТВАХ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭКОЛОГИИ

Шведовская Т.Л. 1 Владимиров С.Н. 1
1 ФГБОУ ВПО «Московский государственный открытый университет им. В.С. Черномырдина»
Методы математического моделирования состоят не только из построения компьютерного образа, но и из проведения с ним вычислительного эксперимента. В этом – основное преимущество перед мысленным экспериментом теоретического метода в проведении многих начальных и граничных условий стартов компьютерных вычислений. Особенно актуально математическое моделирование в экологии, когда невозможно представить различные экологические ситуации в режиме реального времени. В статье рассматриваются конкретные примеры различных ситуаций. Значительную роль в методологии и методике математического моделирования в экологии обрели созданные математические пакеты, так называемые модельные конструкторы - «Математика», Mathlab, Мapl и MathCad. Элементарная топология позволяет содержательное описание процесса или явления представить через набор взаимодействующих факторов, а затем двигаться в направлении построения дискретной системы рекуррентных уравнений, описывающих динамику процесса или изменений явления.
образование
экология
математическое моделирование
прикладные математические программы
1. Медоуз Д., Форрестер Д. Пределы роста : доклад (Вашингтон, Смитсоновский институт, 12 марта 1972 г.).
2. Плотинский Ю.М. Модели социальных процессов : учебное пособие для высших учебных заведений. - Изд. 2-е перераб. и доп. - М. : Логос, 2001.
3. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. - М. : Наука, 1986.
4. Шведовская Т.Л., Шведовский В.А. Математическое моделирование в экологии. - Методические указания. - М. : Изд.- во МГОУ, 2009.
5. Шведовская Т.Л., Шведовский В.А. Математическое моделирование динамики экологических ситуаций : методические указания к изучению курса и решению задач. - М. : Изд-во МГОУ, 2010.
6. Шведовская Т.Л., Владимиров С.Н. О методологии и методике преподавания математического моделирования в экологии // Современные проблемы науки и образования. – 2014. - № 3.
7. Шведовский В.А. Математические методы моделирования социальных процессов : учебно-методический комплекс. - М. : Международная академия бизнеса и управления, 2008.
8. Шведовский В.А. Социолого-математические модели в исследовании социальных процессов : дис. … докт. соц. наук. - М. : РГСУ, 2010.

Современный специалист, оканчивающий вуз, и взявший на вооружение третий метод познания – математическое моделирование, в определённом смысле может быть уподоблен лётчику-любителю, получающему пилотское свидетельство. Он научился взлетать и приземляться, выбирать курс и эшелон полёта и обучен ряду лётных премудростей, но из этого не следует, что он разбирается в теоретических вопросах аэродинамики и инженерных тонкостях самолётостроения, - он классический современный пользователь авиатехники. Наша цель: дать студенту-старшекурснику аналогичный пользовательский багаж приёмов и инструментов, необходимых при построении математических моделей и проведении с ними вычислительных экспериментов для получения важных исследовательских результатов в интересующей области, в данном случае – в экологии.

Описанная в работе [6] методология и методика математического моделирования в экологии обрела неукротимый потенциал роста после того, как было создано несколько математических пакетов, сразу завоевавших статус модельных конструкторов, - «Математика», Mathlab, Мapl и MathCad. Наиболее простым и доступным в освоении даже представителям гуманитарных профессий – социологам, экономистам, психологам и экологам - оказался последний из представленного списка. На рабочем поле этого конструктора записываются системы уравнений, начальные данные и коэффициенты модели практически так же, как мелом или маркером на доске, а затем ставится вычислительный эксперимент, и сразу можно получить динамические графики и фазовые диаграммы.

В этой же публикации [6] в качестве простейшего примера, иллюстрирующего применение названного математического аппарата к анализу экологической ситуации в промышленной зоне крупного города, приведён знаковый ориентированный граф, где в его вершинах записаны переменные модели:

Х1 (З(1)) – число заводских предприятий в промышленной зоне города;

Х2 (Н) – численность населения города;

Х3 (Р(3)) – численность рабочих мест;

Х4 (С(4)) – показатель состояния окружающей среды – процент её загрязнения. Переменные влияют друг на друга так, как это показано дугами орграфа (рис. 1).

Рис. 1. Орграф связей между переменными макромодели города.

В модели, представленной на графе, прочитывается отрицательная обратная связь, стабилизирующая экологическую ситуацию: рост числа заводских предприятий - З(Х1) негативно (знак минус на дуге) влияет на состояние окружающей среды – С(Х4); пропорционально её ухудшению идёт уменьшение численности населения города – Н(Х2); уменьшение численности населения Н(Х2) ведёт к банкротству и закрытию части заводов - З(Х1), т.е. и к уменьшению Р(Х3); поскольку дуга З(Х1) - С(Х4) несёт на себе отрицательный знак, то выше описанное в контуре уменьшение численности заводов приводит к улучшению экологической ситуации, а далее цикл повторяется. Примеры подобного применения знаковых ориентированных графов, более сложные по характеру и решающие прикладные эколого-экономические проблемы, содержатся в списке литературы [1-5].

Опыт обучения студентов по дисциплинам «Социальное прогнозирование и проектирование», «Математическое моделирование социальных процессов», «Математические модели в гуманитарных науках» показал, что наиболее целесообразно начинать эти дисциплины с именно с когнитивного моделирования на ориентированных графах [1; 4]. Именно элементарная топология позволяет содержательное описание процесса или явления представить через набор взаимодействующих факторов, а затем двигаться в направлении построения дискретной системы рекуррентных уравнений, описывающих динамику процесса или изменений явления. При наличии подходящих условий и соответствующих эмпирических референтов эта система может преобразоваться или в конечно-разностные уравнения - КРУ, или в систему обыкновенных дифференциальных уравнений – ОДУ.

Условием перехода СРС в конечно-разностные уравнения (КРУ) являются требования (на примере 2-слойной схемы; в целом рассматриваются модели процессов с числом слоев ≤ 3):

Xn+1 = Xn + τ*F(tn, Xn), где tn = n*τ, где τ - шаг квантования времени

Условием перехода КРУ в ОДУ – обыкновенные дифференциальные уравнения - является существование конечного предела:

lim (Xn+1 - Xn )/(tn+1 - tn ) < ∞ при (tn+1 - tn)= τ → 0

Для системы ОДУ на конечном интервале времени всегда может быть поставлена и решена задача Коши – ЗК или краевая задача - КЗ, т.е. по начальным и граничным условиям рассчитываются значения X(t). Однако в случае плохой обусловленности матрицы оператора системы ОДУ или КРУ, что зачастую вполне вероятно из-за совмещения в одном процессе быстрых и медленных переменных, эффективный прогноз возможен только на весьма ограниченном отрезке времени [8]. Принято считать, что число обусловленности (conde) должно быть не более 400-500. Смысл этого числа в оценке скорости роста ошибки прогноза значений переменных модели.

С этой постановкой вопроса корреспондирует проблема устойчивости моделируемого социального процесса или проблема устойчивости процесса воспроизводства возникшей в новом ноосферном порядке некоторой типич­ной целостности, например биоценоза. «Кратко, устойчивость – У. движения системы может пониматься как свойство «а) движущейся системы… мало отклоняться от некоторого дви­жения при малых возмущениях начального положения системы (в фазо­вом пространстве), причём малость отклонения равномерна по t≥0 (У. по Ляпу­нову, Орбитальная устойчивость)»; б) «системы сохранять некоторые черты фазового портрета при малых возмущениях закона движения» (Струк­турная устойчивость, грубая система); в) «системы в процессе дви­жения ос­таваться в ограниченной области фазового пространства» (У. по Ла­г­ранжу); г) «систе­мы в процессе движения сколь угодно поздно воз­вра­щаться как угодно близ­ко к своему начальному положению (в фазовом про­странс­тве)» (У. по Пуас­сону), - ясно, что это не все виды У» [8]. Однако MathCad позволяет пользователю достаточно легко определиться с решением проблемы устойчивости описываемого явления или конструируемого механизма некоторого процесса. Но начнём по порядку с описания самой модели.

Э к о л о г и я г о р о д а 2014

Система конечно-разностных уравнений откалибрована так, что описывает достаточно узнаваемый в динамических графиках сценарий развития современного среднерусского города, попавшего в посткризисную ситуацию после 2008-09 гг. (рис. 2-5).

Рис. 2. Динамика численности заводов. Рис. 3. Динамика численности населения.

Рис. 4. Динамика численности рабочих мест. Рис. 5. Динамика степени загрязнения (%).

Чтобы выяснить, обладает ли построенная и откалиброванная система КРУ каким-либо видом устойчивости, для написанной системы конечно-разностных уравнений модели сначала строится квадратная 4х4 матрица М оператора системы уравнений. Как её строить, легко уразуметь, разглядывая систему КРУ. Построив матрицу М, опускаем курсор ниже матрицы и к её правому углу. Далее с помощью функции f(x), кнопка для которой расположена во второй сверху строке, нажав её, открываем окно с меню, в котором находим слова «векторы и матрицы». Подведя курсор к строке с этими словами и нажав на ввод, открываем окно с дополнительным меню, в котором находим слово eigenvals и также, используя курсор и клавишу «ввод», выводим eigenvals (). Поставив в ячейку, которая обнаруживается в скобках символ М, сдвигаем синий уголок так, чтобы он оказался на строке eigenvals (М) справа самым крайним. После этого, вызвав нажатием на кнопку с изображением калькулятора, находим на калькуляторе в правом нижнем углу знак = и нажимаем «ввод». Тотчас под матрицей справа от eigenvals (М) = появится столбец с набором «собственных значений» матрицы М (рис. 6).

Рис. 6. Матрица М оператора системы КРУ и вектор её собственных значений.

Если все действительные части компонент этого вектора отрицательны, то система обладает устойчивостью по Ляпунову. Если хотя бы в одном случае будут положительные величины, то таковой устойчивости нет. Если модули всех компонент собственных значений меньше 1, как в нашем случае, то система уравнений модели обладает устойчивостью по Лагранжу. Кстати, в нашем случае число обусловленности неважное, и оно равно 2.904 104.

Довольно долго, главным образом под влиянием авторитета французского математика – создателя теории катастроф Рене Тома и исходя из того, что процессы в естественных науках породили представления об устойчивых стационарных моделях как основе описания явлений мира, господствовала точка зрения, что в реальности значение имеют только устойчивые процессы, т.е. существующее устойчиво.

Однако исследования сложных систем в науках о живой материи (биологии, физиологии, психологии и т.д.) и неравновесных процессов в физике, физической химии обосновали другой заглавный постулат: предсказуемость существующего, что допускает ценность и неустойчивых процессов.

Тем не менее, если модельер берётся конструировать какой-то механизм, то в этом случае, безусловно, необходимо представить устойчивую реализацию, хотя бы частичную.

Рецензенты:

Шведовский В.А., д.соц.н., социологический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, г.Москва.

Невская Г. Ф., д.м.н., профессор, зав. кафедрой «Безопасность и экология», МГОУ, г.Москва.


Библиографическая ссылка

Шведовская Т.Л., Владимиров С.Н. О ПЕРСПЕКТИВНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ И СРЕДСТВАХ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭКОЛОГИИ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 3.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=13394 (дата обращения: 20.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074